クロソイド曲線のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年11月7日 (水) 13:31 (UTC)}}
[[file:Clothoid curve.svg|thumb|288px|right|クロソイド曲線のプロット(<math>-15{\leq}l{\leq}15</math>)]]
'''クロソイド曲線'''（クロソイドきょくせん、{{lang-en-short|{{lang|en|clothoid curve}}}}）とは[[緩和曲線]]の一種である<ref group="" name="kumamoto-u_clothoid"/>。
「クロソイド」という名は、人間の運命の糸を紡ぐとされる[[ギリシア神話]]の[[女神]][[クロートー|クローソー]]に由来するもので、[[イタリア]]の数学者[[アーネスト・チェザロ|エルネスト・チェザロ]]によって名付けられた<ref>[https://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Sclothoid.htm Clothoid] National Aeronautics and Space Administration</ref>。[[光学]]分野においては、同曲線は'''オイラー螺旋'''（[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]らせん）<!--({{lang-en-short|{{lang|en|Euler spiral}}}})-->や'''コルニュ螺旋'''（[[マリー・アルフレッド・コルニュ|コルニュ]]らせん）<!--({{lang-en-short|{{lang|en|Cornu spiral}}}})-->とも呼ばれる。

==詳細==
[[曲率]]を一定[[割合]]で変化させていった場合に描かれる[[軌跡 (数学)|軌跡]]がクロソイド曲線である<ref group="" name="kumamoto-u_clothoid"/>。曲率半径と始点からの曲線長をそれぞれ <math>R</math> と <math>L</math> としたとき、両者の積は[[定数|一定]]となる。
:<math>RL=A^2</math>
<math>A</math> は、クロソイドパラメーターと呼ばれる、[[長さ]]の[[量の次元|次元]]を持つ定数である。
この式において、[[無次元量]] <math>r=R/A</math> および <math>l=L/A</math> をそれぞれ[[定義]]すると、<math>rl=1</math> となり、<math>r</math> および <math>l</math> の[[幾何学]]的[[性質]]から、実際の応用には[[スケール因子]]として機能する <math>A</math> を調節することで足りる。
これは、初等幾何学の[[三角形]]の[[図形の相似|相似]]のように、多くの曲線の中で極稀な[[相似則]]を有する曲線である。
この相似則を利用して、[[直線]]・[[円弧]]・クロソイド曲線の複合した複雑な[[道路]]の路線[[設計]]が可能となる。

始点の[[座標]]を[[ユークリッド空間]]上の[[原点 (数学)|原点]]として、<math>x</math> 軸を[[原点 (数学)|原点]]における[[接線]]方向に取れば、[[無次元化]]された座標 <math>(x,y)</math> は[[媒介変数]] <math>{\theta}</math> と既に定義されている無次元化された曲線長 <math>l</math> を用いて次のように書き表される。
:<math>x(l)={\int}_{0}^{l}{\cos}\frac{{\theta}^2}{2}d{\theta},{\quad}y(l)={\int}_{0}^{l}{\sin}\frac{{\theta}^2}{2}d{\theta}</math>
本式中の積分は[[フレネル積分]]として知られている。

なお、<math>0</math> の曲率を有するものが[[直線]]で、そうではない[[有限]][[数|値]]に曲率を固定したものが[[円_(数学)|円]]である<ref group="" name="kumamoto-u_clothoid"/>。

==実用例==
===道路・線路===
例えば、[[自動車]]の[[運転]]において、[[運転者]]が一定の[[速さ|走行速度]]で、[[ステアリングホイール|ハンドル]]を一定の[[角速度]]で回していった場合に自動車が走行した軌跡はクロソイド曲線を描く<ref group="" name="asakura_9784254261585"/>。もし、直線の[[道路]]に円弧状の道路が直接接続されると、その地点で曲率半径の変化に不連続が生じて、自動車ならば急なハンドル操作を、[[オートバイ|自動二輪車]]ならば車体の急な倒し込みを、それぞれ行わなければ円周上を辿れない。すなわち、[[躍度]]の急増で、乗員や積み荷が危険に曝される。そのために、[[直線]]と[[円弧]]とを繋ぐ中間にクロソイド曲線等の緩和曲線が挿入される。この緩和曲線に沿って、運転者に取って好ましい、ハンドルを滑らかに等速回転する運転操作を行えば、自動車走行路線長の最短を通り、2次微分[[連続 (数学)|連続]](<math>C^{2}</math> 連続)で変曲点のない一定の曲率の線上を、回転揺れなく走行できる。つまり、クロソイド曲線とは、[[慣性航法装置|慣性航法]]の理想[[軌道 (力学)|軌道]]上を走行する、消費[[エネルギー]]を最小にする[[ルーティング|経路]]である。既述の通り、クロソイド曲線は容易なハンドル操作のために道路等に利用されているが、クロソイド曲線の区間が短過ぎると、これも運転者に無理なそれを強いることになってしまう<ref group="" name="asakura_9784254261585"/>。安全なハンドル操作のためには、クロソイド曲線区間の走行時間が3秒以上とならなければならない<ref group="" name="asakura_9784254261585"/>。

クロソイド曲線は、[[ドイツ]]の[[第一次世界大戦]]後の復興の象徴となる[[アウトバーン]]建設で、総監督を務めた[[フリッツ・トート]]<!--{{lang-de-short|{{lang|de|Frits Todt}}}}-->によって道路線形として世界で最初に採用された。[[日本]]においては、同曲線は1952年に[[国道17号]]の[[三国峠 (群馬県・新潟県)|三国峠]]付近の区間を改良する際に初めて導入された<ref group="" name="chuko_9784121023216"/>。
この[[峠]]の[[群馬県]]側には[[石碑|記念碑]]『クロソイド曲線碑』が建てられている<ref group="" name="mlit_17mikuni"/><ref group="" name="mlit_radio06_0307"/>。[[ファイル:R17 clothoid Curve Monument.jpg|サムネイル|国道17号沿いに設置されたクロソイド曲線碑（2016年5月撮影）]]
クロソイド曲線が日本の道路に本格的に採用され始めたのは、[[フリッツ・トート]]が監督したアウトバーンの建設に従事していた経歴を持ち、[[世界銀行]]の提案が発端となって[[名神高速道路]]建設の技術顧問として来日滞在した[[フランツ・クサーヴァー・ドルシュ]]による平面線形の主要線形要素における採用が契機である<ref group="" name="jsce_00911"/><ref group="" name="w-nexco_meishinn-1966"/>。その後は、同曲線は、道路のみならず、曲率半径の小さい[[地下鉄]]等に用いられている。なお、[[在来線]]には3次放物線が、[[新幹線]]には半波長正弦逓減曲線が、それぞれ用いられている<ref group="" name="kumamoto-u_clothoid"/>。

クロソイド曲線は、設計や[[シミュレーション]]の段階から[[コンピュータ|電子計算]]を活用して、多用されている。

[[スプライン曲線|スプライン]]系の[[曲線]]と比較するとデータ点数と[[変数 (数学)|変数]]が大幅に少ないので、[[電子媒体]]の使用容量の増加を防いで[[コンピュータネットワーク|コンピューターネットワーク]]の負荷を大きく減少させる[[wikt:長所|利点]]もあって、ADAS([[衝突被害軽減ブレーキ|先進運転システム]])の高度化と車両の超短期開発の最前線で、各種アクティブ制御等高度化の基本[[サブルーチン|関数]]となっている。
同時に、道路のアップダウン情報の縦断勾配(設計値は放物線軌道の数式を採る)や横断勾配([[カント (路線)|カント]])の摺り付け・拡幅量の摺り付け・路面凹凸三次元座標・凍結等路面状況と[[風速]]等の[[気象]]環境・[[渋滞]]状況の報知・予測データを使用した<math>{\rm{CO}_{2}}</math>排出量の削減・転覆防止等の安全運転支援・車両制御や[[前照灯]]の傾きの制御に使われている。

[[カーナビゲーション|カーナビゲーションシステム]]で使用されている折線列3次元[[データ]]から車載コンピューターが[[リアルタイムシステム|リアルタイム]]に曲率を計算してこれらの用途に利用する動向も在る。
しかし、現実の道路中心線形は建設時に5cmから1mほどの製造誤差があり、しかも、直線・円弧・クロソイド曲線・放物線の複雑な組み合わせから構成されているために、車載コンピューターで逆問題を精度良く高速に解く自動計算による線形の復元において安全運転支援の目的で走行時の安定的な計算値を保証することが大変困難である。
リアルタイム処理ではない事前の前処理と超高速[[データベース]]に線形データを格納するための[[オーサリングツール|オーサリング]]が欠かせない。

かつては、クロソイド曲線を平面図に描く際には<math>X</math>軸の一定間隔毎に<math>Y</math>軸の数値を収録したクロソイド表を参照してプロットしたいくつかの点を[[雲形定規]]や専用のクロソイド定規を用いて繋ぐ等して仕上げていたが、現在は[[CAD]]をはじめとした種々の[[ソフトウェア]]が普及してからは容易に描けるようになった。ADAS用途のデジタル[[地図]]としては、{{lang|en|HERE Electronic Horizon}}<ref group="" name="uspto_6735515"/>や{{lang|en|SANEI Virtual Orbit}} (仮想軌道)<ref group="" name="reserge_2002271152"/>が良く知られている。クロソイド曲線をデジタル地図の走行路データとして活用している自動車開発・検査用途の[[CAE]]ソフトウェアとしては、{{lang|en|CarSim}}・{{lang|en|veDYNA}}・{{lang|en|Simulink}}・{{lang|en|VT2000}}・{{lang|en|Adams}}・{{lang|en|AVL InMotion}}等のように数多在る。このデジタル地図を各種の通信ネットワークから受信し、デジタル地図の走行路を前読みしてリアルタイム制御する試みも活発になりつつあることや、高速走行になるほどに変曲点および運転時のハンドルの回転揺れがないなどの有利な実用的軌道特性を持つことから、将来的には[[オートパイロット|自動運転]]基盤地図要素としての利用が期待される。

===ローラーコースター===
クロソイド曲線は[[ローラーコースター]]の垂直ループ(縦方向の<math>360</math>度回転)にも利用されている<ref group="" name="mlit_radio06_0307"/>。これは、直線軌道からクロソイド曲線を用いずに直に円軌道へ遷移すると、その瞬間に乗員の[[首]]に強烈な負荷が掛かって[[外傷性頸部症候群]](鞭打ち損傷)や[[ブラックアウト (航空・宇宙)|ブラックアウト]]が起こりうるためである。
[[ファイル:Flipflaprailway.jpg|サムネイル|コニーアイランドのフリップフラップ]]
実際に、[[コニーアイランド]]<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Coney Island}}}}-->にあった[[遊園地]]『{{仮リンク|シーライオンパーク|en|Sea Lion Park}}』<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Sea Lion Park}}}}-->に建設された、世界で初めて垂直ループを備えたローラーコースター『{{仮リンク|フリップフラップ|en|Flip Flap Railway}}』では正円型のそれが採用されていた。そして、それに乗車した人が鞭打ち損傷を負った<ref group="" name="chartwell_9780785808855"/><ref group="" name="harpercollins_9780061747663"/>。
<!--http://drkssk27.web.fc2.com/zekkyou/column/history.html-->
その後1970年代には[[アントン・シュワルツコフ]]がクロソイド曲線とパイプ型レールを合わせた近代的な垂直ループ式のローラーコースターを開発し<ref name="readers">宙返りコースター バイエルン製スリル製造機 - [[リーダーズ・ダイジェスト]]1981年12月号（日本リーダーズダイジェスト社）</ref>、「レボリューション」としてアメリカに初導入された<ref>[https://www.britannica.com/topic/roller-coaster/Introduction-of-steel-coasters#ref911012 roller coaster Introduction of steel coasters] - [[ブリタニカ百科事典|Britannica]]</ref>。

===機械===
[[機械]]系への応用でも、このクロソイド曲線の優れた幾何学的特性を{{仮リンク|タービンブレード|en|Turbine blade}}や[[カム (機械要素)|カム]]の補間曲線に利用しようとする研究がある<ref group="" name="nii_110002721508"/>。

==脚注==
{{reflist|1|refs=
<ref group="" name="kumamoto-u_clothoid">{{Cite web|url=http://www.civil.kumamoto-u.ac.jp/matsu/clothoid.pdf|title=クロソイド曲線|accessdate=2017-01-01|last=|first=|author=松本英敏|authorlink=|date=|year=|month=|format=PDF|work=|publisher=[[国土交通省]]|page=|pages=2,5|quote=|language=|archiveurl=|archivedate=|doi=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="asakura_9784254261585">{{Cite book|和書|author=福田正, 遠藤孝夫, 武山泰, 堀井雅史, 村井貞規 |title=交通工学 |publisher=朝倉書店 |year=2011 |edition=第3版 |NCID=BB05443509 |ISBN=9784254261585 |id={{全国書誌番号|21916269}} |url=https://www.asakura.co.jp/detail.php?book_code=26158　|pages=84-86}}</ref>
<ref group="" name="chuko_9784121023216">{{Cite book|和書|last=|first=|author=武部健一|authorlink=武部健一|last1=|first1=|author1=|authorlink1=|last2=|first2=|author2=|authorlink2=|last3=|first3=|author3=|authorlink3=|last4=|first4=|author4=|authorlink4=|coauthors=|translator=|editor=|others=|title=道路の日本史 古代駅路から高速道路へ|origdate=|origyear=|url=http://www.chuko.co.jp/shinsho/2015/05/102321.html|format=|accessdate=|edition=|date=2015-5-25|year=|publisher=[[中央公論新社]]|location=|series=[[中公新書]]|language=|id=|isbn=9784121023216|ncid=|naid=|oclc=|doi=|asin=4121023218|volume=|page=205|pages=|chapter=|chapterurl=|quote=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="mlit_radio06_0307">{{Cite web|url=https://www.ktr.mlit.go.jp/takasaki/local/radio06_0307.htm|title=「国道の維持管理」について(沼田維持修繕出張所編)|accessdate=2006-03-07|last=|first=|author=|authorlink=|date=|year=|month=|format=|work=|publisher=[[国土交通省]]|page=|pages=|quote=|language=|archiveurl=|archivedate=|doi=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="mlit_17mikuni">{{Cite web|url=http://www.ktr.mlit.go.jp/takasaki/road/17mikuni.htm|title=国道17号・三国防災|accessdate=2011-11-09|last=|first=|author=|authorlink=|date=|year=|month=|format=|work=|publisher=[[国土交通省]]|page=|pages=|quote=|language=|archiveurl=https://web.archive.org/web/20111109185323/http://www.ktr.mlit.go.jp/takasaki/road/17mikuni.htm|archivedate=2011-11-09|doi=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="jsce_00911">{{Cite journal|和書|author=橋本政子, 齋藤潮 |title=名神・東名高速道路におけるドイツ人技師ドルシュの設計思想に関する研究 |journal=景観・デザイン研究論文集 |ISSN=18816045 |publisher=土木学会 |year=2010 |issue=8 |pages=41-49 |naid=40017398472 |url=http://library.jsce.or.jp/jsce/open/00911/2010/08/08-0041.pdf |format=PDF}}</ref>
<ref group="" name="w-nexco_meishinn-1966">{{Cite book|和書|last=|first=|author=|authorlink=|last1=|first1=|author1=|authorlink1=|last2=|first2=|author2=|authorlink2=|last3=|first3=|author3=|authorlink3=|last4=|first4=|author4=|authorlink4=|coauthors=|translator=|editor=名神高速道路建設誌編纂委員会|others=|title=名神高速道路建設誌 各論|origdate=|origyear=|url=|format=|accessdate=|edition=|date=|year=1966|publisher=[[日本道路公団]]|location=|series=|language=|id=|isbn=9784121023216|volume=a|page=241|pages=|chapter=|chapterurl=|quote=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="nii_110002721508">{{Cite journal|和書|author=黒田満 |author2=斉藤剛 |author3=渡辺由美子 |author4=東正毅 |date=1997-03 |title=曲率が弧長の区分2次関数となるG3補間曲線 |url=http://id.nii.ac.jp/1001/00013460/ |journal=情報処理学会論文誌 |ISSN=1882-7764 |publisher=情報処理学会 |volume=38 |issue=3 |pages=555-562 |naid=110002721508}}</ref><ref group="" name="uspto_6735515">{{Cite web|url=http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=/netahtml/PTO/srchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=6735515.PN.&OS=PN/6735515&RS=PN/6735515|title=Method and system for providing an electronic horizon in an advanced driver assistance system architecture|accessdate=2004-05-11|last=|first=|author=ステファン・ベクトルシャイム<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Stephan Bechtolsheim}}}}-->・ダン・ラリー<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Larry Dunn}}}}-->・アンドレアス・ヘクト<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Andreas　Hecht}}}}-->・マティア・シュミット<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Matthias　Schmitt}}}}-->・ジェリー・フェイゲン<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Jerry　Feigen}}}}-->・ミケーレ・ローザー<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Michele　Roser}}}}-->|authorlink=|date=|year=|month=|format=|work=|publisher=ナビゲーション·テクノロジーズ<!--{{lang-en-short|{{lang|en|Navigation Technologies}}}}-->|page=|pages=|quote=|language={{en icon}}|archiveurl=|archivedate=|doi=|ref=}}</ref>
<ref group="" name="reserge_2002271152">{{Cite web|url=http://pat.reserge.net/PatentDocument.php?an=2002271152&dbid=JPP|title=運転支援システム、運転支援方法及び運転支援プログラム|accessdate=2003-11-28|last=|first=|author=山本忠・田村覚|authorlink=|date=|year=|month=|format=|work=|publisher=三英技研|page=|pages=|quote=|language=|archiveurl=|archivedate=|doi=|ref=}}</ref><!--System, method and program for supporting driving of cars http://patft.uspto.gov/netacgi/nph-Parser?Sect1=PTO1&Sect2=HITOFF&d=PALL&p=1&u=/netahtml/PTO/srchnum.htm&r=1&f=G&l=50&s1=6711480.PN.&OS=PN/6711480&RS=PN/6711480--><!--https://www.j-platpat.inpit.go.jp/web/all/top/BTmTopSearchPage.action-->
<ref group="" name="harpercollins_9780061747663">{{cite book2|language=en|author=<nowiki>Editors of Mental Floss</nowiki>|title=mental floss presents Instant Knowledge|url=https://www.harpercollins.com/9780060784751/mental-floss-presents-forbidden-knowledge|date=November 1, 2005|publisher=[[ハーパーコリンズ|HarperCollins Publishers]]|isbn=9780060784751<!--006078475X-->|asin=B000FCKH8I}}</ref><!--https://www.harpercollins.com/9780061747663/mental-floss-presents-instant-knowledge-->
<ref group="" name="chartwell_9780785808855">{{cite book2|language=en|last=Bennett|first=David|title=Roller Coaster: Wooden and Steel Coasters, Twisters, and Corkscrews|date=September 1, 1998|publisher=hartwell Books|isbn=9780785808855<!--078580885X-->}}</ref>
}}

== 関連項目　==
* [[線形_(路線)#緩和曲線]]
* [[高速道路催眠現象]]

== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|2476|クロソイド曲線の性質とその証明}}
*{{url|1=http://www.kozo.co.jp/dracad/member/doc.php?p2=82|2=クロソイドの雑学}}
*{{url|1=http://www.kozo.co.jp/dracad/member/doc.php?p2=83|2=クロソイドの設計と作図}}
*{{official website|https://here.com/en/products-services/products/here-electronic-horizon|name=HERE Electronic Horizon|mobile=|format=}}{{en icon}}
*{{official website|http://www.sanei.co.jp/vitrual_orbit/|name=SANEI Virtual Orbit (仮想軌道)|mobile=|format=}}
*{{official website|http://carsim.blogdehp.ne.jp/category/1275944.html|name=乗用車、商用車(四輪車)の車両運動シミュレーションソフトウエア:CarSim|mobile=|format=}}
*{{official website|https://www.tesis-dynaware.com/en/products/vedyna/overview.html|name=veDYNA: Real-Time Simulation of Vehicle Dynamics|mobile=|format=}}{{en icon}}
*{{official website|https://jp.mathworks.com/products/simulink.html|name=Simulink - Simulation and Model-Based Design|mobile=|format=}}
*{{official website|http://www.catec.co.jp/product_cust_car_vehicle2c.html|name=VT2000 (モデル構築ツール)|mobile=|format=}}
*{{official website|http://www.mscsoftware.com/ja/product/adams|name=Adams|mobile=|format=}}
*{{official website|https://www.avl.com/-/avl-inmotion-real-life-simulation|name=AVL InMotion Real-Life Simulation|mobile=|format=}}{{en icon}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{tech-stub}}
{{DEFAULTSORT:くろそいときよくせん}}
[[category:曲線|くろそいと]]
[[category:線形 (路線)]]
[[category:数学に関する記事]]
[[category:交通工学]]
[[Category:自転車競技場|**]]