グラフィカルモデルのソースを表示

'''グラフィカルモデル'''({{Lang-en|Graphical model}})は、グラフが、確率変数間の条件付き依存構造を示しているような確率モデルである。これらは一般に[[確率論]]や[[統計]]、特に[[ベイズ統計]]や[[機械学習]]で使用される。

[[ファイル:graphical_model_example.png|thumb|right|グラフィカルモデルの例。各矢印は依存関係を示している。この例では、DがAに依存し、DがBに依存し、DがCに依存し、CがBに依存し、そしてCがDに依存している。]]

==グラフィカルモデルの種類==
一般的には、多次元空間上の完全な分布と、ある特定の分布が保持する独立性の集合のコンパクトかつ分解された（[[:en:Graph factorization|factorized]]）表現であるグラフを表現するための基盤として、確率的グラフィカルモデルはグラフベースの表現を使用している。グラフィカルな分布の表現でよく使われるものに[[ベイジアンネットワーク]]と[[マルコフ確率場]]がある。両者は分解と独立性の性質を包含するが、表現することができる独立性の集合と、導く分布の分解が異なる<ref name=koller09>Koller; Friedman (2009). Probabilistic Graphical Models. Massachusetts: MIT Press. ISBN 0-262-01319-3.</ref>。

===ベイジアンネットワーク===
{{main|ベイジアンネットワーク}}

もし、モデルのネットワーク構造が[[有向非巡回グラフ]]ならば、そのモデルは、すべての確率変数の[[同時確率]]の積で表される。厳密に言うと、事象を<math>X_1,\ldots,X_n</math>とすると、共起確率は次を満たす:

:<math>P[X_1,\ldots,X_n]=\prod_{i=1}^nP[X_i|pa_i]</math>

ここで<math>pa_i</math>はノード<math>X_i</math>の親である。言い換えれば、[[同時確率]]は条件付き確率の積に因数分解される。例えば、上に指名した図のグラフィカルモデルは、同時確率が次のように因数分解される確率変数<math>A, B, C, D</math>によって構成されている:

:<math>P[A,B,C,D] = P[A] P[B] P[C|B,D] P[D|A,B,C].</math>

どの2つのノードも、それらの親ノードによる[[条件付き独立]]である。一般に、{{日本語版にない記事リンク|d-separation|en|d-separation}}と呼ばれる基準をグラフが満たしていれば、どの2つのノード集合も第3の集合による条件付き独立となる。ベイジアンネットワークにおいては、局所独立性と大域独立性は等しい。

このグラフィカルモデルは[[有向非巡回グラフ]]である[[ベイジアンネットワーク]](Bayesian network, Belief network)として知られている。[[隠れマルコフモデル]]や[[ニューラルネットワーク]]といった古典的な機械学習モデルや、{{日本語版にない記事リンク|Variable-orderマルコフモデル|en|variable-order Markov model}}のような新しいモデルは、ベイジアンネットワークの特殊ケースと考えることができる。

===マルコフ確率場===
{{main|マルコフ確率場}}
マルコフ確率場(マルコフネットワーク)は[[無向グラフ]]上のモデルである。繰り返し構造を多く持つグラフィカルモデルは{{日本語版にない記事リンク|プレートノーテーション|en|Plate notation}}を用いて表すことができる。

===他の種類===
* {{日本語版にない記事リンク|因子グラフ|en|factor graph}}は変数と因子を繋ぐ無向[[2部グラフ]]である。それぞれの因子はそれと繋がっている変数の確率分布を表現する。グラフは、[[確率伝搬法]]を作用させるために因子グラフの形に変形される。
* {{日本語版にない記事リンク|クリークツリー|en|clique tree}}は、[[クリーク (グラフ理論)|クリーク]]の[[木 (数学)|木]]であり、{{日本語版にない記事リンク|Junction Treeアルゴリズム|en|Junction tree algorithm}})で用いられる。
* {{日本語版にない記事リンク|連鎖グラフ|en|chain tree}})は有向エッジと無向エッジの両方を持つことを許した、有向な閉路を持たない（つまり、どのノードからスタートしても、枝の方向に従って移動すれば始点に戻らない）グラフである。[[有向非巡回グラフ]]も無向グラフも連鎖グラフの特殊ケースであり、それゆえベイジアンネットワークやマルコフネットワークを単一化したり一般化したりすることができる。<ref>{{cite journal|last=Frydenberg|first=Morten|year=1990|title=The Chain Graph Markov Property|journal=Scandinavian Journal of Statistics|volume=17|issue=4|pages=333–353|mr=1096723|jstor=4616181 }}</ref>
* {{日本語版にない記事リンク|Ancestralグラフ|en|Ancestral graph}}は拡張版であり、有向エッジ、双方向エッジ、無向エッジを持つ。<ref>{{cite journal
 |first1=Thomas |last1=Richardson |first2=Peter |last2=Spirtes
 |title=Ancestral graph Markov models
 |journal=[[Annals of Statistics]]
 |volume=30 |issue=4 |year=2002 |pages=962–1030
 |doi=10.1214/aos/1031689015
 |mr=1926166 | zbl = 1033.60008
}}</ref>
* [[条件付き確率場]](Conditional random field)は無向グラフ上の[[識別モデル]]である。
* 制限[[ボルツマンマシン]](Restricted Boltzmann machine)は無向グラフ上の[[生成モデル]]である。

==応用==
このモデルのフレームワークは、複雑な分布を簡潔に記述したり、分布中の非構造化情報を抽出したりするために、その構造を発見し分析するアルゴリズムを提供する。さらにそれらを構築し有効的に利用することを可能にする。<ref name=koller09/>グラフィカルモデルの応用には、[[情報抽出]]、[[音声認識]]、[[コンピュータビジョン]]、[[低密度パリティ検査符号]]の復号、{{日本語版にない記事リンク|遺伝子調節ネットワーク|en|gene regulatory network}}のモデリング、遺伝子の発見および疾患の診断、{{日本語版にない記事リンク|タンパク質構造のためのグラフィカルモデル|en|graphical models for protein structure}}などがある。

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
===書籍===
* {{cite book
 | last = Bishop
 | first = Christopher M.
 | authorlink = Christopher Bishop
 | title = Pattern Recognition and Machine Learning
 | publisher = Springer
 | year = 2006
 | url = http://research.microsoft.com/~cmbishop/PRML/
 | isbn=0-387-31073-8
 | chapter= Chapter 8. Graphical Models
 | chapterurl=http://research.microsoft.com/~cmbishop/PRML/pdf/Bishop-PRML-sample.pdf
 | pages=359–422
 | mr=2247587
}}
* {{cite book
 |author=Cowell, Robert G.
 |coauthors=[[Philip Dawid|Dawid, A. Philip]]; Lauritzen, Steffen L.; [[David Spiegelhalter|Spiegelhalter, David J.]]
 |title=Probabilistic networks and expert systems |publisher=Springer |location=Berlin |year=1999 |pages= |isbn=0-387-98767-3 |doi= |accessdate= |mr=1697175 |ref=cowell }} A more advanced and statistically oriented book
* {{cite book |author=Jensen, Finn |title=An introduction to Bayesian networks |publisher=Springer |location=Berlin |year=1996 |pages= |isbn=0-387-91502-8 |doi= |accessdate=}}
* {{cite book
 |author=[[Daphne_Koller|Koller, D.]]
 |author2=Friedman, N.
 |title=[http://pgm.stanford.edu/ Probabilistic Graphical Models]
 |publisher=MIT Press
 |location=Massachusetts
 |year=2009
 |pages= 1208
 |isbn=0-262-01319-3
 |doi= 
 |accessdate=
}}
* {{Cite book
 |first=Judea |last=Pearl |authorlink = Judea Pearl
 | year = 1988
 | title = Probabilistic Reasoning in Intelligent Systems
 | edition = 2nd revised
 | location = San Mateo, CA
 | publisher = [[Morgan Kaufmann]]
 | mr = 0965765
 |isbn = 1-55860-479-0
}} A computational reasoning approach, where the relationships between graphs and probabilities were formally introduced.

===ジャーナル記事===
* {{Cite journal
 | author = Edoardo M. Airoldi
 | title = Getting Started in Probabilistic Graphical Models
 | journal = [[PLoS Computational Biology]]
 | volume = 3
 | issue = 12
 | pages = e252
 | year = 2007
 | doi = 10.1371/journal.pcbi.0030252
 | pmid = 18069887
 | pmc = 2134967
}}
*{{cite journal|last1=Jordan|first1=Michael I.|title=Graphical Models|journal=Statistical Science|volume=19|issue=1|year=2004|pages=140–155|issn=0883-4237|doi=10.1214/088342304000000026}}

===その他===
*[http://research.microsoft.com/en-us/um/people/heckerman/tutorial.pdf Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial]
*[http://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Bayes/bnintro.html A Brief Introduction to Graphical Models and Bayesian Networks]
*[http://www.cedar.buffalo.edu/~srihari/CSE574 Sargur Srihari's lecture slides on probabilistic graphical models]

==関連項目==
* [[確率伝搬法]]
* [[共分散構造分析]]

{{統計学|分析}}
{{DEFAULTSORT:くらふいかるもてる}}
[[Category:ベイズ統計]]
[[Category:グラフィカルモデル|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:種類別のモデル]]
[[Category:統計モデル]]