グリフィス理論のソースを表示

'''グリフィス理論'''（グリフィスりろん、Griffith's theory）または'''グリフィスの条件'''(Griffith's criterion)<ref name = "機械工学辞典_346"/>とは、[[き裂]]の進展は、新しいき裂面の広がりによる[[表面張力|表面エネルギー]]よりも、物体中に蓄えられた[[ひずみ]]の[[エネルギー]]の解放増分が大きくなったときに起こるとする、[[破壊力学]]における理論。

1921年に[[ロイヤル・エアクラフト・エスタブリッシュメント|イギリス王立航空研究所]]のアラン・アーノルド・グリフィス([[:en:Alan Arnold Griffith]])により発表され<ref name = "Griffith(1921)"/>、その後の破壊力学の先達となった。

==グリフィスの条件式==
[[File:CrackInfinitePlate.svg|thumb|200px|一様引張応力を受けるき裂]]
グリフィスは、最小ポテンシャルエネルギの原理により、き裂が成長して新たに形成される表面によるポテンシャルエネルギは最少となる必要があることから、き裂成長により解放される[[ひずみエネルギー]]と増加する新たなき裂[[表面張力|表面エネルギー]]が平衡を保つと仮定した<ref name = "Griffith(1921)_165"/>。すなわち、解放されるひずみエネルギ量が増加する表面エネルギ量を打ち消す、あるいは上回るときにき裂が成長するとした。これをグリフィスの条件と呼ぶ<ref name = "機械工学辞典_346"/>。

材料を[[横弾性係数]]''G''、[[ポアソン比]]''ν''の線形弾性体と仮定して、長さ2''a''のき裂を持つ単位厚さの無限板が、き裂に垂直な方向に無限遠方から一様引張応力''σ''を受ける場合を考える。このき裂により解放される弾性ひずみエネルギ''U''は以下のようになる<ref name = "Griffith(1921)_169"/>。

:<math> U = \frac{3-\kappa}{8G}\pi a^2  \sigma^2 </math>

:<math> \kappa = (3-\nu)/(1+\nu)</math>　（[[平面応力]]）
:<math> \kappa =  3-4\nu </math>　（[[平面ひずみ]]）

また、材料の単位面積当たりの表面エネルギーを''γ''とすると、このき裂の全表面エネルギ''W''は以下のように与えられる<ref name = "Griffith(1921)_169"/>。
:<math> W = 4a\gamma </math>
グリフィスの条件より
:<math> \frac{dU}{da} \ge \frac{dW}{da} </math>
であるので、''U''と''W''に代入して整理すると、き裂を成長させるのに必要な応力''σ''の以下の条件が得られる<ref name = "Griffith(1921)_169"/>。
:<math> \sigma \ge \frac{4}{\sqrt{3-\kappa}}\sqrt{\frac{G \gamma}{\pi a}} </math>
上式は、[[弾性率#等方均質材料の弾性率の相関関係|弾性率の相関関係]]を用いて[[縦弾性係数]]''E''とポアソン比''ν''で書き表した場合は次式となる<ref name = "材料強度_36"/>。
:<math> \sigma \ge  \sqrt{\frac{2 \gamma E'}{\pi a}} </math>
:<math> E' = E </math>　（平面応力）
:<math> E' = E/(1-\nu^2) </math>　（平面ひずみ）
さらに上式を変形すると以下のようになる。
:<math> (K_{\rm I}=)\sigma\sqrt{\pi a} \ge  2 \gamma E'(=K_{\rm Ic}) </math>
不等号の左辺はモードIの[[応力拡大係数]]''K''<sub>I</sub>と等しく、グリフィスの理論は後に発達する応力拡大係数を柱とした破壊力学の手法と等価である<ref name = "材料強度_37"/>。右辺は弾性率、材料表面エネルギという材料の[[物性値]]から決定される値となり、[[破壊靱性]]''K''<sub>IC</sub>と呼ばれる材料の破壊に対する抵抗を示す材料定数となる<ref name = "材料強度_37"/>。

グリフィスは[[ガラス]]を用いた実験検討を行い、条件式の有効性を確認した<ref name = "Griffith(1921)_175-176"/>。

==グリフィス・オロワン・アーウィンの条件==
[[File:PlasticZone2D.png|300px|thumb|き裂先端近傍に発生する塑性変形の様子]]
グリフィスの条件では、き裂を含む物体は[[塑性変形]]が起こらない線形弾性体（完全脆性材料）として条件式を導いた<ref name = "破壊力学_48"/>。しかし実際にはき裂を含む物体に力がかけられたとき、ほとんどの材料で、き裂先端近傍には塑性ひずみが発生する<ref name = "材料強度_37"/>。

このような塑性の影響は、グリフィスの研究後、オロワン(E.Orowan)、アーウィン(G.R.Irwin)らにより研究され、グリフィスの条件を延性材料にも適用可能な形で拡張した破壊条件をグリフィス・オロワン・アーウィンの条件と呼ぶ<ref name = "機械工学辞典_346"/>。き裂形成に必要なエネルギを、単位面積当たりの表面エネルギ''γ''に単位面積当たりの塑性ひずみエネルギ''γ''<sub>p</sub>を加えた有効表面エネルギ''Γ''で置き換えた、次式で表される<ref name = "材料強度_37"/>。
:<math> \sigma \ge  \sqrt{\frac{2 \Gamma E'}{\pi a}} </math>

:<math> \Gamma =\gamma + \gamma_p </math>

実際の破壊では、巨視的な塑性変形後が見られないような劈開破壊を起こした場合でも破面上では大きな塑性ひずみが起きていることが多く、
''γ''<sub>p</sub>の値は''γ''よりも[[オーダー (物理学)|オーダー]]がはるかに大きいことが多い<ref name = "破壊力学_118"/>。例えば低温劈開破壊した[[鋼]]の場合で、''γ''<sub>p</sub> / ''γ'' = 10<sup>3</sup>のオーダーの違いがある<ref name = "破壊力学_118"/>。そのため、''Γ''≒''γ''<sub>p</sub>として条件式を次式で表す場合もある<ref name = "材料強度_37"/>。
:<math> \sigma \ge  \sqrt{\frac{2 \gamma_p E'}{\pi a}} </math>

== 脚注 ==

=== 出典 ===
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2|refs=
<ref name = "材料強度_36">[[#材料強度|「材料強度」p.36]]</ref>
<ref name = "材料強度_37">[[#材料強度|「材料強度」p.37]]</ref>
<ref name = "破壊力学_48">[[#破壊力学|「破壊力学」p.48]]</ref>
<ref name = "破壊力学_118">[[#破壊力学|「破壊力学」p.118]]</ref>
<ref name = "機械工学辞典_346">[[#機械工学辞典|「機械工学辞典」p.346]]</ref>
<ref name = "Griffith(1921)">[[#Griffith(1921)|Griffith(1921)]]</ref>
<ref name = "Griffith(1921)_165">[[#Griffith(1921)|Griffith(1921)p.165]]</ref>
<ref name = "Griffith(1921)_169">[[#Griffith(1921)|Griffith(1921)p.169]]</ref>
<ref name = "Griffith(1921)_175-176">[[#Griffith(1921)|Griffith(1921)pp.175-176]]</ref>
}}

== 参考文献 ==
*{{cite journal|
 | last=Griffith
 | first=A. A.
 | year=1921
 | title=The Phenomena of Rupture and Flow in Solids
 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society. Series A, Containing Paper of a Mathematical or Physical Character
 | volume=221
 | issue=582-593
 | pages=163-198
 | id=doi: 10.1098/rsta.1921.0006 
 | url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/221/582-593/163.full.pdf+html
 |ref=Griffith(1921)
}}
* {{cite book|和書
|editor=日本機械学会
|title=機械工学辞典
|publisher=丸善
|date=2007-01-20
|edition=第2版
|ISBN=978-4-88898-083-8
|ref=機械工学辞典
}}
* {{cite book|和書
|author=小林英男
|title=破壊力学
|publisher=共立出版
|date=2013-05-01
|edition=初版
|ISBN=978-4-320-08100-0
|ref=破壊力学
}}
* {{cite book|和書
|author=大路清嗣、中井善一
|title=材料強度
|publisher=コロナ社
|date=2010-10-20
|edition=第1版
|ISBN=978-4-339-04039-5
|ref=材料強度
}}

{{DEFAULTSORT:くりふいすりろん}}
[[Category:材料工学]]
[[Category:破壊力学]]
[[カテゴリ:理論]]
[[en:Fracture mechanics#Griffith's criterion]]