グリーン・タオの定理のソースを表示

[[ベン・グリーン]] (Ben Green) と[[テレンス・タオ]] (Terence Tao) により2004年に証明された、数論における定理である'''グリーン・タオの定理'''<ref name="greenandtao">{{citation|doi=10.4007/annals.2008.167.481|first1=Ben|last1=Green|author1-link=ベン・グリーン|first2=Terence|last2=Tao|author2-link=テレンス・タオ|arxiv=math.NT/0404188 |title=The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=167|year=2008|issue=2|pages=481–547}}.</ref>は、[[素数]]の列は任意の長さの[[等差数列]]を含んでいるという定理である。言い換えると、任意の自然数 ''k'' に対し、''k'' 個の項からなる素数の等差数列が存在する。証明は{{仮リンク|Szemerédiの定理|en|Szemerédi's theorem}}の拡張となっている。

2006年、テレンス・タオとタマル・ツィーグラー (Tamar Ziegler) は、この結果を polynomial progression へ拡張した<ref>{{citation|first1=Terence|last1=Tao|author1-link=テレンス・タオ|first2=Tamar|last2=Ziegler|arxiv=math.NT/0610050 |title=The primes contain arbitrarily long polynomial progressions|journal=[[Acta Mathematica]]|volume=201|year=2008|pages=213–305 |doi=10.1007/s11511-008-0032-5}}.</ref>。正確に言えば、定数項が 0 の、一変数の{{仮リンク|整数値多項式|en|integer-valued polynomial}} ''P''<sub>1</sub>, ..., ''P<sub>k</sub>'' が任意に与えられると、
:<math>x+P_1(m),\ldots,x+P_k(m)</math>
が同時に素数となるような整数 ''x'', ''m'' が無数に存在する。この特別な場合として、多項式が ''m'', 2''m'', ..., ''km'' のものを考えると、長さが ''k'' の素数の等差数列が存在するということとなる。

==数値計算結果==

これらの結果は単に[[存在定理|存在を保証する定理]]であり、どのようにして等差数列を見つけるかは示してはくれない。2007年1月18日、ヤロスラフ・ロンブロースキー (Jarosław Wróblewski) は 24 個の項からなる場合を初めて示した<ref>Jens Kruse Andersen, [http://primerecords.dk/aprecords.htm Primes in Arithmetic Progression Records]. Retrieved on 2014-06-13</ref>。
:468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · ''n'',　　0 &le; ''n'' &le; 23.
ここで定数 223,092,870 は、23 以下の素数の積である（[[素数階乗]]を参照）。

2008年5月17日、ロンブロースキーとラーナン・チェルモーニ (Raanan Chermoni) は 25 個の素数の場合を見つけた。
:6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · ''n'',　　0 &le; ''n'' &le; 24.

2010年4月12日、Benoãt Perichon は、[[PrimeGrid]]プロジェクトのヤロスラフ・ウレブロフスキとゲオフ・レイノルズのソフトウェアを使い、26 個の素数の場合を見つけた（{{OEIS|id=A204189}}）。
:43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · ''n'',　　0 &le; ''n'' &le; 25.
2019年4月12日、Rob Gahan は、[[PrimeGrid]]プロジェクトのヤロスラフ・ウレブロフスキとゲオフ・レイノルズのソフトウェアを使い、27 個の素数の場合を見つけた（{{OEIS|id=A327760}}）。
:224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 223,092,870 · ''n'',　　0 &le; ''n'' &le; 26.

==関連項目==
*{{仮リンク|等差数列に関するエルデシュ予想|en|Erdős conjecture on arithmetic progressions}}
*[[算術級数定理|ディリクレの算術級数定理]]
*{{仮リンク|数論的組合せ論|en|Arithmetic combinatorics}}

==参考文献==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions MathWorld news article on proof]
*[http://primerecords.dk/aprecords.htm Primes in Arithmetic Progression Records]
*P. Erdos and P.Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
*AMS lecture: Structure and randomness in the prime numbers　[http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers] by Terence Tao.
* [https://arxiv.org/abs/1403.2957 The Green-Tao theorem: an exposition] by David Conlon, Jacob Fox, and Yufei Zhao

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