グロタンディーク位相のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年3月}}
'''グロタンディーク位相'''（{{lang-en-short|Grothendieck topology}}）とは位相空間上の開集合系が成り立つ性質を公理化し、圏の上に定義された一般化された位相のことである。またそのような位相を持つ圏を'''サイト'''（仏、英: site）といい、その位相を用いることにより位相空間上での[[層 (数学)|層]]の理論が使えて[[コホモロジー]]理論を得ることができる。歴史的には[[代数幾何学]]の[[ヴェイユ予想]]を解決するために[[アレクサンドル・グロタンディーク]]が[[エタール・コホモロジー]]を定義する際に導入された。

== 定義 ==
[[ファイバー積]]を持つ圏 ''C'' の各対象 ''S'' に対し、次の公理を満たす'''被覆''' (covering) と呼ばれる射の族 <math>\{ \phi_i \colon T_i \rightarrow S \}_{i \in I}</math> が定義されるとき、圏 ''C'' に'''グロタンディーク位相'''が定義されたといい、その位相の構造も含めて圏 ''C'' をサイト（site）と呼ぶ。

#同型射<math>\phi : T \rightarrow S</math>は''S''の被覆である。
#<math>\{ \phi_i : T_i \rightarrow S \}_{i \in I}</math>が''S''の被覆であるとき、任意の射<math>\xi : U \rightarrow S</math>から誘導される射の族<math>\{ \xi^{*}_i : T_i\times_S U \rightarrow U \}_{i \in I}</math>は''U''の被覆である。
#<math>\{ \phi_i : T_i \rightarrow S \}_{i \in I}</math>を''S''の被覆とし、おのおのの''T<sub>i</sub>''の被覆を<math>\{ \chi_{i, j} : U_{i, j} \rightarrow T_i \}_{j \in J_i}</math>とする。このときこれらの合成<math>\{ \phi_i \chi_{i, j} : U_{i, j} \rightarrow S \}_{i \in I, j \in J_i}</math>は''S''の被覆である。

== 例 ==
=== エタールサイト ===
''X'' をスキーム、(''Et''/''X'') を ''X'' 上エタールなスキームの成す圏とする。このときエタール射の族を被覆と定義することにより'''エタールサイト'''が得られ、それを再び (''Et''/''X'') で表す。このときの位相を'''エタール位相'''という。

=== ザリスキサイト ===
記号は上述のとおりとする。このとき普通のザリスキ位相に関する開埋め込みの族を被覆と定義することにより'''ザリスキサイト'''が得られる。これを ''X<sub>Zar</sub>'' で表す。これは普通のザリスキ位相をグロタンディーク位相として言い表したにすぎない。

== 応用 ==
開集合を被覆に置き換えることにより、層の理論が景上でまったく同様にして成り立つ。そのようにしてエタール景、ザリスキ景およびクリスタリン景上で[[エタール・コホモロジー]]、ザリスキ・コホモロジーおよび[[クリスタリン・コホモロジー]]が得られる。しかしながら異なるグロタンディーク位相が常に異なるコホモロジー理論を与えるわけではない (グロタンディークの篩)。このような欠点を補う概念としてグロタンディークによる[[トポス_(数学)|トポス]]の理論がある。

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