グラム行列のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年5月}}
[[線形代数学]]において[[正方行列]] <math>\boldsymbol{A}</math> が与えられたとき, <math>\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{A}</math> を <math>\boldsymbol{A}</math> の'''グラム行列'''(ぐらむぎょうれつ, {{Lang-en-short|Gram matrix}})という。ここで、<math>\boldsymbol{A}^*</math>は<math>\boldsymbol{A}</math>の[[随伴行列|随伴]]である。

<math>\boldsymbol{A} = (\boldsymbol{a}_1 \dots \boldsymbol{a}_n)</math> であるとき, <math>\boldsymbol{A}</math> のグラム行列の <math>(i,j)</math> 成分は <math>\boldsymbol{C}^n</math> における標準[[内積]]を用いて <math>\langle\boldsymbol{a}_i,\boldsymbol{a}_j\rangle</math> と表せる。このことから、 [[内積空間]]の <math>n</math> 個のベクトル <math>\boldsymbol{x}_1,\dots,\boldsymbol{x}_n</math> が与えられたときに <math>\langle\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{x}_j\rangle</math> を <math>(i,j)</math> 成分にもつ行列のこともグラム行列という。

==性質==
グラム行列は[[半正定値行列|半正定値]][[エルミート行列]]であり、<math>A</math> のグラム行列 <math>G</math> について下記の 3 条件は同値である。
*<math>\boldsymbol{A}</math> は[[正則行列]]
*<math>\boldsymbol{G}</math> は正則行列
*<math>\boldsymbol{G}</math> は正定値エルミート行列

==関連項目==
*[[線形代数学]]
*[[内積]]

{{linear-algebra-stub}}

{{デフォルトソート:くらむきようれつ}}
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[[Category:行列]]
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[[Category:線型代数学]]
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