グーデルマン関数のソースを表示

{{Expand English|Gudermannian function|date=2024年5月}}
[[File:Gudermannian function.png|thumb|350px|right|グーデルマン関数は、共通の[[ステレオ投影]]を介して、[[扇形]]の面積を{{仮リンク|双曲線扇形|en|Hyperbolic sector}}の面積に関連付ける。青い双曲線扇形の面積の2倍が {{math|''ψ''}} である場合、赤い扇形の面積の2倍は {{math|''ϕ'' {{=}} gd ''ψ''}} となる。紫色の三角形の面積の2倍が {{math|''s'' {{=}} tan {{sfrac|1|2}}''ϕ'' {{=}} tanh {{sfrac|1|2}}''ψ''.}} のようにステレオ投影に相当する。青点の座標が {{math|(cosh ''ψ'', sinh ''ψ'')}}. 赤点の座標が {{math|(cos ''ϕ'', sin ''ϕ'')}}, 紫点の座標が {{math|(0, ''s'')}} に相当する。]]
'''グーデルマン関数'''（グーデルマンかんすう、{{lang-en|Gudermannian function}}、{{lang-de|Gudermannfunktion}}）は、{{仮リンク|クリストフ・グーデルマン|en|Christoph Gudermann}}（1798–1852）にちなんで命名された、[[複素数]]を用いない[[三角関数]]及び[[双曲線関数]]と関係する[[関数 (数学)|関数]]である。

== 定義 ==
[[File:Gudermannian graph.png|thumb|350px|right|グーデルマン関数（赤色）とその[[漸近線]] {{math|''y'' {{=}} ± ''π''/2}} を[[点線と破線|点線]]で示した[[グラフ (関数)|グラフ]]。]]

定義は以下のとおりである。

:<math>\begin{align}\operatorname{gd}x&= \int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\
&= \arcsin\left(\tanh x \right)
=\arctan\left(\sinh x \right) \\
&= 2\arctan\left[\tanh\left(\frac{1}{2}x\right)\right]
=2\arctan \left(e^x \right)-\frac{1}{2}\pi.
\end{align}</math>

グーデルマン関数と関連する[[公式]]の中には、定義として全く運用できないものがある。例えば、実数''x'' について、 <math>\arccos\operatorname{sech}x = \left\vert\operatorname{gd}x \right\vert = \arcsec(\cosh x)</math>　である。
{{see|逆三角関数}}

以下の[[恒等式]]が成り立つ。

:<math>\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}
\sin\operatorname{gd}x}}}&= \tanh x ;\quad
\csc\operatorname{gd}x=\coth x ;\\
\cos\operatorname{gd}x&= \operatorname{sech}x ;\quad\,
\sec\operatorname{gd}x=\cosh x ;\\
\tan\operatorname{gd}x&= \sinh x ;\quad\,
\cot\operatorname{gd}x=\operatorname{csch}\, x ;\\
{}_{\color{white}.}\tan\tfrac{1}{2}\operatorname{gd}\,x&= \tanh\tfrac{1}{2}x.
\end{align}</math>

[[File:Inverse Gudermannian graph.png|thumb|300px|right|グーデルマン関数の逆関数（青色）とその漸近線 {{math|''x'' {{=}} ± ''π''/2}} を点線で示したグラフ。]]

グーデルマン関数の[[逆関数]]（逆グーデルマン関数又はランベルト関数と称する）は、[[区間 (数学)|区間]] <math>\left(-\pi/2, \pi/2\right)</math> において、次のように与えられる{{Efn|グーデルマン関数自体の定義から、<math>y=\operatorname{gd}^{-1}\,x</math> は[[微分方程式]]  <math>y^{\prime}=\cosh y</math> を満たす。}}。
:<math>
\begin{align}
\operatorname{gd}^{-1}\,x & = \int_0^x\frac{dt}{\cos t} \\[8pt]
& = \ln\left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| = \frac{1}{2}\ln \left| \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} \right| \\[8pt]
& = \ln\left| \tan x +\sec x \right| = \ln \left| \tan\left(\frac{1}{4}\pi + \frac{1}{2}x\right) \right| \\[8pt]
& = \operatorname{artanh}(\sin x) = \operatorname{arsinh}(\tan x).
\end{align}
</math>
{{see|逆双曲線関数}}

== 性質 ==
* グーデルマン関数とその逆関数の原点周りの級数展開は次のとおりである。
::<math>\operatorname{gd}x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\frac{61 x^7}{5040}+\cdots ;
\quad \operatorname{gd}^{-1}x=x+\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}+\frac{61 x^7}{5040}+\cdots .</math>
* グーデルマン関数とその逆関数の[[微分法|微分]]は次のとおりである。
::<math>\frac{d}{dx}\;\operatorname{gd}x=\operatorname{sech}x;
\quad \frac{d}{dx}\;\operatorname{gd}^{-1}\,x=\sec x.</math>
* 逆グーデルマン関数は次式のように[[フーリエ級数]]展開できる。
::<math>\operatorname{gd}^{-1}x=-2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{\sin(2n-1)x}{2n-1}.</math>
* 数式 <math>\pi/2 - \operatorname{gd}x</math> は、[[双曲幾何学]]において、{{仮リンク|平行角|en|angle of parallelism}}関数を定義する。
* <math>y=\operatorname{gd}x</math> のグラフ、''y''軸および[[漸近線]]で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の[[面積]]は、[[カタランの定数]]''G''の4倍に等しい。すなわち、
::<math>\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\sgn x\operatorname{gd}x\right)dx=4G.</math>

== 歴史 ==
この関数は、[[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト]]によって1760年代に双曲線関数と同じ頃に紹介された。彼はそれを「超越角」（''transcendent angle''）と呼び、[[アーサー・ケイリー]]が[[1862年]]に、[[1830年代]]のグーデルマンによる[[特殊関数]]の理論の功績にちなんで「グーデルマン関数」と呼ぶことを提案するまで、様々な名称で呼ばれてきた<ref>George F. Becker, C. E. Van Orstrand. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlix.</ref>。グーデルマンは、幅広い読者に向けて''sinh''と''cosh''（同書では <math>\mathfrak{Sin}</math> と <math>\mathfrak{Cos}</math> の表記を用いた）を説いた[[1833年]]の著書"[https://books.google.co.jp/books?id=ChVNAAAAMAAJ&hl=ja&pg=PT6#v=onepage&q&f=false ''Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen'']"に、[[クレレ誌]]で発表した論文を収録した。

グーデルマン関数を表す記号''gd'' は、''[[:en:Philosophical Magazine|Philosophical Magazine]]''XXIV巻の19ページ<ref>{{Cite journal |last=Cayley |first=Arthur |year=1862 |title=On the transcendent <math display=inline>\operatorname{gd} u = \tfrac{1}{i}\log \tan \bigl(\tfrac14\pi + \tfrac12 ui\bigr)</math> |journal=[[フィロソフィカル・マガジン|Philosophical Magazine]] |series=4th Series |volume=24 |issue=158 |pages=19–21 |url=https://archive.org/details/londonedinburg4241862lond/page/19  |doi=10.1080/14786446208643307}}</ref>において、ケイリーが{{仮リンク|正割関数の積分|en|Integral of the secant function}}の逆について、''gd. u''を用いたのが始まりである。ここで、
:<math>u = \int_0^\phi \sec t \,dt = \ln\tan\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}\phi\right)</math>

であり、超越の定義を次のように示した。

:<math>\operatorname{gd} \,u = i^{-1}\ln\tan\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}ui\right)</math>

よって、それは''u'' の[[実関数]]であることが即座に見いだされる。

== 応用 ==
[[地球]]を[[真球]]と見立てたとき、[[メルカトル図法]]による投影面上における、[[赤道]]からの[[緯線]]距離についてのグーデルマン関数の関数値は、[[子午線弧]]長、すなわち実際の地球上の[[緯度]]に相当する。[[ガウス・クリューゲル図法]]による[[投影法 (地図)|地図投影]]においては、座標換算の中間変数として用いられる[[緯度#正角緯度 (conformal latitude)|正角緯度]]の導入時においてもグーデルマン関数が現れる<ref>{{Cite journal|和書|author=河瀬和重|author-link=河瀬和重|year=2011|title=Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法|url=https://www.gsi.go.jp/common/000061216.pdf|journal=国土地理院時報|volume=121|pages=109–124|publisher=[[国土地理院]]}}</ref>。 

また、グーデルマン関数は、[[倒立振子]]の非周期解に現れる<ref>John S. Robertson, "Gudermann and the Simple Pendulum", ''The College Mathematics Journal'' '''28''':4:271–276 (September 1997) [http://www.jstor.org/stable/2687148 at JSTOR]</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* CRC ''Handbook of Mathematical Sciences'' 5th&nbsp;ed. pp. 323–325.
* 坂元左馬太 (1934): [http://library.jsce.or.jp/Image_DB/mag/m_jsce/20-09/20-9-12230.pdf グーデルマンの角と實双曲線函數及び指數函數の計算に就て], 土木学会誌, '''20'''(9), 1081–1086

== 関連項目 ==
* [[双曲線正割分布]]
* [[メルカトル図法]]
* [[トラクトリックス]]
* [[三角関数の公式の一覧]]
* [[緯度#等長緯度 (isometric latitude)|等長緯度]]

== 外部リンク ==
* {{mathworld|urlname=Gudermannian|title=Gudermannian}}

{{デフォルトソート:くうてるまんかんすう}}
[[Category:三角法]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:指数関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ヨハン・ハインリヒ・ランベルト]]
[[Category:数学のエポニム]]