グランドポテンシャルのソースを表示

{{参照方法|date=2024年5月}}
{{統計力学}}
'''グランドポテンシャル'''（{{Lang-en|grand potential}}）とは、[[熱力学]]における[[示量性]][[状態量]]の1つである。
[[統計力学]]においては[[グランドカノニカルアンサンブル]]と関係付けられる。
グランドポテンシャルは[[エネルギー]]の次元を持つ。
記号 <math>J</math> や <math>\Omega</math> で表されることが多い。また、単に'''熱力学ポテンシャル'''（ねつりきがくポテンシャル、{{Lang-en|thermodynamic potential}}）と呼ばれることもある。

== 定義 ==
グランドポテンシャル <math>J</math> は、[[ヘルムホルツエネルギー]] <math>F</math>、[[化学ポテンシャル]] <math>\mu</math>、[[物質量]] <math>N</math> を用いて
{{Indent|
<math>J = F - \mu N</math>
}}
で定義される。

グランドポテンシャルを[[温度]] <math>T</math>、[[体積]] <math>V</math>、化学ポテンシャル <math>\mu</math> の関数 <math>J(T,V,\mu)</math> と見ると、[[完全な熱力学関数]]となる。
また、ヘルムホルツエネルギーを温度 <math>T</math>、体積 <math>V</math>、物質量 <math>N</math>
の関数 <math>F(T,V,N)</math> としてみたとき、グランドポテンシャルは <math>N</math> に関する[[ルジャンドル変換]]
{{Indent|
<math>J(T,V,\mu) = F(T,V,N(T,V,\mu)) - \mu\, N(T,V,\mu)</math>
}}
と見ることができる。
{{See also|熱力学ポテンシャル}}

== 微分 ==
グランドポテンシャル <math>J(T,V,\mu)</math> の[[全微分]]は
:<math>dJ(T,V,\mu) =</math><math> -S(T,V,\mu) dT</math><math> -p(T,V,\mu) dV</math><math> -N(T,V,\mu) d\mu</math>
となる。ここで <math>S</math> は[[エントロピー]]、<math>p</math> は[[圧力]]、<math>N</math>は物質量である。
従って、[[偏微分]]は
{{Indent|
<math>S(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial T}
 \right)_{V,\mu} </math>
}}
{{Indent|
<math>p(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial V}
 \right)_{T,\mu} </math>
}}
{{Indent|
<math>N(T,V,\mu) = -\left(
 \frac{\partial J(T,V,\mu)}{\partial \mu}
 \right)_{T,V} </math>
}}
となる。

系のスケール変換を考えると
{{Indent|
<math>J = -pV</math>
}}
の関係が得られる。

== 統計力学との関係 ==
[[統計力学]]においては[[グランドカノニカルアンサンブル]]と関係付けられる。
[[大分配関数]] <math>\Xi(\beta,\mu)</math> を用いて
{{Indent|
<math>J(\beta,\mu) = -\frac{1}{\beta}\ln\Xi(\beta,\mu)</math>
}}
と表される。ここで <math>\beta = 1/kT</math> は[[逆温度]]、<math>k</math> は[[ボルツマン定数]]である。

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author = 芦田正巳|title = 統計力学を学ぶ人のために|year = 2006|publisher = [[オーム社]]|isbn = 4-274-06671-1|page = }}
* {{Cite book|和書|author = 西川恭治|coauthors = 森弘之|editor = 荒船次郎ほか編|title = 統計物理学|year = 2000|publisher = [[朝倉書店]]|series = 朝倉物理学大系|isbn = 4-254-13680-3|page = }}

== 関連項目 ==
* [[グランドカノニカル分布]]
* [[大分配関数]]

{{Physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:くらんとほてんしある}}
[[Category:熱力学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:状態量]]