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'''ケプラー方程式'''(ケプラーほうていしき)とは、[[ケプラーの法則|ケプラー問題]]<ref group="注">[[ケプラー予想]]のことではなく、惑星の軌道を求める問題</ref>において離心近点離角 ''E'' と平均近点離角 ''M'' の関係を記述する次の{{ill|超越方程式|en|Transcendental equation}}のことである<ref>{{天文学辞典 |urlname=keplers-equation |title=ケプラー方程式}}</ref>{{Sfn|木下|1998|p=9}}。
{{Indent|<math> M = E  - e \sin E. </math>}}
この方程式を所与の離心率 <math> e </math> のもとで解き離心近点離角 ''E'' を平均近点離角 ''M'' の関数として求めることで[[惑星]]の軌道上の位置を決定することができる。

== 歴史 ==
[[File:KeplerEq Fig1Rev.png|200px|thumb|点 '' M'' は惑星の位置、点 '' N '' は太陽の位置(惑星の楕円軌道の焦点の1つに相当)、点 '' A '' は[[遠日点]]をそれぞれ表す。]]
[[ヨハネス・ケプラー|ケプラー]]は、[[1609年]]に発表した著書「新天文学」の中で、現在[[ケプラーの法則]]として知られるもののうち、
第1法則(惑星は[[太陽]]を1つの[[焦点 (幾何学)|焦点]]とする[[楕円軌道]]を描く)と第2法則([[面積速度]]一定の法則)について述べた<ref>数学セミナー増刊「数学・物理100の方程式」日本評論社、ISBN 4-535-70409-0、p.134.</ref>。
ただ、ケプラーの時代には[[微積分学]]がなかったため、その数学的な表現は[[幾何学]]的なものである。
ケプラーによる表現では、

{{Indent|<math> t \propto </math> 三角形 '' KHN + '' 扇形 '' KHA '' <math> = \frac{ 1 }{ 2 } ( E - e \sin E), </math>}}

が使われており、これが現在ケプラーの第1、第2法則と呼ばれているものを集約的に表現している
(ケプラーは言葉で表現しており数式を使ってはいないが、数式で表現するとこのようになる)
<ref name="semi_135">「数学・物理100の方程式」p.135.</ref>。
ここで '' t '' は時刻、<math> e </math> は[[離心率]]、'' E '' は[[離心近点角|離心近点離角]]を表す。
後に、この式を[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]は別の表現に書きかえた<ref name="semi_135" />。
オイラーは[[公転]]周期 '' T '' を用いて、等価な式

{{Indent|<math> \frac{ t }{ T } = \frac{ E - e \sin E }{ 2 \pi }, </math>}}

あるいは、平均角速度 <math> n := 2 \pi / T </math>、[[平均近点角|平均近点離角]]  <math>M := nt</math> を使い、

{{Indent|<math> M = E - e \sin E, </math>}}

を用いた<ref name="semi_135" />。
通常は、この形の方程式を '''ケプラー方程式''' と呼んでいる<ref name="semi_135" />{{Sfn|木下|1998|p=9}}。
現代では[[運動方程式]]を数値的に解くことでも各時刻の惑星の位置を決定できるが、ケプラーの時代はそのような手法はなかったので
(もちろん、[[万有引力|万有引力の法則]]も発見されていない)、
まず、惑星の[[楕円]]の軌道の形を定め(つまり、楕円の[[極座標]]表示 <math> r = l / ( 1 + e \cos \theta ) </math> 
の <math> e </math> と ''l '' を定める)、次にケプラーの方程式を解くことで、各時刻の惑星の位置を決定しなければ
ならなかった。つまり、
'' M '' と <math> e </math> が与えられたとき、'' E '' がそれらの関数としてどのように書けるかという問題
を解かなければならない。しかし、この方程式は超越方程式であるので厳密解を求めるには工夫がいる{{Sfn|木下|1998|p=55}}。

==解法==
厳密解を求める方法として2つが知られている。1つは、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]の定理を用いる方法、もう1つは[[ベッセル関数]]を用いる方法である。

===ラグランジュの定理による方法===
以下の命題が、{{仮リンク|陰関数のラグランジュの定理|en|Lagrange reversion theorem}}である<ref name="semi_135" /><ref name="formula_2_129">「岩波数学公式Ⅱ」新装版、岩波書店、1987年、ISBN 4-00-005508-9、p.129.</ref>。

{{math theorem|ラグランジュの定理|1点 ''a'' を囲む単一閉曲線 ''C'' および ''C'' で囲まれた領域を ''D'' とし、領域 ''D'' で正則な関数 ''g''(''z'') を考える。また、''z'' の関数 <math> |  z - a  |  / g ( z ) </math> の ''C'' 上の最小値を <math> \rho </math> とする。<math> | z | < \rho </math> であれば、<math> z = a + \zeta g(z) </math> を満足する ''z'' が ''D'' 内でただ1つ定まり、それを <math> z ( \zeta ) </math> と書くと、<math> z ( \zeta) </math> は <math> | \zeta | < \rho </math> で <math> \zeta </math> の正則関数である。このとき、''D'' 内で正則な関数 ''f''(''z'') に対して、{{Indent|<math> f ( z ) = f ( a ) + \sum^{ \infty }_{ n = 1 } \frac{ \zeta^{ n } }{ n! } \frac{ \partial^{ n - 1} }{ \partial a^{ n - 1 }}(  g^{ n } ( a )  f' ( a ) ) , </math>}}が成立する。}}

ラグランジュの定理は、[[逆関数]]や[[陰関数]]を[[冪級数]]で求める際に使われる<ref name="formula_2_129" />。
この定理をケプラーの方程式に適用すると、

{{Indent|<math> E = e \sin M + \frac{ e^{ 2 } }{ 2 } \sin 2 M + \cdots , </math>}}

が得られる<ref name="semi_135" />。<math> e </math> が小さいときに適用可能である。

===ベッセル関数による展開の方法===
もう1つの方法は、ベッセル関数による展開の方法である。この方法は <math> e </math> が大きい場合でも適用可能である。

ケプラーの方程式は、以下の並進で不変であるという特徴を持っている
<ref>G.N.Watson, ''A Treatise on the Theory of Bessel Functions(reprint)'', Cambridge University Press, 1996, ISBN 0-521-48391-3, p.552.</ref>。

{{Indent|<math> (M, E) \rightarrow ( M + 2 \pi, E + 2\pi ).</math>}}

また、<math> E = M + e \sin E </math> であるから、これを逐次代入すると

{{Indent|<math>\begin{align} e \sin E &= e \sin ( M + e \sin E )\\
&= e \sin ( M + e \sin ( M + e \sin E ))\\
&= \cdots,\end{align}</math>}}

により、<math> e \sin E </math> は <math> M </math> の[[周期関数]]で、かつ <math> M </math> の[[奇関数]]であることがわかる
<ref name="watson_553">G.N.Watson, ''A Treatise'', p.553.</ref>。
したがって、<math> e \sin E </math> を <math> M </math> によって以下のように[[フーリエ展開]]できる<ref name="watson_553" />。

{{Indent|<math> e \sin E = \sum^{ \infty }_{ n = 1 } A_{ n } \sin n M . </math>}}

フーリエ係数 <math>A_n</math> はフーリエ展開の一般論により、

{{Indent|<math> A_{ n } = \frac{ 2 }{ \pi } \int^{ \pi }_{ 0 } d M e \sin E \sin n M, </math>}}

で与えられる<ref name="watson_553" />。上式の右辺は

{{Indent|<math> - \frac{ 2 }{ n \pi } \int d M e \sin E \frac{ d }{ d M } \cos n M, </math>}}

と変形できるから、部分積分して

{{Indent|<math>  - \frac{ 2 }{ n \pi }\Big[ e \sin E \cos n M \Big]^{ M = \pi }_{ M = 0 }
+ \frac{ 2 }{ n \pi } \int^{ \pi }_{ 0 } d M \frac{ e d \sin E }{ d M } \cdot \cos n M </math>}}

である<ref name="watson_553" />。第1項の表面項は消えることと、第2項に元のケプラーの方程式を代入して、

{{Indent|<math> \frac{ 2 }{ n \pi } \left(  \int^{ \pi }_{ 0 } dE \cos n M
- \int^{ \pi }_{ 0 } d M \cos n M \right),</math>}}

を得る<ref name="watson_553" />。上式の第2項はコサイン関数の周期性により消える。
第1項に元のケプラーの方程式を代入すると

{{Indent|<math>  \frac{ 2 }{ n \pi } \int^{ \pi }_{ 0 } d E \cos n ( E - e \sin E ), </math>}}

を得る<ref name="watson_553" />。ここで、'' n '' 次のベッセル関数の積分表示の1つ<ref>「岩波数学公式Ⅲ」新装版、岩波書店、1987年、ISBN 4-00-005509-7、p.178.</ref>

{{Indent|<math> J_{ n } ( z ) = \frac{ 1 }{ \pi }\int^{ \pi }_{ 0 } d \theta \cos ( z \sin \theta - n \theta), </math>}}

を用いると、<math> 2 J_{ n } (  n e ) / n </math> に等しいことがわかるので、結局、

{{Indent|<math> E = M + \sum^{ \infty }_{ n = 1 }\frac{ 2 }{ n } J_{ n } (  n e ) \sin n M ,</math>}}

が厳密解であることがわかる<ref name="watson_553" /><ref>「岩波数学公式Ⅲ」p.215.</ref>。

別ルートによって同じ結果にたどり着くことも可能である。ケプラーの方程式を[[微分]]して<ref name="semi_135" />、

{{Indent|<math> \begin{align} \frac{ d E }{ d M } &= \frac{ 1 }{ 1 - e \cos E }
= 1 + \sum^{ \infty }_{ n = 1 } a_{ n } \cos n M,\\
a_{ n } &:= \frac{ 1 }{ \pi }\int^{ 2 \pi }_{ 0 } d M \frac{ \cos n M }{ 1 - e \cos E }   
= \frac{ 1 }{ \pi } \int^{ 2 \pi }_{ 0 } d E \cos n ( E - e \sin E ) = 2 J_{ n } ( n e ).
\end{align}</math>}}

ただし、最初の式の2番目の等号では、'' E '' も '' M '' も周期関数(周期 <math> 2 \pi </math>)であることを用いて
フーリエ展開した<ref name="semi_135" />。よって、[[積分]]すると、

{{Indent|<math> E = M + \sum^{ \infty }_{ n = 1 } \frac{ 2 }{ n } J_{ n } (  n e ) \sin n M , </math>}}

となって、同じ結果が得られた<ref name="semi_135" />。

==注==
<references group="注" />

==出典==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite book |和書 |author=木下宙 |title=天体と軌道の力学 |publisher=東京大学出版会 |date=1998 |isbn=978-4-13-060721-6}}

== 関連項目 ==
{{commonscat|Kepler's equation}}
* [[ケプラーの法則]]
* [[軌道要素]]

{{DEFAULTSORT:けふらあほうていしき}}
[[Category:古典力学]]
[[Category:天体力学]]
[[Category:軌道]]
[[Category:物理学の方程式]]
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[[Category:ヨハネス・ケプラー]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:天文学に関する記事]]