クレローの方程式のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年10月}}
'''クレローの方程式'''（クレローのほうていしき、Clairaut's equation）とは、次の形の[[微分方程式]]である。
:<math>y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>
この方程式の名は[[アレクシス・クレロー]]にちなんだものである。また、次の一階[[偏微分方程式]]もクレローの方程式と呼ばれる。
:<math>\displaystyle u=xu_x+yu_y+f(u_x,u_y)</math>

== 解法 ==
=== 常微分方程式 ===
[[常微分方程式]]
:<math>y(x)=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>
を解くには、まず両辺を ''x'' について微分する。
:<math>\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}+x\frac{d^2 y}{dx^2}+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d^2 y}{dx^2}</math>
整理して
:<math>0=\left(x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)\right)\frac{d^2 y}{dx^2}</math>
を得る。これより、
:<math>0=\frac{d^2 y}{dx^2}</math>
であるか、または
:<math>0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>
である。前者の場合、ある定数 ''C'' があって ''C'' = ''dy''/''dx'' となる。これを元の方程式に代入すると、
:<math>y(x)=Cx+f(C)\,</math>
という[[関数 (数学)|関数]]の[[族 (数学)|族]]が得られる。これをクレローの方程式の'''一般解'''という。

後者の場合、
:<math>0=x+f'\left(\frac{dy}{dx}\right)</math>
という式からはただひとつの解 ''y''(''x'') しか得られず、これを'''特異解'''と呼ぶ。特異解の[[グラフ (関数)|グラフ]]は一般解のグラフの[[包絡線]]になっている。

=== 偏微分方程式 ===
クレローの一階偏微分方程式

: ''u'' = ''xu<sub>x</sub>'' + ''yu<sub>y</sub>'' + ''f''(''u<sub>x</sub>'',''u<sub>y</sub>'')

は、シャルピの解法により解ける。

: ''p'' = ''u<sub>x</sub>''、''q'' = ''u<sub>y</sub>''、''F''(''x'',''y'',''u'',''p'',''q'') = ''u'' - ''xp'' - ''yq'' - ''f''(''p'',''q'')

とおけば、同方程式は ''F''(''x'',''y'',''u'',''u<sub>x</sub>'',''u<sub>y</sub>'')=0 である。

: ''F<sub>x</sub>'' = -''p''、''F<sub>y</sub>'' = - ''q''、''F<sub>u</sub>'' = 1
: ''F<sub>p</sub>'' = -''x'' - ''f<sub>p</sub>''、''F<sub>q</sub>'' = -''y'' - ''f<sub>q</sub>''

だから、補助方程式は、

: <math>
\frac {dx} {x + f_p} = \frac {dy} {y + f_q} = \frac {du} {xp + pf_p + yq + qf_q} = \frac {dp} {0} = \frac {dq} {0}
</math>

である。
後二式は ''dp'' = ''dq'' = 0 の意味だから、''u<sub>x</sub>'' = ''a''、''u<sub>y</sub>'' = ''b'' とおくと、

: ''u'' = ''ax'' + ''by'' + ''f''(''a'',''b'')　　…　(1)

である。
よって、''a''、''b'' を積分定数と解すれば、(1) が'''完全解'''となる。

完全解の平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は'''特異解'''を与える。
実際、(1) を ''a''、''b'' で偏微分した関係式

: ''x'' + ''f<sub>a</sub>''(''a'',''b'') = ''y'' + ''f<sub>b</sub>''(''a'',''b'') = 0

と (1) から ''a''、''b'' を消去できる場合には、解が得られる。

また、任意関数 ''g'' により、完全解の平面族の積分定数に関係 ''b'' = ''g''(''a'') を与えたとき、その平面族に包絡面が存在すれば、その包絡面の方程式は'''一般解'''を与える。
実際、(1) に ''b'' = ''g''(''a'') を代入した式を ''a'' で微分した関係式

: ''x'' + ''g''’(''a'')''y'' + ''f<sub>a</sub>''(''a'',''g''(''a'')) + ''f<sub>b</sub>''(''a'',''g''(''a''))''g''’(''a'') = 0

と (1) から ''a'' を消去できる場合には、解が得られる。

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Clairaut's Differential Equation|urlname=ClairautsDifferentialEquation}}

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