ケプラー三角形のソースを表示

[[ファイル:Kepler_triangle.svg|右|サムネイル|'''ケプラー三角形'''は、面積が[[黄金比]]を公比とした等比数列の関係になっている3つの正方形の辺で形成される直角三角形。]]
'''ケプラー三角形'''は三辺の比が[[等比数列]]となっている[[直角三角形]]で、その公比は[[黄金比]] <math>\varphi</math> の平方根<math>\sqrt{\varphi}</math>{{Efn|<math>\varphi = {1 + \sqrt{5} \over 2}</math>}}であるような三角形のことである。つまりケプラー三角形の辺の比は<math> 1 : \sqrt\varphi : \varphi</math> 、おおよそ'''1 ：1.272 ：1.618'''<ref>{{Cite book|title=The Shape of the Great Pyramid|last=Roger Herz-Fischler|publisher=[[Wilfrid Laurier University Press]]|date=2000|isbn=0-88920-324-5|page=81|url=https://books.google.com/?id=066T3YLuhA0C&pg=PA81}}</ref>である。したがって三角形の一辺を辺とした正方形も黄金比を公比とした等比数列になる。

このような比率の三角形は、ドイツの[[数学者]]で[[天文学者]]の[[ヨハネス・ケプラー]]（1571–1630）にちなんで名付けられた。ケプラーは、この三角形の短辺と[[斜辺|斜辺の]]比率が黄金比に等しいことを最初に発見した人物である<ref name="livio">{{Cite book|last=Livio|first=Mario|date=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=[[Broadway Books]]|location=New York|isbn=0-7679-0815-5|page=[https://archive.org/details/goldenratiostory00livi/page/149 149]|url=https://archive.org/details/goldenratiostory00livi/page/149}}</ref>。ケプラー三角形は[[ピタゴラスの定理]]と黄金比という2つの重要な数学的概念を組み合わせており、次に示すようにケプラーを深く魅了した：

{{quote|幾何学には2つの宝がある。一つはピタゴラスの定理、もう一つは外中比（黄金比）である。一つ目は金塊と比べ、二つ目は貴重な宝石と呼ぶことになるだろう。<ref>{{cite book | title = A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik |author1=Karl Fink |author2=Wooster Woodruff Beman |author3=David Eugene Smith | publisher = Chicago: Open Court Publishing Co | date = 1903 | edition = 2nd | page = [https://archive.org/details/bub_gb_3hkPAAAAIAAJ/page/n238 223] | url = https://archive.org/details/bub_gb_3hkPAAAAIAAJ}}</ref>|||}}

また、ケプラー三角形に非常に近い寸法の三角形が[[ギザの大ピラミッド]]にあるという主張もいくつか存在する<ref>{{Cite book|title=The Best of Astraea: 17 Articles on Science, History and Philosophy|publisher=Astrea Web Radio|isbn=1-4259-7040-0|date=2006|page=93}}</ref><ref name="Squaring the circle, Paul Calter">[http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit2/unit2.html Squaring the circle, Paul Calter]</ref>。

== 導出 ==
[[黄金比]] <math>\varphi</math> は次の二次方程式

: <math>x^2-x-1=0 </math>

の解である。したがって

: <math>\varphi^2 - \varphi - 1 = 0 </math>

であるため、次の等式が成立する：

: <math>\varphi^2 = \varphi + 1 </math>

これを[[ピタゴラスの定理]]の形に書き換えると

: <math>(\varphi)^2 = (\sqrt\varphi)^2 + (1)^2. </math>

== 算術平均、幾何平均、調和平均との関係 ==
正の実数''a''および''b''に対し、それらの[[算術平均]]、[[幾何平均]]、および[[調和平均]]が直角三角形の各辺の長さとなることは、直角三角形がケプラー三角形であることに同値である<ref>Di Domenico, Angelo, "The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means," ''[[The Mathematical Gazette]]'' 89, 2005.</ref>。

== ケプラー三角形の作図 ==
[[ファイル:Kepler_Triangle_Construction.svg|サムネイル|[[黄金長方形]]を利用したケプラー三角形の作図方法。]]
ケプラー三角形は初めに黄金三角形を作ることで、[[定規とコンパスによる作図]]により作図することが可能である：

# 一辺が1の正方形を作図する
# 正方形の片側の中点から反対側の角まで線分を引く
# その線分を半径とした円弧を描き、長方形の高さを定める
# 黄金長方形を作図する
# 黄金長方形の長辺を使用して、長方形の反対側と交差し、ケプラー三角形の[[斜辺]]を定義する円弧を描画する

ケプラー自身は上述の方法とは違う方法でケプラー三角形を作図しており、実際、彼の前指導教官であった[[ミヒャエル・メストリン]]への手紙の中で「外中比（黄金比）で分割された直線上に直角三角形を作ると、その直角が区間点に置かれた垂直上にある場合、小さい方の脚は分割された直線の大きい方と等しくなる。」と書いている<ref name="livio">{{Cite book|last=Livio|first=Mario|date=2002|title=The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number|publisher=[[Broadway Books]]|location=New York|isbn=0-7679-0815-5|page=[https://archive.org/details/goldenratiostory00livi/page/149 149]|url=https://archive.org/details/goldenratiostory00livi/page/149}}</ref>。

== 数学的性質 ==
[[ファイル:Kepler_triangle_squaring_the_circle.svg|代替文=construction|サムネイル|160x160ピクセル|この円と正方形の周長はほぼ同じになる]]
三辺が<math>1, \sqrt{\varphi}, \varphi</math>であるケプラー三角形において次の円と正方形を考える：

* ケプラー三角形に外接する円
* 一辺が<math>\sqrt{\varphi}</math>の正方形

このとき、円周（ <math> \pi \varphi</math> ）と正方形の[[周長]]（ <math>4 \sqrt{\varphi}</math> ）は0.1％以下の誤差の範囲で一致する。
したがって近似的に <math>\pi \approx 4/\sqrt\varphi</math> が成り立つがこれは{{仮リンク|数学的偶然の一致|label=偶然の一致|en|Mathematical coincidence}}であり、正方形と円の周囲長を完全に一致させることは不可能である（仮に一致できた場合、[[円積問題]]における古典的な（不可能な）問題を解決できてしまうため）。言い換えると、円周率 <math>\pi</math> が[[超越数]]であるため<math>\pi \neq 4/\sqrt\varphi</math>である。

ケプラー三角形はエジプトのピラミッドのデザインに現れている。[[ギザの大ピラミッド]]にある部屋の床面の対角線に部屋の幅を加えたものを部屋の奥行で割ると、黄金比に非常に近くなる<ref name="Squaring the circle, Paul Calter">[http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.geometry/unit2/unit2.html Squaring the circle, Paul Calter]</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20140102194148/http://www.petrospec-technologies.com/Herkommer/pyramid/pyramid.htm The Great Pyramid, The Great Discovery, and The Great Coincidence], Mark Herkommer, June 24, 2008 (Web archive)</ref>。ただし、この関係を調査したさまざまな学者によると、古代エジプト人はおそらく円周率 <math>\pi</math> と黄金比 <math>\varphi</math> の間の数学的一致を知らなかったと考えられている<ref>{{Cite journal|last=Markowsky|first=George|date=January 1992|title=Misconceptions about the Golden Ratio|url=http://www.umcs.maine.edu/~markov/GoldenRatio.pdf|journal=College Mathematics Journal|volume=23|issue=1|pages=2–19|publisher=[[Mathematical Association of America]]|format=PDF|DOI=10.2307/2686193|JSTOR=2686193}}</ref>。

== 関連項目 ==

* [[黄金三角形]]
* {{仮リンク|特殊直角三角形|en|Special right triangle}}

== 脚注 ==
'''脚注'''{{Notelist}}'''引用'''{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* [http://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/2606_f5.htm ケプラー三角形]

{{多角形}}
{{貴金属比}}

{{DEFAULTSORT:けふらあさんかくけい}}
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[[Category:初等幾何学]]
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[[Category:数学に関する記事]]