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確率論や統計学において、'''キュムラント'''（きゅむらんと、{{lang-en-short|cumulant}}）は、分布を特徴付ける特性値の一つ。[[キュムラント母関数]]を級数展開した際の係数として定義する。その性質を研究した[[トルバルド・ティエレ|T. N. ティエレ]]に因み<ref>[[伏見康治]]「[[確率論及統計論]]」第III章　記述的統計学 18節 Thieleの半不変数 p.127 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204</ref>
、'''ティエレの半不変数'''({{lang-en-short|semi-invariant}})とも呼ぶ<ref>T. N. Thiéle, ''Almindelig Iagttagelseslaere: Sandsynlighedsregning og mindste Kvadraters Methode'',  C. A. Reitzel, Copenhagen, 1889.</ref>。

==定義==
確率変数''X''に対して、

:<math>
M(s) :=  \langle e^{s X} \rangle
</math>

で定義される[[モーメント母関数]]の対数log ''M''(''s'')を[[キュムラント母関数]]と呼ぶ。但し、⟨…⟩は[[期待値]]を取る操作を表すものとする。キュムラント母関数の級数展開

:<math>
\log{M(s)} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{c_n}{n!}s^n
</math>

において、係数''c<sub>n</sub>''を'''''n''次のキュムラント'''もしくは、'''ティエレの半不変数'''と呼ぶ。この級数展開が''n''=0の項を含まないことは、log''M''(0) = log 1 = 0よりわかる。キュムラントを表す記号として''c<sub>n</sub>''のほかに、''&kappa;<sub>n</sub>''や[[モーメント (確率論)|モーメント]]⟨''X<sup>n</sup>''⟩に対応した⟨''X<sup>n</sup>''⟩<sub>c</sub>が用いられる。また、確率変数のべき乗''X<sup>n</sup>''に対し

:<math>
\langle X^n \rangle_{\mathrm{c}}
</math>

を与える操作を'''キュムラント平均'''と呼ぶ。

==性質==
半不変数という呼び名は、確率変数の[[アフィン変換]]

:<math>
Y=\alpha X + \beta \,
</math>

において、モーメントが

:<math>
\langle Y \rangle = \alpha \langle X \rangle + \beta , \,\,
\langle Y^2 \rangle = \alpha^2 \langle X^2 \rangle + 2 \alpha \beta \langle X \rangle +\beta^2
, \dots
</math>

となり、一般に

:<math>\langle Y^n \rangle = \sum_{k=0}^n {n \choose k}\alpha^{n-k}\beta^k \langle X^{n-k} \rangle \quad n=1,2,\dots
</math>

と変換されるのに対し、キュムラントは、

:<math>
\langle Y \rangle_{\mathrm{c}} = \alpha \langle X \rangle_{\mathrm{c}} + \beta , \,\,
\langle Y^n \rangle_{\mathrm{c}} = \alpha^n \langle X^n \rangle_{\mathrm{c}} 
\quad n=2,3,\dots
</math>

と、ほとんど形を変えないことに因む。

==多変数におけるキュムラント==
多変数の確率変数''X<sub>1</sub>'',..., ''X<sub>n</sub>''に対するキュムラントも、そのキュムラント母関数の級数展開の係数として、次式で与えられる。

:<math>
\begin{align}
\log{M(s_1,\dots,s_n)} & = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}
\sum_{j_1,\dots, j_k=1}^n \langle X_{j_1} \dotsb X_{j_k} \rangle_{\mathrm{c}}
s_{j_1} \dotsb s_{j_k} \\
& =\sum_{k=1}^\infty \sum_{k_1 + \dots + k_n=k}\langle X_1^{k_1} \dotsb X_n^{k_n} \rangle_{\mathrm{c}}
\frac{ s_1^{k_1} \dotsb  s_n^{k_n}}{k_1! \dotsb k_n!}
\end{align}
</math>

ここで、第一行の右辺は、''j<sub>1</sub>'',..., ''j<sub>k</sub>''は1,..., ''n''の値を自由に取るものとした、変数の重複も含む表現であり、第二行の右辺は変数の重複は含まない表現である。

多変数のキュムラントは、確率変数''X<sub>1</sub>'',..., ''X<sub>n</sub>''が二つ以上の互いに独立な組に分かれるとすると、それらのなかで独立な変数にまたがるキュムラントは常に０になるという重要な性質を有する。

:<math>
\langle X_{j_1} \dotsb X_{j_k} \rangle_{\mathrm{c}} =0
</math>　（独立な組に分けられる場合）

実際、確率変数が例えば、(''X<sub>1</sub>'',..., ''X<sub>m</sub>'')、(''X<sub>m+1</sub>'',..., ''X<sub>n</sub>'')と二つの独立な組に分かれるとすると、モーメント母関数はその性質から二つの積に分解される。

:<math>
M(s_1,\dots,s_n) = M(s_1,\dots,s_m) M(s_{m+1},\dots,s_n)
</math>

従って、キュムラント母関数は

:<math>
\log{M(s_1,\dots,s_n)} =\log{ M(s_1,\dots,s_m)} + \log{M(s_{m+1},\dots,s_n)}
</math>

となり、左辺の級数展開において、二つの組にまたがる変数の積の項は現れず、対応するキュムラントは０となる。二つ以上の互いに独立な組に分かれる場合も同様である。

==例==
===ポアソン分布===
確率分布関数が

:<math>
P(x=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \,
</math>

で与えられる[[ポアソン分布]]において、キュムラント母関数は次のように与えられる。

:<math>
\log{M(s)} = \lambda(e^s-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\lambda s^n}{n!}
</math>

従って、全てのキュムラント ''c<sub>n</sub>'' は ''&lambda;'' となる。

:<math>
c_n = \lambda \quad n=1,2,\dots
</math>

===ガウス分布===
確率密度関数が

:<math>
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)
</math>

で与えられる[[ガウス分布]]において、キュムラント母関数は

:<math>
\log{M(s)} = \mu s + \frac{\sigma^2}{2!}s^2
</math>

であり、キュムラントは

:<math>
\begin{align}
c_1 & = \mu \\
c_2 &= \sigma^2 \\
c_n &= 0 \quad n=3,4,\dots
\end{align}
</math>

となる。このように三次以上の高次のキュムラントが全て０になるのが、ガウス分布の特徴である。

== 物理学への応用 ==
物理学でキュムラント展開が用いられる例として以下のようなものがある。
*[[古典気体]]の[[クラスター展開]]
*[[スピン緩和]]や[[ブラウン運動]]などの[[非平衡統計力学]]の諸問題
*[[多体問題]]で知られている[[連結クラスター展開]]

==脚注==
<references/>

==参考文献==
* [[伏見康治]]『確率論及統計論』河出出版（1942年）
* [[添田喬]], [[太田光雄]], [[大松繁]]『数理統計の基礎と応用』日新出版 (2000),　ISBN 978-4817301079

==関連項目==
* [[キュムラント母関数]]
* [[モーメント (確率論)]]

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[[Category:確率論]]
[[Category:統計学]]
[[Category:数学に関する記事]]