ケーキ数のソースを表示

[[ファイル:Cake_number_with_4_cutting_planes.gif|サムネイル|ケーキを4回のスライスで15個に分けるための切断面の配置を示す動画。14個のピースはもとのケーキの表面に触れており、1つの四面体は内部から切り出される。]]
[[ファイル:Cake number 3.svg|サムネイル|ケースn=3]]
[[数学]]において、'''ケーキ数'''（ケーキすう、{{lang-en-short|cake number}}）は、3次元の立方体を決まった枚数の[[平面]]で分割して作れる領域の個数の最大値になっているような[[整数]]である。平面が ''n'' 枚のときのケーキ数はしばしば記号 ''C<sub>n</sub>'' で表される。立方体の形をした[[ケーキ]]をナイフでスライスすることに見立ててこの名前で呼ばれる。

{{Nowrap|''n''{{=}}0, 1, 2, ...}} に対する ''C<sub>n</sub>'' の値は順に{{Nowrap|1, 2, 4, 8, 15, 26, 42, 64, 93, ...}}である（{{OEIS|id=A000125}}）。

ケーキの形が立方体であることは重要な要請ではない。ケーキが[[直方体]]や[[円柱]]や[[球体]]であるとしてもこれと同じ数列が得られる。さらに、無限に広い3次元空間全体を平面で分割するときの領域の個数の最大値もこれと同じ数列となる<ref>{{MathWorld|title=Space Division by Planes|urlname=SpaceDivisionbyPlanes}}</ref>。

2次元における[[怠けた仕出し屋の数列]]の3次元における類似である。ケーキ数列の階差は怠けた仕出し屋の数列になる。

== 一般の公式 ==
''n''! が[[階乗]]を表し、[[二項係数]]を
: <math>  {n \choose k} = \frac{n!}{k! \, (n-k)!} , </math>
と表すとしよう。立方体を分割するために ''n'' 枚の平面が使えると仮定すると、ケーキ数は次のようになる<ref>OEIS: A000125 の FORMULA</ref>。
: <math>
C_n = {n \choose 3} + {n \choose 2} + {n \choose 1} + {n \choose 0} = \frac{1}{6}(n^3 + 5n + 6).  </math>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Cake Number|urlname=CakeNumber}}
* {{MathWorld|title=Cube Division by Planes|urlname=CubeDivisionbyPlanes}}

{{Classes of natural numbers}}
{{DEFAULTSORT:けえきすう}}
[[Category:最適化]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]