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'''クザンの定理'''（{{lang-en-short|Cousin's theorem}}）は次のような[[実解析学]]における定理である:

:閉領域（現代的な用語でいえば[[閉集合|閉]]かつ[[有界]]）の各点に対して半径が有限の円（現代的には[[近傍_(数学)|近傍]]）が与えられているとき、この領域を有限個の部分領域に分けて、各部分領域がその部分領域内の点を中心とする与えられた円の内部に入るようにできる。<ref name="h1">Hildebrandt 1925, p. 29</ref>

この結果は[[アンリ・ポアンカレ]]の学生であるピエール・クザンによって1895年に確立・証明されたものである。それは[[コンパクト性]]に関する[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]の原型（<math>\mathbb{R}^n</math> のコンパクト部分集合の任意の[[被覆_(数学)|被覆]]に対するそれ）の拡張になっている。「クザンの定理」は一般には[[アンリ・ルベーグ]]に帰着でき、「ボレル＝ルベーグの定理」と呼び替えられた。ルベーグは1898年にこの結果を思いつき、1903年に彼の学位論文において証明した。<ref name="h1"/>

現在では、これは次のように述べられる:
:<math>\mathcal{C}</math> を <math> [a, b] </math> の全被覆とする。つまり、<math> [a, b] </math> の閉部分区間の集まりであって、任意の <math>x\in [a,b]</math> に対して、ある <math>\delta > 0</math> が存在して、<math>\mathcal{C}</math> は <math> [a, b] </math> の部分区間 <math>I</math> で <math>x\in I</math> かつ <math>\mathrm{length}(I) < \delta </math> なるものを全て含むとする。そのとき <math>[a, b]</math> の非重複な分割 <math>\{I_1, I_2, \ldots, I_n\}</math> であって、<math>I_i = [x_{i-1}, x_i] \in \mathcal{C}</math> かつ <math>a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b</math> なるものが存在する。

さらに、「クザンの定理」（という言葉）は主として[[ヘンストック＝クルツヴァイル積分]]においてのみ用いられ、しばしば '''Fineness Theorem''' あるいはクザンの補題と呼ばれる。これは次のように述べられる：
:もし <math>I := [a, b] \subseteq \mathbb{R}</math> が[[退化_(数学)|非退化]]な[[コンパクト空間|コンパクト]]区間で、<math>\delta</math> が <math>I</math> で定義された任意のゲージならば、<math>I</math> の点付き分割であって <math>\delta</math>-細であるものが存在する。<ref name="b1">Bartle 2001, p. 11</ref>


==証明==
有界閉区間 <math>I = [a, b]</math> の点付き分割とは、次を満たす点列 <math>\{ x_i \mid i\leq n \}</math> と <math>\{ \xi_i \mid i < n \}</math> からなる：
: <math>a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b</math>
: <math>x_i \leq \xi _i \leq x_{i+1}</math>
また <math>I</math> 上のゲージ <math>\delta</math> とは <math>I</math> 上定義された正の実数値を取る関数をいう。点付き分割が <math>\delta</math>-細であるとは、任意の <math>i < n</math> に対して <math>x_{i+1} - x_i \leq \delta(\xi_i)</math> が成り立つことをいう。

いま有界閉区間 <math>I</math> とその上のゲージ <math>\delta</math> が与えられたものとする。このとき <math>I</math> の <math>\delta</math>-細な点付き分割が存在することを示そう。

各 <math>\xi \in I</math> を中心とし長さ <math>\delta(\xi)</math> の開区間を <math>I_\xi</math> と書く。すると <math>\{ I_\xi | \xi\in I \}</math> は <math>I</math> の開被覆を成す。[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]より <math>I</math> はコンパクトであるから、先の被覆から有限部分被覆 <math>\{ I_\xi \mid \xi \in J \}</math> を取ることができる。ここで <math>J \subseteq I</math> は有限である。そこで点列 <math>\{\xi_i | i < n\}</math> を次のように[[再帰的定義|再帰的に定義]]する：
: <math>\xi_0 = \min J </math>
: <math>\xi_{i+1} = \min \{ \xi \in J \mid \xi_i < \xi \text{ and } \xi_i + \delta(\xi_i)/2 \in I_\xi \}</math>
: <math>b \in I_{\xi_i}</math> となったら構成を終える。

各 <math>0 < i < n</math> に対し、<math>\xi_{i-1} + \delta(\xi_{i- 1}) / 2 \in I_{\xi_i}</math> であって、<math>I_{\xi_i}</math> は[[開集合]]であるから、<math>I_{\xi_{i-1}} </math> と <math>I_{\xi_i}</math> は<math>(\xi_{i-1}, \xi_i)</math> のどこかで交わる。そこで <math>x_i</math> を <math>\xi_{i-1} < x_i < \xi_i</math> かつ <math>x_i \in I_{\xi_{i-1}} \cap I_{\xi_i}</math> となるように選択する。また <math>x_0 = a,\ x_n = b</math> とおく。すると <math>x_i, \xi_i</math> は <math>I</math> の点付き分割を成す。また、各 <math>i<n</math> に対して、<math>x_i, x_{i+1} \in I_{\xi_i}</math> ゆえ、<math>x_{i+1} - x_i < \delta(\xi_i)</math> が成り立つ。すなわち <math>x_i, \xi_i</math> は <math>\delta</math>-細である。

==関連項目==
*[[ハイネ・ボレルの被覆定理]]
*[[ヘンストック＝クルツヴァイル積分]]

==参照==
{{Reflist}}

==参考文献==

{{refbegin}}
*Hildebrandt, T. H. (1925). ''The Borel Theorem and its Generalizations'' In J. C. Abbott (Ed.), The Chauvenet Papers: A collection of Prize-Winning Expository Papers in Mathematics. Mathematical Association of America.
*Raman, M. J. (1997). ''Understanding Compactness: A Historical Perspective'', Master of Arts Thesis. University of California, Berkeley.
*Bartle, R. G. (2001). ''A Modern Theory of Integration'', [[Graduate Studies in Mathematics]] '''32''', American Mathematical Society.
{{refend}}
*寺澤順『はじめてのルベーグ積分』日本評論社（2009）。

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