グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態のソースを表示

'''グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態'''（グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガーじょうたい、{{lang-en-short|Greenberger–Horne–Zeilinger state}}、GHZ状態）とは、[[量子もつれ]]の典型的な例である。この状態では[[波動関数]]の[[重ね合わせ]]が巧妙なため、局所的[[隠れた変数理論]]とまったく相容れない実験結果を予言する。[[ベルの不等式]]で示される量子力学の非古典性をより鋭く示したものである。近年では実験で実現されている。

==重ね合わせの詳細==
GHZ状態は、[[二状態系]]3つが量子的にもつれた状態である。二状態系を電子のスピン自由度だと思うことにすると、
3つの電子のスピンのx, y, z 成分を測定することができる。電子のスピンは、どの成分を測定しても+1か−1を与えることが知られている。

GHZ 状態では、以下の節で説明してあるように、
* 1番目の電子のスピンのy成分、2番目の電子のスピンのy成分、3番目の電子のスピンのx成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (1)
* 1番目の電子のスピンのy成分、2番目の電子のスピンのx成分、3番目の電子のスピンのy成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (2)
* 1番目の電子のスピンのx成分、2番目の電子のスピンのy成分、3番目の電子のスピンのy成分 を測定した場合は、結果は (+++), (+--), (-+-), (--+)のいずれか。 ... (3)

を必ず与え、一方

* 1番目の電子のスピンのx成分、2番目の電子のスピンのx成分、3番目の電子のスピンのx成分 を測定した場合は、結果は (++-), (+-+), (-++), (---)のいずれか。 ...(4)

を必ず与えるような状態である。以上のような実験結果は、隠れた変数モデルでは説明できない。

なぜなら、隠れた変数モデルでは、量子状態の測定結果は確率的におこるけれども、一回一回の測定においては、どのような測定をした結果も決まっているはずである、と考える。すると、GHZ状態は測定以前でも、

* 1番目の電子のスピンのy成分を測定すると<math>s_y^{(1)}</math>、x成分を測定すると<math>s_x^{(1)}</math>
* 2番目の電子のスピンのy成分を測定すると<math>s_y^{(2)}</math>、x成分を測定すると<math>s_x^{(2)}</math>
* 3番目の電子のスピンのy成分を測定すると<math>s_y^{(3)}</math>、x成分を測定すると<math>s_x^{(3)}</math>

となることが決まっており、<math>s_{x,y}^{(1,2,3)}</math>への+1、−1の割り振りのパターンが確率的に決まっていると考えることになるが、

* 上の(1)より<math>s_y^{(1)}s_y^{(2)}s_x^{(3)}=1</math>
* 上の(2)より<math>s_y^{(1)}s_x^{(2)}s_y^{(3)}=1</math>
* 上の(3)より<math>s_x^{(1)}s_y^{(2)}s_y^{(3)}=1</math>

となる。これを三つ掛け合わせて、<math>(s_{x,y}^{(1,2,3)})^2=1</math>をつかうと、
{{Indent|<math>s_x^{(1)}s_x^{(2)}s_x^{(3)}=1</math>}}
となるが、

* 上の(4)より <math>s_x^{(1)}s_x^{(2)}s_x^{(3)}=-1</math>

となり、これは隠れた変数モデルが破綻していることを示している。

==量子力学を使った説明==
二状態系の通常の記述を用いれば、GHZ状態は
{{Indent|<math>|GHZ\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|111\rangle - |000\rangle)</math>}}
と表せる。
スピンのx, y軸成分の2倍は
{{Indent|<math>\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, 
  \sigma_y=\begin{pmatrix}0&i\\-i&0\end{pmatrix}</math>}}
で表されるから、
<math>|GHZ\rangle</math> が
{{Indent|
<math>\sigma_y^{(1)}\sigma_y^{(2)}\sigma_x^{(3)}=1,</math><br />
<math>\sigma_y^{(1)}\sigma_x^{(2)}\sigma_y^{(3)}=1,</math><br />
<math>\sigma_x^{(1)}\sigma_y^{(2)}\sigma_y^{(3)}=1,</math>
}}
そして
{{Indent|<math>\sigma_x^{(1)}\sigma_x^{(2)}\sigma_x^{(3)}=-1</math>}}
の固有状態であることはすぐ確かめられる。

==参考文献==
* D.M. Greenberger, M.A. Horne, A. Zeilinger, Going beyond Bell’s theorem, in Bell’s Theorem, Quantum Theory, and Conceptions of the Universe, edited  by M. Kafatos, (Kluwer Academics 1989), pp. 73--76

==関連項目==
* [[量子もつれ]]

{{physics-stub}}

{{DEFAULTSORT:くりいんはあかあほおんつあいりんかあしようたい}}

[[Category:量子力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]