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'''ギブズ現象'''（ギブズげんしょう，{{lang-en-short|Gibbs phenomenon}}）は、[[区分的]][[連続微分可能]]な[[周期関数]]の[[フーリエ級数]]において、その関数が[[連続 (数学)#不連続関数|第1種不連続]] ({{en|discontinuity of the first kind}} 又は {{en|jump discontinuity}}) となる点付近では、フーリエ級数の''n'' 次[[部分和]]が大きく振動して、部分和の最大値が関数自体の最大値より大きくなってしまうことがあるという振る舞いのことを指す（不連続点付近での収束の乱れ）。この超過量は、高調波の[[周波数]]（つまり、部分和の項数）が増えても無くならず、ある有限極限値に近付く。日本語表記として「ギブズの現象」、「ギブス現象」、「ギブスの現象」とされることもある。名称は[[ウィラード・ギブズ|ジョシュア・ウィラード・ギブズ]]にちなむ。

一般的には、大きさ''a'' の跳びを有する、区分的連続微分可能な関数の任意の第1種不連続点において、その関数のフーリエ級数の ''n'' 次部分和（''n'' は非常に大きいとする）は、跳びが起こる一方の端では、約 0.089490... &times;''a'' だけ大きくなりすぎ、他方の端では、同じ分量だけ小さくなりすぎる。従って、フーリエ級数の部分和の「跳び」は、元の関数の跳びより約 18% 大きくなる。不連続点自体では、フーリエ級数の部分和は、跳びの中点に収束していく（これは、元の関数がこの点で如何なる値を実際に取るかとは無関係である）。
:<math>\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\ dt = \operatorname{Si}(\pi) = 1.851937052\cdots = \frac{\pi}{2} + \pi\cdot 0.089490\cdots</math>
は、「ウィルブラハム=ギブズ定数」({{en|Wilbraham–Gibbs constant}}) と呼ばれることもある（Siは[[正弦積分]]）。

ギブズ現象は、[[アルバート・マイケルソン]]により、グラフ作成機において最初に発見された。マイケルソンは、[[1898年]]に、フーリエ級数を計算・再合成する機械的装置を開発したが、矩形波を装置に入力すると、グラフは、不連続点付近で行ったり来たりしようとするのだった。これは、発生すると、[[フーリエ係数]]の個数が[[無限|無限大]]に近付いても持続するようだった。

この現象を始めて数学的に説明したのが、[[ウィラード・ギブズ|ジョシュア・ウィラード・ギブズ]]<ref>Gibbs, J. W., "''Fourier Series''". Nature 59, 200 and 606, 1899.</ref>だった。大まかな表現をするなら、この現象は、[[連続 (数学)#不連続関数|不連続関数]]を[[連続関数]]である正弦波関数および余弦波関数からなる級数で近似することに内在する困難の現れである。それは、また、ある関数の[[フーリエ係数]]が次数の増大に応じて減衰していく仕方が、その関数の滑らかさに従うという原則に、緊密に関係している。非常に[[滑らかな関数]]では、そのフーリエ係数は非常に急速に減衰する（そして、フーリエ級数は非常に急速に収束する）。これに対し、不連続関数では、フーリエ係数の減衰は非常に緩やかである（従って、フーリエ級数の収束は非常に緩慢である）。例えば、不連続である上記の矩形波のフーリエ係数  1, 1/3, 1/5, ... は、[[絶対収束]]級数ではない[[調和級数]]程度の速さでしか減衰しない。実際、上記のフーリエ級数は、変数''x'' の[[ほとんど至るところ|ほとんど全ての]]値で、[[条件収束]]するだけであることが分っている。このことは、ギブス現象が何故起こるのかということの一端を説明する。それは、絶対収束するフーリエ係数を有するフーリエ級数は、[[ワイエルシュトラスのM判定法|ワイエルシュトラスの判定法]]により[[一様収束]]するから、上述のような振動を起こすことはありえないからである。同じ理由で、不連続関数は、絶対収束するフーリエ係数を持つのは不可能である。何故なら、もしそうした関数が存在したとしたら、それは、連続関数列の一様極限になるので、連続関数でなければならなくなり、矛盾が生じるからである<ref group=note>フーリエ級数の絶対収束について更に知りたい場合は[[w:en:Convergence of Fourier series#Absolute convergence]]（英語）を参照されたい。</ref>。

実際上は、ギブズ現象による問題は、[[フェイェール核|フェイエール総和法]]または[[リース総和法]] ({{en|Riesz summation}}) 等のフーリエ級数の総和法における平滑化を行ったり、{{仮リンク|シグマ近似|en|sigma-approximation}}を行ったりするなら、改善できる。また、[[フーリエ変換]]の代わりに、[[ウェーブレット変換]]を用いるなら、ギブズ現象は発生しなくなる。

== ギブス現象の正式な数学的記述 ==
<math>f: {\mathbb R} \to {\mathbb R}</math> を、ある実数''L'' > 0 を周期とする区分的連続微分可能な周期関数とする。ある点''x''<sub>0</sub> において、関数''f'' の左極限''f'' (''x''<sub>0</sub><sup>-</sup> ) と右極限''f'' (''x''<sub>0</sub><sup>+</sup> ) とが、ゼロでない「跳び」''a''  だけ食い違っているものとする。つまり：

:<math> f(x_0^+) - f(x_0^-) = a \neq 0</math>

正整数''N'' &ge; 1 の各々に対して、''S<sub>N</sub> f'' を、フーリエ級数の''N'' 次部分和とする。つまり：

:<math> S_N f(x) := \sum_{-N \leq n \leq N} \hat f(n) e^{2\pi i n x / L}
= \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^N a_n \cos(2\pi nx/L) + b_n \sin(2\pi nx/L)</math>

ここで、フーリエ係数 <math>\hat f(n), a_n, b_n</math> は、次の通常通りの式で与えられたものである。
:<math>\begin{align} \hat f(n) &:= \frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-2\pi i nx/L}\ dx \\
a_n &:= \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \cos(2\pi nx/L)\ dx \\
b_n &:= \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin(2\pi nx/L)\ dx \end{align}</math>
従って、次の式が得られる：
:<math>\begin{align} \lim_{N \to \infty} S_N f(x_0 + L/2N) &= f(x_0^+) + a\cdot 0.089490\dots \\
\lim_{N \to \infty} S_N f(x_0 - L/2N) &= f(x_0^-) - a\cdot 0.089490\dots \end{align}</math>
及び
:<math> \lim_{N \to \infty} S_N f(x_0) = \frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}</math>

より一般的には、''x<sub>N</sub>'' が <math>N \to \infty</math> の時に''x''<sub>0</sub> に収束する任意の実数列であるとし、また跳び''a'' が正であるとすると、次のようになる。
:<math>\begin{align} \limsup_{N \to \infty} S_N f(x_N) &\leq f(x_0^+) + a\cdot 0.089490\dots \\
\liminf_{N \to \infty} S_N f(x_N) &\geq f(x_0^-) - a\cdot 0.089490\dots \end{align}</math>

跳び''a'' が負である場合には、上の2つの不等式において、[[上極限と下極限]]とを交換し、そして &le; 記号と &ge; 記号とを交換する必要がある。

== 矩形波の場合 ==
[[Image:Gibbs phenomenon 10.png|thumb|200px|right|矩形波関数 f(x) の5次近似]]
[[Image:Gibbs phenomenon 50.jpg|thumb|200px|right|矩形波関数 f(x) の25次近似]]
[[Image:Gibbs phenomenon 250.png|thumb|200px|right|矩形波関数 f(x) の125次近似]]
右の3つの図は、[[矩形波]]：
:<math>f(x) = \begin{cases}0 & x = 2n\pi\\
\pi/4 & 2n\pi < x < (2n+1)\pi\\
0 & x = (2n+1)\pi\\
-\pi/4 & (2n+1)\pi < x < 2(n+1)\pi \end{cases}</math>
について、ギブズ現象を示したものである。矩形波は、 変数値''x''  が&pi;の整数倍になる全ての点において不連続であり、高さ&pi;/2 の跳びを有する。

矩形波のフーリエ展開は以下の通り：

{{Indent|<math>f(x) = \sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{5}\sin 5x+\cdots</math>}}

図から分かるように、部分和の項数が増えるに連れて、近似誤差は幅、エネルギーとも減少するが、その高さは固定値に収束する。矩形波について計算すると（後述の計算を参照）、この誤差の高さの極限値を与える明示的な式が得られる<ref>{{cite|author=[[:en:Antoni Zygmund|Antoni Zygmund]] |title=Trigonometrical series| publisher= Dover publications |year=1955}} 第8章 第5節</ref>。これから、フーリエ級数は、矩形波の高さ&pi;/4 を、次の式で与えられる量だけ超過することが分かる。

{{Indent|<math>\frac{1}{2}\int_0^\pi \frac{\sin t}{t}\, dt - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\cdot 0.089490\dots </math>}}

===より詳細な説明===
この矩形波の場合、周期は''L'' = 2&pi;であり、不連続点は''x''<sub>0</sub>  = 0 であり、跳びは''a'' = &pi;/2 である。議論を単純にするため、''N'' が偶数の場合だけを扱うことにする（奇数の場合の議論も、全く同様にできる）。このとき、''N'' 次部分和は次のようになる（''N'' は偶数なので、この例では、''N'' 次高調波成分は存在しない）。
{{Indent|<math>S_N f(x) = \sin(x) + \frac{1}{3} \sin(3x) + \cdots + \frac{1}{N-1} \sin((N-1)x).</math>}}

ここに''x'' = 0 を代入すると、既述のように
{{Indent|<math>S_N f(0) = 0 = \frac{-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2}</math>}}
が得られる。次に、
{{Indent|<math>S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{1}{3} \sin\left(\frac{3\pi}{N}\right)
+ \cdots + \frac{1}{N-1} \sin\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right)</math>}}

を計算するのだが、この式は、[[sinc関数]] <math>\operatorname{sinc}(x) := \sin(x)/x</math> を用いると、次のように表せる。
:<math>S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right)
= \frac{1}{2} \left[ \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{\pi}{N}\right) + \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left(\frac{3\pi}{N}\right) + \cdots
+ \frac{2\pi}{N} \operatorname{sinc}\left( \frac{(N-1)\pi}{N} \right) \right]</math>

右辺の角括弧内の式は、積分 <math>\int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt</math> の[[数値積分]]近似である（より正確には、間隔 2&pi;/''N'' による[[中点法則]]近似である)。sinc 関数は連続だから、この近似は<math>N \to \infty</math> の時、実際の積分値に近付いていく。従って、次が得られる。
:<math>\lim_{N \to \infty} S_N f\left(\frac{2\pi}{2N}\right)
= \frac{1}{2} \int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt
= \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\cdot 0.089490\dots </math>
これは、本セクション冒頭で示された通りのものである。同様の計算で次が得られる。
:<math>\lim_{N \to \infty} S_N f\left(-\frac{2\pi}{2N}\right)
= -\frac{1}{2} \int_0^\pi \operatorname{sinc}(t)\ dt = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \cdot 0.089490\dots </math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{reflist|group=note}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* フーリエ級数論に基づく不連続部分の探索法,児玉賢史,2014
*{{cite|author=Wilbraham, H. |title=On a certain periodic function |publisher=Cambridge and Dublin Math. J., 3 |year=1848 |pages=198-201}}

==関連項目==
* [[フーリエ変換]]
* [[フーリエ級数]]
* [[フーリエ級数の収束]]
*[[ルンゲ現象]] - 多項式近似における問題 
*{{仮リンク|シグマ近似|en|Sigma approximation}}
* [[リンギング]] - [[電気信号]]の[[矩形波]]において起きるこれと似たような現象

==外部リンク==
*Braennlund, Johan, "''[http://groups.google.ca/groups?selm=4a2h6p%24io6%40columba.udac.uu.se Why are sine waves fundamental]''".
*Weisstein, Eric W., "''[http://mathworld.wolfram.com/GibbsPhenomenon.html Gibbs Phenomenon]''". From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
*Prandoni, Paolo, "''[http://lcavwww.epfl.ch/~prandoni/dsp/gibbs/gibbs.html Gibbs Phenomenon]''".
*Radaelli-Sanchez, Ricardo, and Richard Baraniuk, "''[http://cnx.rice.edu/content/m10092/latest/ Gibbs Phenomenon]''". コネクション・プロジェクト。利用にはクリエイティブ・コモンズによる著作権帰属表示要。
*Pavel, "''[http://klebanov.homeip.net/~pavel/fb/java/la_applets/Gibbs/ Gibbs phenomenon]''". math.mit.edu. ([[Java applet]])

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