ケーターの可逆振り子のソースを表示

[[File:Kater pendulum use.png|thumb|right|220px|1818年のケーターの論文の振り子の図]]

'''ケーターの可逆振り子'''（ケーターのかぎゃくふりこ、{{lang-en-short|Kater's pendulum}}）は、局地的な[[重力加速度]]を測定するために用いられた[[振り子]]である。1817年にイギリスの物理学者の[[ヘンリー・ケーター]]により発明され、1818年1月29日に発表された<ref name="Kater">{{cite journal
  | last = Kater
  | first = Henry
  | title = An account of experiments for determining the length of the pendulum vibrating seconds in the latitude of London
  | journal = Phil. Trans. R. Soc.
  | volume = 104
  | issue = 33
  | page = 109
  | location = London
  | year = 1818
  | url = https://books.google.com/books?id=uaQOAAAAIAAJ&dq=%22Henry+Kater%22+kater+pendulum&pg=PA83
  | access-date = 2008-11-25}}</ref>。従来の重力加速度を測定するための振り子と異なり、振り子の[[重心]]と振動中心を決定する必要がないため、測定精度が向上する。1930年代までの約1世紀にわたり、ケーターの振り子とその改良品は、[[測地学|測地]]調査中において地球の重力の強さを測定するための標準的な方法であった。現在では振り子の原理を示すためにのみ使用される。

==概要==
軸や重りが[[剛体]]である振り子（剛体振り子や実体振り子と呼ばれる）において、軸周りの回転角<math>\phi</math>方向の[[運動方程式]]は以下の式になる。

<math>I\ddot{\phi}=-Mgh \sin\phi</math>

この式において、<math>I</math>は軸周りの[[慣性モーメント]]、<math>M</math>は剛体全体の質量、<math>g</math>は[[重力加速度]]、<math>h</math>は重心から軸までの距離である。この式を解くと、振り子の周期<math>T</math>は以下の式で表される。

<math>T=2\pi\sqrt{\frac{I}{Mgh}}=2\pi\sqrt{\dfrac{I_G+Mh^2}{Mgh}}</math>

<math>I_G</math>は、重心周りの慣性モーメントである。以上より、<math>M, I_G, h</math>を特定することができれば<math>g</math>を算出することができる。しかしながら、重心の正確な位置を特定することは難しく、<math>I_G, h</math>を特定することが難しい。

[[File:Kater's pendulum schematic diagram.png|thumb|ケーターの可逆振り子の模式図]]
ケーターの可逆振り子には2つの支点があり、各々の支点を軸として振ることができる。支点<math>K_1</math>と<math>K_2</math>を軸として振ったときの周期<math>T_1</math>と<math>T_2</math>はそれぞれ以下の式で表される。

<math>T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{I_G+Ml_1^2}{Mgl_1}}</math><br>
<math>T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{I_G+Ml_2^2}{Mgl_2}}</math>

この2式を変形すると以下の式が導出される。

<math>g=\dfrac{8\pi^2}{\dfrac{T_1^2+T_2^2}{l_1+l_2}+\dfrac{T_1^2-T_2^2}{l_1-l_2}}</math>

ケーターの可逆振り子においては、支点と重りの距離を調整して振動周期を調整することができる。1つの支点から振り子を振って周期を測定し、上下逆にしてもう1つの支点から振り子を振って周期を測定する。2つの周期が等しくなるまで支点又は重りの位置を調整する。2つの周期<math>T_1</math>と<math>T_2</math>が等しい場合（<math>T_1=T_2=T_0</math>）、<math>g</math>は次の式で表される。

<math>g=\dfrac{8\pi^2}{\dfrac{2T_0^2}{l_1+l_2}}=\dfrac{4\pi^2(l_1+l_2)}{T_0^2}</math>

以上より、振り子の重心の位置や慣性モーメントを特定することなく、2つの支点間の距離<math>l_1+l_2</math>と2つの周期<math>T_1</math>と<math>T_2</math>が等しい場合の周期<math>T_0</math>を測定することで重力加速度<math>g</math>を算出できる。

<!-- 以前の版にあった説明
== 理論 ==
[[剛体]]の[[支点]]Oと[[重心]]Gを考え、[[慣性モーメント]]を<math>I</math>、回転角を<math>\phi</math>と置くと、<math>I\ddot{\phi}=-Mgh \sin\phi</math>となる。kを回転半径とし<math>I=Mk^2</math>と置くと<math>\frac{d^2\phi}{dt^2}
=-\frac{gh}{k^2}\sin\phi</math>となり単振り子の運動方程式<math>\frac{d^2\phi}{dt^2}
=-\frac{g}{a}\sin\phi</math>に等しい。

この二つの式から<math>a=\frac{k^2}{h}=\frac{k_o^2+h^2}{h}</math>となる重心の回転半径<math>k_o</math>を用いると、<math>a</math>は[[単振り子]]の長さに相当し、<math>k_o</math>は一定のため<math>h</math>は<math>h^2-ah+k^2_o</math>の二根となる。<math>a</math>に対して2つの<math>h_1h_2</math>がある。<math>h_1+h_2=a</math>なので、<math>\overline{OG}</math>上に<math>\overline{GO'}=a-h</math>なる点<math>O'</math>をとれば、<math>O'</math>を軸としたときの[[振動数]]は<math>O</math>を軸としたときの振動数に等しい、かような点<math>O'</math>を見出せば、<math>\overline{OO'}=a</math>を求めることができる。<ref>{{Cite book|author=山内恭彦|title=一般力学　増訂第3版|url=|date=1959/04/10|year=1991|accessdate=|publisher=岩波書店|author2=|author3=|author4=|author5=|author6=|author7=|author8=|author9=}}</ref>
 -->

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author =[[久我隆弘]] |authorlink = |year =2012 |month = |title ="測る"を究めろ！物理学実験攻略法 |journal =  |volume =  |issue = |page = |pages =|publisher =[[丸善出版]] |location = |issn = |doi = |naid = |pmid = |id = |url = |format = |accessdate = |quote = | ref =久我 |isbn= }}

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