グリーンの定理のソースを表示

{{calculus}}
'''グリーンの定理'''（グリーンのていり、{{lang-en-short|Green's theorem}}）は、[[ベクトル解析]]の[[定理]]である<ref name ="Arfken2005">George B. Arfken and Hans J. Weber (2005), chapter.1</ref><ref name ="Miyajima2007">宮島 (2007), 第2章</ref>
。[[イギリス]]の物理学者[[ジョージ・グリーン]]が導出した。２つの異なる定理がそれぞれグリーンの定理と呼ばれる。詳細は以下に記す。
注: [[グリーンの恒等式]]もグリーンの定理と呼ばれることがある。

== グリーンの定理（2次元） ==
[[積分法#重積分|2重積分]]と[[線積分]]との関係を表す数学公式である。これを3次元に拡張したものが[[ストークスの定理]]であり、また[[一般化されたストークスの定理]]の特殊な場合（2次元空間内の1次微分形式と2次微分形式の関係式）とも考えられる。

=== 公式 ===
閉曲線 ''C'' で囲まれた領域 ''D'' を考える場合、''C''<sup>1</sup> 級関数 ''P''(''x'', ''y''), ''Q''(''x'', ''y'') について、以下が成り立つ。
{{Indent|<math>\oint_{C} (P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x \mathrm{d}y</math>}}
すなわち、''P''(''x'', ''y''), ''Q''(''x'', ''y'')の''C''上の線積分が、その外微分の領域''D''上の重積分に一致する。

===定理の成立条件===
;領域と境界の条件
領域''D'' としては、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線''C''とする[[単連結]]領域のほかに、多重連結領域を考えることができる。多重連結領域の場合には、その境界が区分的に滑らかな閉曲線''C''<sub>1</sub>、''C''<sub>2</sub>、…、''C''<sub>''n''</sub> で与えられるとし、''C''<sub>2</sub>、…、''C''<sub>''n''</sub> が''C''<sub>1</sub> の内部に含まれるとしたときに、''C''<sub>2</sub>、…、''C''<sub>''n''</sub> の向き付けは、正の方向に進んだときに、領域''D'' の内部が左側に位置するようにとるものとする。すなわち、外部の境界''C''<sub>1</sub> の向き付けが反時計回りであるのに対し、内部の境界
''C''<sub>2</sub>、…、''C''<sub>''n''</sub> の向き付けは時計回りとする。

;関数の連続微分可能性
定理の成立条件として、''P''、''Q'' がそれぞれ''y''、''x'' について1回連続微分可能（''C''<sup>1</sup>級）が仮定されることが多いが、実際は&part;''Q''/&part;''x''、&part;''P''/&part;''y''が存在し、その差のみが連続であれば十分であることが、1900年、{{仮リンク|エドゥアール・グルサ|en|Édouard Goursat}}によって示され<ref>{{cite journal|first=Édouard|last=Goursat|url=http://www.ams.org/journals/tran/1900-001-01/S0002-9947-1900-1500519-7/S0002-9947-1900-1500519-7.pdf|title=Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=1|issue=1|pages=14–16|doi=10.1090/S0002-9947-1900-1500519-7 |ref=harv}}</ref>、その後、[[サロモン・ボホナー]]によっても、1930年代に同様な指摘がなされている<ref>{{cite book|和書|last=一松|first=信|authorlink=一松信|title=ベクトル解析入門|publisher=森北出版|date=1997|isbn=9784627036901}}</ref>。

===一般化されたストークスの定理との対応===
グリーンの定理は、以下のように[[一般化されたストークスの定理]]において、'''R'''<sup>2</sup>の有界閉領域''D'' 上で1次の[[微分形式]]&omega;を考えた場合に相当する。
:<math>
\int_{\partial D} \omega = \int_D \mathrm{d}\omega 
</math>
実際、1形式
:<math>
\omega= P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}y, \,
</math>
に対して、その[[微分形式#外微分|外微分]]は
:<math>
\mathrm{d} \omega = \biggl ( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \biggr ) \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y
</math>
であり、グリーンの定理に対応している。

==応用==
=== 面積の求積 ===
グリーンの公式の応用の一つとして、平面内の領域{{mvar|D}}に対し、その周囲における線積分による面積の求積がある<ref name ="Miyajima2007"></ref>。[[プラニメータ]]にも応用されている。閉曲線{{mvar|C}}で囲まれる領域{{mvar|D}}に対し、その面積は

:<math>
A = \iint_{D} 1 \mathrm{d}x \mathrm{d}y
</math>

で与えられる。{{math|''P''(''x, y''){{=}}-''y''/2}}、{{math|''Q''(''x, y''){{=}}''x''/2}}とすると、

:<math>
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} =1
</math>

であるから、グリーンの定理より、面積{{mvar|A}}は線積分

:<math>
A = \frac{1}{2} \oint_{C} ( -y \mathrm{d}x + x \mathrm{d}y )
</math>

で求まる。

{{math|''P''(''x, y''){{=}}''-y''}}、{{math|''Q''(''x, y''){{=}}0}}、もしくは{{math|''P''(''x, y''){{=}}0}}、{{math|''Q''(''x, y''){{=}}''x''}}の組からも同様の結果を得ることができ、面積{{mvar|A}}を求める線積分の公式として、

:<math>
A =  \oint_{C} x \mathrm{d}y =  \oint_{C} -y \mathrm{d}x
</math>

も成り立つ。

=== コーシーの積分定理 ===
複素数''z''=''x'' +''iy'' の[[正則関数]]
:<math>
f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \quad u,v \in \mathbb{R}
</math>
にグリーンの定理を適用すれば、「正則関数の閉曲線上の積分がゼロになる」という[[コーシーの積分定理]]を導くことができる。
実際、
:<math>
\oint_C f(z)\, \mathrm{d}z =\oint_C (u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}y)+i \oint_C (u\,\mathrm{d}y+v \,\mathrm{d}x)
</math>
に対して、グリーンの定理より、
:<math>
\oint_C (u\,\mathrm{d}x-v\,\mathrm{d}y) =
\iint_D\biggl ( -\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \biggr )
\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y
, \quad
\oint_C (u\,\mathrm{d}y+v\,\mathrm{d}x)=
\iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} \biggr )
\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y
</math>
であるが、被積分関数は[[正則関数|コーシー・リーマンの関係式]]より、0に等しく、
:<math>
\oint_C f(z)\, \mathrm{d}z =0
</math>
を得る。

== グリーンの定理（３次元） ==
[[ラプラシアン]]を含む[[体積分]]を境界上の[[面積分]]に置き換える数学公式である。

=== 公式 ===
３次元空間内の領域 ''D''、２階微分可能な任意スカラー場 φ, ψ について、
{{Indent|<math> \int_D \mathrm{d}V(\phi\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\phi) = \oint_{\partial D}\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cdot(\phi\boldsymbol{\nabla}\psi-\psi\boldsymbol{\nabla}\phi)</math>}}
が成立する。これは右辺に[[発散定理]]を適用して体積分に書き換えることで容易に得られる。

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', Elsevier Academic Press (2005), ISBN 978-0120598762
* [[宮島静雄]]『微分積分学としてのベクトル解析』[[共立出版]]（2007年）ISBN 978-4320018389

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Green's theorem}}
=== グリーンの定理（2 次元）===
* [[ストークスの定理]]
* [[コーシーの積分定理]]

=== グリーンの定理（3 次元）===
*[[ケルビン・ストークスの定理 ]]
* [[発散定理|ガウスの発散定理]]


{{DEFAULTSORT:くりいんのていり}}

[[Category:ベクトル解析]]
[[Category:微分積分学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]