キーペルト円錐曲線のソースを表示

[[幾何学]]において、'''キーペルト円錐曲線'''（キーペルトえんすいきょくせん）は、[[三角形]]に関する2つの[[円錐曲線]]の総称である。一つは[[キーペルト双曲線]]（{{Lang-en-short|Kiepert hyperbola}}）、もう一つは'''キーペルト放物線'''（{{Lang-en-short|Kiepert parabola}}）である。

: 三角形<math>ABC</math>に対して3つの二等辺三角形を三角形<math>A^\prime BC</math>, <math>B^\prime CA</math> , <math>C^\prime AB</math>を同じ向きに[[相似 (幾何学)|相似]]になるよう作る。このとき三角形 <math>ABC</math> と <math>A^\prime B^\prime C^\prime</math>は[[配景]]的で配景の中心の軌跡をキーペルト双曲線、配景の軸の[[包絡線]]をキーペルト放物線と言う。

キーペルト双曲線は3頂点、[[幾何中心|重心]]、[[垂心]]を通る円錐曲線、キーペルト放物線は[[オイラー線]]とX(110)をそれぞれ準線、焦点とする放物線としても定義できる<ref name=":0">{{cite web |last1=Kimberling, C. |title=X(110)=Focus of Kiepert Parabola |url=http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X110 |website=Encyclopedia of Triangle Centers |access-date=4 February 2022}}</ref>。R. H. Eddy と R. Fritscは論文で、キーペルト円錐曲線について以下の様に言及している<ref name="Eddy">{{Cite journal|last=Eddy, R. H. and Fritsch, R.|date=1994|title=The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle|journal=Math. Mag.|volume=67|issue=3|pages=188–205|doi=10.1080/0025570X.1994.11996212}}</ref>。

: "If a visitor from Mars desired to learn the geometry of the triangle but could stay in the earth's relatively dense atmosphere only long enough for a single lesson, earthling mathematicians would, no doubt, be hard-pressed to meet this request. In this paper, we believe that we have an optimum solution to the problem. The Kiepert conics ..."

== キーペルト双曲線 ==
詳しくは「[[キーペルト双曲線]]」を参照

キーペルト双曲線は、1869年[[ルードヴィヒ・キーペルト]]が、1868年の[[エミール・ルモワーヌ|エーミル・ルモワーヌ]]の "三角形の辺に正三角形を外接させたときの頂点がつくる三角形" という問題の解法として示した[[双曲線]]である<ref name="Eddy" />。

<math>a, b, c</math>を各辺の長さ <math>A,B,C</math>を角の大きさとする。

=== 座標 ===
キーペルト双曲線は[[重心座標]] <math>x:y:z</math> で以下のように表される。

: <math>\frac{b^2-c^2}{x}+\frac{c^2-a^2}{y}+\frac{a^2-b^2}{z}=0.</math>

=== 中心と漸近線 ===
* キーペルト双曲線は X(115)でその重心座標は以下の式で与えられる。

: <math>(b^2-c^2)^2 : (c^2-a^2)^2 : (a^2-b^2)^2</math>.

* キーペルト双曲線の漸近線は[[ブロカール円|ブロカール軸]]の[[シムソン線]]である。
* キーペルト双曲線は直角双曲線で、その離心率は<math>\sqrt{2}</math>である。

=== 性質 ===

* X(115)は[[九点円]]上にある。また第一、第二[[フェルマー点]]の中点である。
* ブロカール軸上の点の[[等角共役]]の軌跡である。
* 正三角形でない三角形<math>ABC</math>と点<math>P</math>について、<math>p</math>を<math>P</math>の[[三線極線]]とする。<math>p</math>がオイラー線に垂直であるような<math>P</math>の軌跡はキーペルト双曲線である。

== キーペルト放物線 ==
キーペルト放物線は1888年、[[ドイツ]]の数学教師[[アウグスト・アルツト]]が"school program"の中で研究した[[放物線]]である<ref name="Eddy" /><ref>{{Cite journal|last=Sharp, J.|date=2015|title=Artzt parabolas of a triangle|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=99|issue=546|pages=444–463|doi=10.1017/mag.2015.81}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |year=1915 |publisher=[[山海堂 (出版部)|山海堂]] |page=853 |doi=10.11501/1082037 |translator=[[小倉金之助]]}}</ref>。

* キーペルト放物線は[[重心座標]] <math>x:y:z</math> で以下のように表される。

:: <math>f^2x^2+g^2y^2+h^2z^2 - 2fgxy - 2ghyz - 2 hfzx=0</math> <br /><br />ただし<br /><br /><math>f=\frac{b^2-c^2}{a}, g=\frac{c^2-a^2}{b}, h=\frac{a^2-b^2}{c}</math>.

* キーペルト放物線の焦点X(110)の重心座標は以下の式で与えられる。

:: <math>\frac{a^2}{b^2-c^2} :\frac{b^2}{c^2-a^2} :\frac{c^2}{a^2-b^2}</math>

* X(110)は[[パリー点|パリー円]]、[[外接円]]上にある<ref name=":0" />。
* オイラー線上の点PをBC,CA,ABで鏡映した点をそれぞれA',B',C'とするとA'BC,AB'C,ABC'の外接円はX(110)で交わる。
* キーペルト放物線の準線はオイラー線である。
* キーペルト放物線は、[[中心線 (幾何学)|ルモワーヌ軸]]、無限遠線に接する<ref name=":0" />。
* キーペルト放物線と各辺の接点は[[シュタイナー点]]の[[チェビアン|チェバ三角形]]の頂点である<ref>{{Cite web |title=Kiepert Parabola |url=https://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-03-27 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。
* [[外接三角形]]の[[フォイエルバッハ点]]はX(110)である。つまり、[[フォイエルバッハ双曲線|シュタムラー双曲線]]の中心である。

== 図 ==
<gallery class="center" widths="200" heights="200">
ファイル:KiepertHyperbola01.png|三角形ABCとA'B'C'の配景の中心の軌跡
ファイル:KiepertParabola.png|直線LMNの包絡線
ファイル:KiepertParabola01.png|キーペルト放物線の準線
</gallery>

== 関連項目 ==
* [[接円錐曲線]]
* [[三角形の中心]]
* [[三角形の二次曲線]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
== 外部リンク ==
* {{Cite web |author=Weisstein, Eric W. |title=Kiepert Hyperbola |url=https://mathworld.wolfram.com/KiepertHyperbola.html |website=MathWorld--A Wolfram Web Resource. |access-date=5 February 2022}}

{{デフォルトソート:きいへるとえんすいきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:円錐曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]