ケンプナー関数のソースを表示

{{Expand language|langcode=de|date=2024年7月}}[[ファイル:SmarandacheFunction.PNG|右|サムネイル|374x374ピクセル|ケンプナー関数のグラフ]]
[[数論]]において、'''ケンプナー関数'''（けんぷなーかんすう、{{Lang-en-short|Kempner function}}）<math>S(n)</math> <ref name="oeis">Called the [[oeis:A002034|Kempner numbers]] in the [[オンライン整数列大辞典|Online Encyclopedia of Integer Sequences]]: see {{Cite OEIS|accessdate=2024年7月6日|subpage=https://oeis.org/A002034}}</ref>   は[[正整数]]<math>n</math>について定義される[[関数 (数学)|関数]]である<ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/1906.00510v1 |title=Polynomial analogue of the Kempner function |access-date=2024/7/6 |publisher=[[arXiv]]}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/1402.5789 |title=A Faster Algorithm For Testing Polynomial Representability Of Functions Over Finite Integer Rings |access-date=2024/7/6 |publisher=[[arXiv]]}}</ref>。

== 定義 ==
{{Nowrap|[[階乗]] <math>s!</math>}}を<math>n</math>が割り切るとき<math>s</math>の[[最小値]]を与える関数である。例えば<math>8</math>ならば、<math>1!,2!,3!</math>は<math>8</math>で割り切ることはできないが、{{Nowrap|<math>4!</math>}}で割り切ることができる。つまり{{Nowrap|<math>S(8)=4</math>.}}である。他の言い方をすれば<math>n</math>が{{Nowrap|<math>s!</math>}}の[[約数]]となる最小の整数<math>s</math>を与える関数である。

この関数は、[[素数]]においては[[一次関数]]的に成長し、[[階乗数]]では[[対数関数的成長]]を見せる、一貫性のない{{仮リンク|漸近解析|en|Asymptotic analysis|label=成長率}}をもつ。
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== 歴史 ==
ケンプナー関数は、[[1883年]]、[[エドゥアール・リュカ|リュカ]]によって初めて言及された<ref name="history1">
{{Cite journal|last=Lucas|first=E.|author-link=François Édouard Anatole Lucas|year=1883|title=Question Nr. 288|journal=[[Mathesis (journal)|Mathesis]]|volume=3|page=232}}</ref>。その後は、1887年の[[ヨーゼフ・ジャン・バティスト・ノイベルグ|ヨーゼフ・ノイベルグ]]のジャーナル[[Mathesis (雑誌)|Mathesis]]にも見られた<ref name="history2">
{{Cite journal|last=Neuberg|first=J.|author-link=Joseph Jean Baptiste Neuberg|year=1887|title=Solutions de questions proposées, Question Nr. 288|journal=[[Mathesis (journal)|Mathesis]]|volume=7|pages=68–69}}</ref>。1918年、{{仮リンク|オーブリー・J・ケンプナー|en|Aubrey J. Kempner}} が最初に正しい計算アルゴリズムを与えた<ref name="oeis" />。またケンプナーは<math>S(1)=0</math>としている。

[[1980年]]に[[フローレンティン・スマランダチェ|スマランダチェ]]が再発見し研究したことから'''スマランダチェ関数'''（Smarandache function）とも呼ばれる<ref name="oeis" /><ref>{{Cite web |title=Smarandache Function |url=https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://arxiv.org/abs/math/0407479 |title=Properties and Problems related to Smarandache Type Functions |access-date=2024/7/6 |publisher=[[arXiv]]}}</ref><ref>{{Cite web |url=https://ia801301.us.archive.org/27/items/SFBook1/SFBook1.pdf |title=SMARANDACHE FUNCTION |access-date=2024/7/6 |publisher=R. Muller}}</ref>。

== 性質 ==
{{節スタブ|date=2024年7月}}
{{Nowrap|<math>n!</math>}}は<math>n</math>を約数に持つため、<math>S(n)</math>は常に<math>n</math>以下である。<math>n</math> が[[素数]]か[[4]]であることと{{Nowrap|<math>S(n)=n</math>}}が成り立つことは[[同値]]である<ref name="oeis" />。つまり<math>S(n)</math>ができるだけ大きくなるとき<math>n</math>は素数である。逆に、できるだけ小さくする場合は<math>n</math>を階乗数にすればよい（{{Nowrap|<math>k\ge 1</math>}}について {{Nowrap|<math>S(k!)=k</math>}}となる）。

<math>S(n)</math> は係数が[[整数]]である、出力された整数値がすべて<math>n</math>で割り切れる[[モニック多項式]]の最小[[多項式の次数|次数]]となる。例えば<math>S(6)=3</math>について、以下の[[三次関数]]が出力する整数値は6で割り切れる（6を[[法 (数学)|法]]として0である）。<math display="block">x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x,</math>しかし[[二次関数|二次]]または[[一次関数|一次]]のモニック多項式で、その出力された整数値が常に6で割り切れるものは存在しない。

ほとんどすべての整数<math>n</math>（{{仮リンク|漸近密度|en|Natural density}}が0という意味）で、<math>S(n)</math>が<math>n</math>の最大の[[素因数]]と一致する事が[[ポール・エルデシュ|エルデシュ]]によって指摘された<ref>{{Cite journal|last=Erdős|first=Paul|author-link=Paul Erdős|last2=Kastanas|first2=Ilias|year=1994|title=The smallest factorial that is a multiple of {{mvar|n}} (solution to problem 6674)|url=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/irationalite/Erdos_P._Kastanas_I.The_smallest_factorial...-.pdf|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=101|page=179|doi=10.2307/2324376|JSTOR=2324376}}.</ref>。この問題は[[1911年]]に{{仮リンク|The American Mathematical Monthly|en|The American Mathematical Monthly}}で発表され[[1994年]]に解決された。

Tutescuは<math>S(n)\neq S(n+1)</math>と予想している<ref>{{Cite book |title=On A Conjecture Concerning The Smarandache Function |url=http://archive.org/details/conjecture-sf |date=2000 |first=L. Tuțescu |last=I. Prodanescu}}</ref>。

4以上の整数<math>x</math>について、[[素数計数関数]]と[[ガウス記号]]とケンプナー関数について以下の式が成り立つ。

<math>\pi(x)=-1+\sum_{k=2}^x \left\lfloor\frac{\mu(k)}k\right\rfloor</math>

== 計算複雑さ ==
任意の整数<math>n</math>のケンプナー関数<math>S(n)</math>は、<math>n</math>の素因数の[[素数冪]] <math>p^e</math>の中で、<math>S(p^e)</math>の[[最大値]]である。<math>n</math>が<math>p^e</math>自身であるとき、そのケンプナー関数は、<math>p</math>の倍数の中でその階乗の約数が<math>p</math>の十分な[[倍数]]を持つものを見つける、という手順程度の{{仮リンク|計算時間量|en|Time complexity}} で見つけられる。 同様の[[アルゴリズム]]を任意の<math>n</math>に拡張すると、<math>n</math>のそれぞれ素因数で、<math>p^e</math>と同様の手順を行い、最も大きい値が<math>S(n)</math>の値となる。

[[素数]]<math>p</math>と<math>p</math>より小さい<math>x</math>で、<math>n=px</math>と表せるとき<math>S(n)</math>は<math>p</math>である。したがって、[[半素数]]のケンプナー関数の計算は、その[[素因数分解]]と同等の難しさであることを示唆している。より一般的に、<math>n</math>が[[合成数]]ならば、<math>S(n)</math>を繰り返し評価して<math>n</math>が素因数分解できたとしても、<math>S(n)</math>と<math>n</math>の[[最大公約数]]は[[非自明]]である。ゆえに、ケンプナー関数の計算は一般的に、素因数分解より簡単でない。

== 級数 ==
ケンプナー関数に関する[[級数]]には以下のようなものがある<ref>{{Cite journal|author=I.Cojocaru and S. Cojocaru|year=1996|title=The First Constant of Smarandache|url=https://fs.unm.edu/SNJ7.pdf|journal=Smarandache notions journal|issue=vol 7}}</ref><ref>{{Cite journal|author=E. Burton|year=1995|title=On Some Series Involving the Smarandache Function|url=https://fs.unm.edu/SFJ6.pdf|journal=Smarandache Function Journal|volume=vol 6}}</ref><ref>{{Cite web |title=A048799 - OEIS |url=https://oeis.org/A048799 |website=oeis.org |access-date=2024-07-06}}</ref><ref>{{Cite web |title=A048834 - OEIS |url=https://oeis.org/A048834 |website=oeis.org |access-date=2024-07-06}}</ref><ref>{{Cite web |title=A048835 - OEIS |url=https://oeis.org/A048835 |website=oeis.org |access-date=2024-07-06}}</ref>。総じて{{仮リンク|スマランダチェ定数|de|Smarandache-Konstanten}}と呼ばれる。

<math>\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{S(n)!}=1.09317\ldots</math>

<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{S(n)}{n!}= 1.71400629359162\ldots</math>（無理数であることが知られている）

<math>\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=2}^{n}S(i)}=0.719960700043\ldots</math>

<math>\sum_n S(n)^{-\alpha} {S(n)!}^{-1/2} <\infty,\, \text{ con }\alpha>1.</math>

== 類似物 ==
{{節スタブ|date=2024年7月}}

=== Pseudosmarandache Function ===
Pseudosmarandache Function<math>Z(n)</math>は、<math>s</math>番目の[[三角数]]が<math>n</math>を割り切るとき、最小の<math>s</math>を出力する関数である<ref>{{Cite web |title=Pseudosmarandache Function |url=https://mathworld.wolfram.com/PseudosmarandacheFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref><ref>{{Cite web |title=A011772 - OEIS |url=https://oeis.org/A011772 |website=oeis.org |access-date=2024-07-06}}</ref>。以下のような性質を持つ。

* <math>\sqrt n<Z(n)\le 2n-1</math>
* <math>Z(n)\le n-1</math>（奇数の場合）
* <math>Z(2^k)=2^{k+1}-1\, </math>
* <math>n</math>についての[[方程式]]<math>\frac n{Z(n)}=k\;(k\in\Z,k\ge2)</math>は無限個の解を持つ。
* <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{Z(n)^\alpha}</math>は<math>\alpha>1</math>ならば収束する。
* <math>\frac{Z(n+1)}{Z(n)},\frac{Z(n-1)}{Z(n)},\frac{Z(2n)}{Z(n)}</math>は[[発散列|発散]]する。

=== Smarandache-double factorial Function ===
Smarandache-double factorial Function<math>\mathrm{Sdf}(n)</math>は<math>s!!</math>（[[二重階乗]]）が<math>n</math>を割り切るとき、最小の<math>s</math>を出力する関数である<ref>{{Cite web |title=A007922 - OEIS |url=https://oeis.org/A007922 |website=oeis.org |access-date=2024-07-06}}</ref>。

=== Smarandache Near-to-Primorial Function ===
Smarandache Near-to-Primorial Functionは、<math>s\#</math>（[[素数階乗]]）または<math>s\#\pm1</math>のいずれかが<math>n</math>を割り切るとき、最小の<math>s</math>を出力する関数である<ref>{{Cite web |title=Smarandache Near-to-Primorial Function |url=https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheNear-to-PrimorialFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

=== スマランダチェ-ワグスタッフ関数 ===
スマランダチェ-ワグスタッフ関数（Smarandache-Wagstaff Function）<math>\mathrm{Sw}(n)</math>は1から<math>s</math>番目までの階乗数の和が<math>n</math>を割り切るとき、最小の<math>s</math>を出力する関数である<ref>{{Cite web |title=Smarandache-Wagstaff Function |url=https://mathworld.wolfram.com/Smarandache-WagstaffFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。0から<math>s</math>番目までとしたものはスマランダチェ-クレパ関数（Smarandache-Kurepa Function）と呼ばれる<ref>{{Cite web |title=Smarandache-Kurepa Function |url=https://mathworld.wolfram.com/Smarandache-KurepaFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

=== Smarandache Ceil Function ===
Smarandache Ceil Function<math>S_{k}(n)</math>は、<math>s^k</math>が<math>n</math>を割り切る最小の整数<math>s</math>を出力する関数である<ref>{{Cite web |title=Smarandache Ceil Function |url=https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheCeilFunction.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-07-06 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。<math>k=1</math>では、<math>S_{1}(n)=n</math>である。

<math>x^k\equiv 0\quad (\mathrm{mod}\ n)</math>の解の個数を<math>M_{k}(n)</math>として<math>S_{k}(n)=\frac{n}{M_{k}(n)}</math>としても表される。

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|ケンプナー級数|en|Kempner series}}
* [[アンドリカの予想]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

* Kenichiro Kashihara　[https://fs.unm.edu/Kashihara.pdf COMMENTS AND TOPICS ON SMARANDACEE NOTIONS AND PROBLEMS]
* SMARANDACHE NOTIONS JOURNAL vol7,[https://fs.unm.edu/SNJ8.pdf vol8],[https://fs.unm.edu/SNJ9.pdf vol9],[https://fs.unm.edu/SNJ10.pdf vol10],[https://fs.unm.edu/SNJ11.pdf vol11],[https://fs.unm.edu/SNJ12.pdf vol12],[https://fs.unm.edu/SNJ13.pdf vol13]
{{PlanetMath attribution|id=|urlname=https://planetmath.org/SmarandacheFunction|title=Smarandache function}}{{デフォルトソート:けんふなあかんすう}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]