ケプラーの法則のソースを表示

{{読み仮名_ruby不使用|'''ケプラーの法則'''|ケプラーのほうそく}}は、[[ドイツ]]の[[天文学者]][[ヨハネス・ケプラー]]によって発見された[[惑星]]の運動に関する法則である。

[[ファイル:Аномалии.gif|thumb|ケプラーの法則を動画で示した図。]]
[[ファイル:Plocha pruvodice.png|thumb|
緑色の観測範囲は近い位置にいる為角度の変化が大きく、赤色の観測範囲は遠い位置にいる為角度の変化が小さく、紺色の観測範囲は角度の変化が緩やかに増える。その角度の変化を計測することで、ケプラーの法則が成り立つ。
<!--一応編集しましたが、具体的な内容になる案がございましたら加筆編集お願いいたします!-->
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== 法則 ==
ケプラーは、[[ティコ・ブラーエ]]の観測記録から<ref>原康夫『物理学通論 I』 p107、学術図書出版、2004年</ref>、[[太陽]]に対する[[火星]]の運動を推定し<ref>松田哲『パリティ物理学コース 力学』 p86、丸善、2002年</ref>、以下のように定式化した。

;第1法則（楕円軌道の法則）
[[File:kepler-first-law.svg|thumb|Figure 1: ケプラーの第1法則（楕円軌道の法則）。太陽が楕円の焦点のひとつ。]]
:惑星は、[[太陽]]を[[焦点 (幾何学)|焦点]]のひとつとする[[楕円軌道]]上を動く<ref>『数学と理科の法則・定理集』159頁。アントレックス（発行）図書印刷株式会社（印刷）</ref>。
:太陽の位置を原点に取り、太陽と惑星の距離 {{mvar|r}}、 [[真近点角]] {{mvar|θ}} をパラメータとする[[極座標系|極座標]]では、惑星の軌道は次の式で与えられる。
::<math>r=\frac{p}{1+\varepsilon\, \cos\theta}.</math>
:ここで、 {{mvar|p}} は半通径(semi-latus rectum)、{{mvar|ε}} は楕円の[[離心率]]である。ただし {{math|0&nbsp;≦&nbsp;ε&nbsp;＜ 1}} であり、{{math|ε&nbsp;{{=}}&nbsp;0}} のとき、太陽中心の円軌道を表す。
;第2法則（面積速度一定の法則）
:惑星と太陽とを結ぶ[[線分]]が単位時間に掃く面積（面積速度）は、一定である。
;第3法則（調和の法則）
:惑星の[[公転周期]]の2乗は、[[軌道長半径]]の3乗に[[比例]]する。

先に、第1法則および第2法則が発見されて[[1609年]]に発表され<ref>Astronomia Nova 『新天文学』[[岸本良彦]]訳（工作舎、2013年 ISBN 978-4-87502-453-8）</ref>、後に、第3法則が発見されて1619年に発表された<ref>Harmonice Mundi 『宇宙の調和』[[岸本良彦]]訳（工作舎、2009年 ISBN 978-4-87502-418-7）</ref>。

== 法則の意味するもの ==
第1法則は、惑星の軌道が真円ではなく楕円であることと、太陽の位置は楕円の中心ではなく[[焦点]]の1つであることを述べている（もう片方の焦点には何もない）。また、惑星の軌道が太陽を含む一平面上であることも暗に意味している。後のニュートン力学では、[[中心力]]の作用する[[2体問題]]の解として、束縛運動であるならば楕円運動になることが示される。

楕円運動の発見のエピソードとして、当時、惑星の運動は円であると信じられていたが、それに従わない火星のデータを[[ティコ・ブラーエ]]が困ってケプラーに担当させたため、との話がある。

第2法則は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味している。これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる事も有るが、面積速度とは、惑星の位置[[空間ベクトル|ベクトル]]と速度ベクトルの[[クロス積|外積]]に他ならず、ニュートン力学における、[[角運動量保存の法則]]に相当する。

第3法則は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存して決まることを意味する。楕円軌道の[[離心率]]に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、[[円運動]]でも楕円運動でも周期は同じになる。この法則も後のニュートン力学で導ける。

ケプラーの法則に従う運動を'''ケプラー運動'''ともいう。

==科学史における意義==
ケプラーの法則は、[[天動説]]に対する[[地動説]]の優位を決定的なものにした。[[ニコラウス・コペルニクス]]によって[[地動説]]が唱えられて以降も、地動説に基づく惑星運動モデルは、従来の[[天動説]]モデルと比べ、実用上必ずしも優れたものではなかった。

しかしケプラーの法則の登場により、地動説モデルは天動説モデルよりも、はるかに正確に惑星の運動を記述することが可能になった。ケプラーの法則の発見は、[[地球]]含む惑星の軌道の形が真円ではないことを裏付けた。

また、惑星の軌道を[[楕円形]]であるとした第1法則は、天体は[[円 (数学)|真円]]に基づく運動をするはずであるという、[[古代ギリシア]]以来の常識を打ち破るものでもあった。

[[江戸時代]]の日本の天文学者、[[麻田剛立]]は第3法則に類似した法則を独自に発見し、『五星距地之奇法』の中に記述を残している<ref>鹿毛敏夫、『月のえくぼ（クレーター）を見た男 麻田剛立』P.194、くもん出版、2008年、ISBN 978-4-7743-1391-7</ref>。

==万有引力の法則との関係==
[[アイザック・ニュートン]]は、自分が発見した[[運動の法則]]と、このケプラーの法則などを元に[[万有引力|万有引力の法則]]を導き出した。一方、ケプラーの法則は万有引力の法則を、[[惑星]]の[[ポテンシャルエネルギー]]と[[運動エネルギー]]の和が負である（すなわち、惑星が無限遠まで飛んでいかない）という条件の下、[[太陽]]の質量に比べ惑星の[[質量]]が十分小さい（すなわち、太陽は静止していると見なせ、惑星間の相互作用は無視できる）という近似を行って解くことによって導くことができる。ケプラーが[[太陽系]]の惑星の運動について述べたことは、ある[[質点]]とその周囲を回るそれに比べて十分に質量の小さな質点という、2つの任意の質点間に対しても同様に成り立つことが分かる。

したがって、ケプラーの法則は、太陽と惑星の間だけでなく、惑星と[[衛星]]（あるいは[[人工衛星]]）などの間でも成立する。

なお、第2、第3法則は二つの質点の質量が同程度でも成立する。このことから、第3法則と万有引力の法則を利用して[[連星]]系の主星と伴星、太陽と惑星、[[二重惑星]]、惑星と衛星などの質量の和も求めることもできる。[[軌道長半径]] （質量が同程度の場合は連星間距離）を {{Mvar|a}}、[[公転周期]]を {{Mvar|P}}、主星の質量を {{Mvar|M}}、伴星の質量を {{Mvar|m}}、[[万有引力定数]]を {{Mvar|G}} とすれば、これらの関係は次のようになる。

:<math>\frac{a^3}{P^2}=G\frac{M+m}{4\pi^2}.</math>

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
*[[円運動]]
*[[軌道力学]]
*[[ニュートン力学]]
*[[年周視差]]
*[[法則の一覧]]
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== 外部リンク ==
{{commons category|Kepler motions}}
*{{Kotobank|ケプラーの法則}}

{{軌道}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:けふらあのほうそく}}
[[Category:軌道]]
[[Category:自然科学の法則]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:実験式]]
[[Category:ヨハネス・ケプラー]]
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