クラスター代数のソースを表示

{{Rough translation|英語}}
{{孤立|date=2022年8月}}
'''団代数（クラスター代数）'''は{{Harvard citations|txt|last=Fomin|last2=Zelevinsky|year=2002|year2=2003|year3=2007}}によって導入された[[可換環]]の[[クラス (集合論)|クラス]]である。''[[行列の階数|ランク]]<nowiki/>nの''クラスター代数は、[[整域]]''A''であって、サイズ''n''の複数の[[部分集合|サブセット]]を持つものであり、それぞれのサブセットは団（クラスター）と呼ばれ、この複数のサブセットの[[和集合]]が[[体上の多元環|代数]]''A''を生成し、さまざまな[[条件数|条件]]を満たす。

== 定義 ==
''F''が整域であると[[仮定]]する。たとえば、[[有理数]]'''Q'''上の''n''個の変数の[[有理関数]]の[[可換体]]'''Q''' (''x''<sub>1</sub>,...,''x<sub>n</sub>'')などがその例である。

'''ランク'''''n''の'''団（[[クラスター]]）'''は、''F''の''n''個の要素{''x'', ''y'', ...}の[[集合|セット]]で構成される。それらのセットは、通常、[[体の拡大|体拡大]]''F''の[[体の拡大#代数性・超越性|代数的に独立]]した生成セットであるとみなされる。

'''シード（種）'''は、 ''F''の団（クラスター）{''x'', ''y'', ...}と'''{{仮リンク|交換行列|en|Exchange_matrix}}'''Bとからなる。ただし、'''交換行列'''Bの要素b<sub>x,y</sub>は整数であり、団（クラスター）の''要素の''ペア''x'',''y''によってインデックス付けされたものである。交換行列を[[交代行列]]（または[[歪対称行列]]）であると限定することもあり、その場合は、すべての''x''および''yに対してb<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub> = –''b<sub>y</sub>''<sub>,''x''</sub>である。より一般的には、交換行列は、歪対称化可能行列とされる。なお、歪対称化可能行列とは、そのすべての要素''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>が、団（クラスター）の要素に関連付けられた正の整数のセット{''d<sub>x</sub>'',d{{Resize|smaller|y}},...}を用いて、''d<sub>x</sub>b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub> = –''d<sub>y</sub>b<sub>y</sub>''<sub>,''x''</sub>と、交代行列(歪対称行列)に変換できるようなべて行列のことである<sub>''。''</sub>シード（種）は[[箙 (数学)|箙]]として視覚的に表現されることもよくある。箙は[[有向グラフ]]であり、''団（クラスター）''{''x'', ''y'', ...}を頂点とし、交換行列の''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>が正の場合、''x''から''y''に''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>本の有向辺（矢印）を引いたものである。 ''交換行列''が歪対称化可能行列である場合、箙はループまたは2サイクルを持たない。

シード（種）には'''変異'''と呼ばれる変化があり異なるシード（種）に変わる。この[[遺伝的変異|変異]]は、団（クラスター）の要素（箙で言えば頂点）の1つ選択するとそれに応じて決まる。この新たに生じるシード（種）は、[[傾理論|傾斜]]の一般化によって得られるが、それは次のような規則での''交換行列Bの要素の''変化と団（クラスター）{''x'', ''y'', ...}との変化からなる。変異を定める団（クラスター）の要素（箙の頂点）を''y''とする。交換行列''B''の変化は次の通り。団（クラスター）内のすべての''xについて、b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>および''b<sub>y</sub>''<sub>,''x''</sub>の値を交換する。''y''以外の団（クラスター）の要素''x,z''について、 ''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub> > 0 かつ ''b<sub>y</sub>''<sub>,''z''</sub> > 0である場合には、''b<sub>x</sub>''<sub>,''z''</sub> を ''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>''b<sub>y</sub>''<sub>,''z''</sub> + ''b<sub>x</sub>''<sub>,''z''</sub>に置き換える。''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub> < 0かつ''b<sub>y</sub>''<sub>,''z''</sub> < 0である場合には、''b<sub>x</sub>''<sub>,''z''</sub> を  -''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub>''b<sub>y</sub>''<sub>,''z''</sub> + ''b<sub>x</sub>''<sub>,''z''</sub>に置き換える。それ以外の場合（''b<sub>x</sub>''<sub>,''y''</sub> ''b<sub>y</sub>''<sub>,''z''</sub> ≤ 0の場合）には、''b<sub>x</sub>''<sub>,''z''</sub> は変えない。最後に、団（クラスター）{''x'', ''y'', ...}の変化を説明する。 ''y''を新しい生成要素''w''に、次のように置き換える。y以外の要素は変えない。

: <math>wy=\prod_{t: \, b_{t,y}>0}t^{b_{t,y}} + \prod_{t: \, b_{t,y}<0}t^{-b_{t,y}}</math>

この式の右辺は、シード（種）の団（クラスター）の要素''t''を''y''との関係（''b<sub>t,y</sub>''の[[正負]]）で2群に分け、群ごとに要素の冪の積を取り、その和となる[[多項式|''n''変数多項式]]となっている。なお、変異の逆も変異である。つまり、 シード（種）''A''がシード（種）''B''の変異である場合、 ''BはAの''突然変異である。

'''団代数（クラスター代数）'''は、初期シードから、次のように構築される。あるシードの変異は、団（クラスター）の要素ごとに定まるから、そのすべての変異を行うこととし、それを繰り返す。シード（種）を[[グラフ理論|グラフ]]の頂点とし、１回の変異で移りあうシード（種）のペアを両端点とする[[辺]]を引くことにすると、可能なすべての変異の繰り返しにより、グラフが生成される。このグラフは有限グラフの場合と無限グラフの場合とがある。団代数（クラスター代数）の基礎となる代数は、このグラフのすべてのシード（種）に付随する団（クラスター）のすべての要素によって生成された代数である。シード（種）には、上記で述べていないその他の構造も付随しており、それに対応する団代数（クラスター代数）も存在する。

団代数（クラスター代数）は、シード（種）の数が有限である場合、'''有限型'''であると言われる。 {{Harvtxt|Fomin|Zelevinsky|2003}}は、有限型の団代数（クラスター代数）が、[[有限次元]]の[[単純リー代数]]の[[ディンキン図形|ディンキン図]]の観点から[[分類]]できることを示した。

== 参考文献 ==
* {{Citation|last=Berenstein|first1=Arkady|last2=Fomin|first2=Sergey|last3=Zelevinsky|first3=Andrei|title=Cluster algebras. III. Upper bounds and double Bruhat cells|doi=10.1215/S0012-7094-04-12611-9|mr=2110627|year=2005|journal=[[Duke Mathematical Journal]]|volume=126|number=1|pages=1–52|arxiv=math/0305434}}
* {{Citation|last=Fomin|first1=Sergey|last2=Shapiro|first2=Michael|last3=Thurston|first3=Dylan|title=Cluster algebras and triangulated surfaces, part I: Cluster complexes.|year=2008|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=201|pages=83–146|doi=10.1007/s11511-008-0030-7|arxiv=math/0608367}}
* {{Citation|last=Fomin|first1=Sergey|last2=Zelevinsky|first2=Andrei|title=Cluster algebras. I. Foundations|doi=10.1090/S0894-0347-01-00385-X|mr=1887642|year=2002|journal=[[Journal of the American Mathematical Society]]|volume=15|number=2|pages=497–529|arxiv=math/0104151}}
* {{Citation|last=Fomin|first1=Sergey|last2=Zelevinsky|first2=Andrei|title=Cluster algebras. II. Finite type classification|doi=10.1007/s00222-003-0302-y|mr=2004457|year=2003|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=154|number=1|pages=63–121|arxiv=math/0208229|bibcode=2003InMat.154...63F}}
* {{Citation|last=Fomin|first1=Sergey|last2=Zelevinsky|first2=Andrei|title=Cluster algebras. IV. Coefficients|doi=10.1112/S0010437X06002521|mr=2295199|year=2007|journal=Compositio Mathematica|volume=143|number=1|pages=112–164|arxiv=math/0602259}}
* {{Citation|last=Fomin|chapter=Root systems and generalized associahedra|arxiv=math/0505518|isbn=978-0-8218-3736-8|volume=13|year=2007|mr=2383126|series=IAS/Park City Math. Ser.|place=Providence, R.I.|publisher=Amer. Math. Soc.|title=Geometric combinatorics|first1=Sergey|editor3-link=Bernd Sturmfels|editor3-first=Bernd|editor3-last=Sturmfels|editor2-first=Victor|editor2-last=Reiner|editor1-first=Ezra|editor1-last=Miller|first2=Nathan|last2=Reading|bibcode=2005math......5518F}}
* {{Citation|mr=3155783|last=Marsh|first1=Bethany R.|title=Lecture notes on cluster algebras.|series=Zurich Lectures in Advanced Mathematics|publisher=European Mathematical Society (EMS)|place=Zürich|year=2013|isbn=978-3-03719-130-9|doi=10.4171/130}}
* {{Citation|last=Reiten|first1=Idun|title=Tilting theory and cluster algebras|arxiv=1012.6014|series=Trieste Proceedings of Workshop|year=2010|bibcode=2010arXiv1012.6014R}}
* {{Citation|first1=Andrei|last=Zelevinsky|title=What Is . . . a Cluster Algebra?|journal=AMS Notices|volume=54|number=11|pages=1494–1495|year=2007|url=https://www.ams.org/notices/200711/tx071101494p.pdf}}.

* Fominの[http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/cluster.html Cluster algebra portal]
* [http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/papers.html 団代数（クラスター代数）関するFominの論文]
* [http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/papers.html][http://front.math.ucdavis.edu/author/A.Zelevinsky 団代数（クラスター代数）に関するゼレヴィンスキーの論文]
* 中西知樹:「団代数論の基礎」, 東京大学出版会, ISBN 978-4-13-061318-7 (2024年11月18日).





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