クロネッカーの定理のソースを表示

{{otheruses||実解析的アイゼンシュタイ級数に関する定理|クロネッカーの極限公式}}
数学では、'''クロネッカーの定理'''（クロネッカーのていり、{{Lang-en-short|Kronecker's theorem}}）は、[[レオポルト・クロネッカー]]の名前に因んだ 2つの定理である。

== 拡大体の存在 ==
この定理は、ある[[可換体|体]] ''F'' の元を係数に持つ定数ではない[[多項式]] ''p''(''x'')&nbsp;&isin;&nbsp;''F''[''x''] が、拡大体 <math>E \supset F</math> に根を持つことを主張する<ref>[http://www.usna.edu/Users/math/wdj/book/node77.html Applied Abstract Algebra] by D. Joyner, R. Kreminski and J. Turisco.</ref>。

たとえば、''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 のような[[実数]]係数の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。

クロネッカーは元々有理数以外の数の存在を認めていなかったものの、この定理は普通クロネッカーの業績とされている<ref>{{Cite book | last=Allenby | first=R. B. J. T.| title=Rings, fields and groups: an introduction to abstract algebra | date=1983 | publisher=E. Arnold | location=London  | isbn=0-7131-3476-3 | pages=140,141}}</ref>。また、この定理によって多くの集合に対する有用な{{仮リンク|構成 (数学)|label=構成|en|Constructivism (mathematics)}}(construction)が与えられる。
<!--{{Hatnote|For the theorem about the real analytic Eisenstein series see [[Kronecker limit formula]].}}
In [[mathematics]], '''Kronecker's theorem''' is either of two theorems named after [[Leopold Kronecker]].
__NOTOC__
== The existence of extension fields ==
This is a theorem stating that a non-constant [[polynomial]] in a [[Field (mathematics)|field]], ''p''(''x'')&nbsp;&isin;&nbsp;''F''[''x''], has a root in an extension field <math>E \supset F</math>.<ref>[http://www.usna.edu/Users/math/wdj/book/node77.html Applied Abstract Algebra] by D. Joyner, R. Kreminski and J. Turisco.</ref>

For example, a polynomial in the [[Real number|reals]]  such as ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 has two roots, both in the complex field.

This theorem is usually credited to Kronecker despite his original reluctance to accept the existence of numbers outside of the rationals;<ref>{{Cite book | last=Allenby | first=R. B. J. T.| title=Rings, fields and groups: an introduction to abstract algebra | date=1983 | publisher=E. Arnold | location=London  | isbn=0-7131-3476-3 | pages=140,141}}</ref> it provides a useful [[Constructivism (mathematics)|construction]] of many sets.-->

== ディオファントス近似での結果 ==
クロネッカーの定理は、[[ディオファントス近似]]を 1 ≤ ''i'' ≤ ''N'' とした複数の実数 ''x''<sub>''i''</sub> へ適用した結果としても表現され、これは[[ディリクレのディオファントス近似定理|ディリクレの近似定理]]を多変数へと一般化した定理である。

古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 <math>\alpha_i=(\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{in})\in\mathbb{R}^n, i=1,\cdots,m </math> と <math>\beta_j=(\beta_1,\cdots,\beta_n)\in \mathbb{R}^n</math> が与えられると、すべての小さな <math>\epsilon>0</math> に対し、整数 <math>p_i</math> と <math>q_j</math> が存在し、
<math display="block">
\biggl| \sum^m_{i=1}q_i\alpha_{ij}-p_j-\beta_j\biggr|<\epsilon,\ \ \ \  1\le j\le n ,
</math>
が成り立つことと、
<math display="block">
\sum^n_{j=1}\alpha_{ij}r_j\in\mathbb{Z}, \ \ i=1,\dots,m\ ,
</math>
であるすべての <math>r_1,\dots,r_n\in\mathbb{Z},\ i=1,\dots,m</math> に対し、数 <math>\sum^n_{j=1}\beta_jr_j</math> が再び整数となることとは同値である。

クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりに[[レオポルト・クロネッカー]]により最初に証明された。20世紀後半以降、[[トーラス#n次元トーラス|n次元トーラス]]や[[マーラー測度]]の考え方と関係していることが明らかとなっている。
力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に（互いの間の引力相互作用による）依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。
<!--== A result in diophantine approximation ==
'''Kronecker's theorem''' may also refer to a result in [[diophantine approximation]]s applying to several [[real number]]s ''x<sub>i''</sub>, for 1 ≤ ''i'' ≤ ''n'', that generalises [[Dirichlet's approximation theorem]] to multiple variables.

The classical Kronecker's approximation theorem is formulated as follows; Given real numbers <math>\alpha_i=(\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n})\in\mathbb{R}^n, i=1,\cdots,m </math> and <math>\beta_j=(\beta_1,\cdots,\beta_n)\in \mathbb{R}^n</math> , for any small <math>\epsilon>0</math> there exist integers <math>p_i</math> and <math>q_j</math> such that

:<math>\biggl| \sum^m_{i=1}q_i\alpha_{ij}-p_j-b_j\biggr|<\epsilon,\ \ \ \  1\le j\le n</math> ,

if and only if for any <math>r_1,\dots,r_n\in\mathbb{Z},\ i=1,\dots,m</math> with

:<math>\sum^n_{j=1}\alpha_{ij}r_j\in\mathbb{Z}, \ \ i=1,\dots,m\ ,</math>
the number <math>\sum^n_{j=1}\beta_jr_j</math> is also an integer.

Kronecker's approximation theorem had been firstly proved by L. Kronecker in the end of the 19-th century. It has been now revealed to relate to the idea of [[n-torus]] and [[Mahler measure]] since the later half of the 20-th century. In terms of physical systems, it has the consequence that planets in circular orbits moving uniformly around a star will, over time, assume all alignments, unless there is an exact dependency between their orbital periods.-->

=== n次元トーラスとの関係 ===

''N'' を自然数として、[[トーラス]] ''T'' を

{{Indent|''T'' {{=}} ''R<sup>N</sup>/Z<sup>N</sup>''}}

と定義すると、トーラス上の点 ''P'' により生成される部分群 <''P''> の[[閉包 (数学)|閉包]]は有限群か、あるいは、''T'' の中に含まれるあるトーラス ''T&prime;'' である。元々の'''クロネッカーの定理''' ([[レオポルト・クロネッカー|クロネッカー]], 1884) の主張は、

{{Indent|''T&prime;'' {{=}} ''T'',}}

のための[[必要条件]]は、数 ''x''<sub>''i''</sub> と 1 が[[有理数体]]上で[[線型独立]]であることであり、これは同時に[[十分条件]]でもあるというものである。ここで、''x''<sub>''i''</sub> と 1 の非ゼロな有理数係数での[[線型結合]] <math>k_0\cdot 1 + k_1x_1 + ... + k_Nx_N; \ (k_0, k_i \in \mathbb{Q} \setminus \{0\})</math> が 0 であるならば、係数は整数にとることができ、群 ''T'' の{{仮リンク|自明指標|en|trivial character}}(trivial character)以外の[[指標 (数学)|指標]] χ が ''P'' 上で値 1 をとることが容易に分かる。[[ポントリャーギン双対性]]により、''T&prime;'' を χ の[[核 (群論)|核]]の部分集合とすることができ、故に ''T'' 全体には等しくない。
<!--=== the relation to n-torus ===

In the case of ''N'' numbers, taken as a single ''N''-[[tuple]] and point ''P'' of the [[torus]]

:''T'' = ''R<sup>N</sup>/Z<sup>N</sup>'',

the [[closure (mathematics)|closure]] of the subgroup <''P''> generated by ''P'' will be finite, or some torus ''T&prime;'' contained in ''T''. The original '''Kronecker's theorem''' ([[Leopold Kronecker]], 1884) stated that the [[necessary condition]] for

:''T&prime;'' = ''T'',

which is that the numbers ''x<sub>i''</sub> together with 1 should be [[linearly independent]] over the [[rational number]]s, is also [[sufficient condition|sufficient]]. Here it is easy to see that if some [[linear combination]] of the ''x<sub>i''</sub> and 1 with non-zero rational number coefficients is zero, then the coefficients may be taken as integers, and a [[character (mathematics)|character]] χ of the group ''T'' other than the [[trivial character]] takes the value 1 on ''P''. By [[Pontryagin duality]] we have ''T&prime;'' contained in the [[Kernel (group theory)|kernel]] of χ, and therefore not equal to ''T''.-->

実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体は、

{{Indent|χ(''P'') {{=}} 1}}

となる χ の核の交叉として、<''P''> の閉包を記述するものとなる。

このことは、''T'' の{{仮リンク|単元生成半群|label=単元生成な|en|Monogenic semigroup}}(monogenic)な閉部分群の間の（[[単調写像|単調な]]）[[ガロア接続]]と（位相的な意味で、単一の生成子を持つ）、与えられた点を含む核を持つ指標の集合を与える。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。

定理において、どのようにうまく（統一的に）''P'' の多重化 ''mP'' が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は{{仮リンク|等分布定理|en|equidistribution theorem}}(equidistribution theorem)により一様である。
<!--In fact a thorough use of Pontryagin duality here shows that the whole Kronecker theorem describes the closure of <''P''> as the intersection of the kernels of the χ with

:χ(''P'') = 1.

This gives an ([[antitone]]) [[Galois connection]] between [[Monogenic semigroup|monogenic]] closed subgroups of ''T'' (those with a single generator, in the topological sense), and sets of characters with kernel containing a given point. Not all closed subgroups occur as monogenic; for example a subgroup that has a torus of dimension ≥ 1 as connected component of the identity element, and that is not connected, cannot be such a subgroup.

The theorem leaves open the question of how well (uniformly) the multiples ''mP'' of ''P'' fill up the closure.  In the one-dimensional case, the distribution is uniform by the equidistribution theorem.-->


== 出典 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{SpringerEOM|title=Kronecker's theorem|urlname=Kronecker_theorem}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ワイルの判定条件|en|Weyl's criterion}} (Weyl's criterion)

{{DEFAULTSORT:くろねつかあのていり}}
[[Category:ディオファントス近似]]
[[Category:位相群]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]