ケーラー多様体のソースを表示

{{要改訳}}
[[数学]]、特に[[微分幾何学]]において、'''ケーラー多様体'''（ケーラーたようたい、{{lang-en-short|''Kähler manifold''}}）とは、[[複素多様体|複素構造]]、[[リーマン多様体|リーマン構造]]、[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]という３つが互いに整合性を持つ[[多様体]]である。ケーラー多様体 ''X'' 上には、[[#ケーラーポテンシャル|ケーラーポテンシャル]]が存在し、''X'' の計量に対応する[[レヴィ・チヴィタ接続]]が、[[標準バンドル|標準直線束]]上の接続を引き起こす。

滑らかな射影代数多様体はケーラー多様体の重要な例である。[[小平埋め込み定理]]により、正の直線束を持つケーラー多様体は、常に射影空間の中へ双正則に埋め込むことができる。

ケーラー多様体の名前はドイツ人数学者[[エーリッヒ・ケーラー]] (Erich Kähler) にちなんでいる。
<!---In [[mathematics]] and especially [[differential geometry]], a '''Kähler manifold''' is a [[manifold]] with three mutually compatible structures; a [[complex manifold|complex structure]], a [[Riemannian manifold|Riemannian structure]], and a [[symplectic manifold|symplectic structure]]. On a Kähler manifold X there exists [[#Kähler potentials|Kahler potential]] and the [[Levi-Civita connection]] corresponding to the metric of X gives rise to a connection on the [[canonical connection|canonical line bundle]].

Smooth projective algebraic varieties are examples of Kähler manifolds. By [[Kodaira embedding theorem]], Kähler manifolds that have a positive line bundle can always be embedded into projective spaces. 

They are named after German mathematician [[Erich Kähler]].-->

==定義==
ケーラー多様体は互いに整合性のある複数の構造を持つため，下記のような複数の観点からの定義方法がある。

===シンプレクティック多様体として===
ケーラー多様体とは、[[シンプレクティック多様体]] <math> (K,\omega) </math> とそのシンプレクティック形式 <math> \omega </math> と以下の意味で整合性を持つ可積分な[[概複素構造]] J の組である：<ref name="da Silva">{{Cite book | last1=Cannas da Silva | first1=Ana | author1-link=Ana Cannas da Silva | title=Lectures on Symplectic Geometry | publisher=Springer  | isbn=978-3540421955| year=2008}}</ref>

<math> g(u, v) = \omega (u, Jv) </math>

で定義される接空間上の2次形式が各点で正定値対称である(つまり，上で定義されるgがリーマン計量になっている)。
<!---==Definitions==
Since Kähler manifolds are naturally equipped with several compatible structures, there are many equivalent ways of creating Kähler forms.

===Symplectic viewpoint===
A Kähler manifold is a [[symplectic manifold]] <math> (K,\omega) </math> equipped with an [[Almost complex manifold#Integrable almost complex structures|integrable almost-complex structure]] which is [[Almost complex manifold#Compatible triples|compatible]] with the [[symplectic vector space|symplectic form]].<ref name="da Silva">{{Cite book | last1=Cannas da Silva | first1=Ana | author1-link=Ana Cannas da Silva | title=Lectures on Symplectic Geometry | publisher=Springer  | isbn=978-3540421955| year=2008}}</ref>-->

===複素多様体として===
ケーラー多様体とは、付随する[[エルミート形式]]が[[微分形式#閉形式と完全形式|閉]]である[[エルミート多様体]]のことである。このとき、このエルミート形式をケーラー形式という。

定義より、ケーラー形式はシンプレクティック形式である。
<!---A Kähler manifold is a [[Hermitian manifold]] whose associated [[Hermitian manifold#Riemannian_metric_and_associated_form|Hermitian form]] is [[Closed and exact differential forms|closed]]. The closed Hermitian form is called the '''Kähler metric'''.-->

===定義の同値性===
エルミート多様体 <math> K </math> は、自然なエルミート形式 <math> h </math> と可積分な[[概複素構造]] <math> J </math> を兼ね備えた[[複素多様体]]である。<math> h </math> が閉であることを仮定すると、[[エルミート多様体|標準的]]シンプレクティック形式を <math> \omega = \frac i2 (h - \bar h ) </math> と定義でき <math> J </math> と整合性を持っているので、第一の定義を満たす。

一方、概複素構造と整合性をもつ任意のシンプレクティック形式は、 <math> (1,1) </math> タイプの[[複素微分形式]]であるはずであり、座標 <math> (U, z_i) </math> を使い書き表すと、 <math> h_{jk} \in C^\infty(U,\mathbb C) </math> に対し、
:<math> \omega = \frac i2 \sum_{j,k} h_{jk} dz_j \wedge d\bar{z_k} </math>
となる。<math> \omega </math> が実数に値を持つ閉じた非退化であることを加えると、<math> h_{jk} </math> が <math> K </math> の各々の点でエルミート形式を定義することが保証される。<ref name="da Silva"/>
<!---===Equivalence of definitions===
Every Hermitian manifold <math> K </math> is a [[complex manifold]] which comes naturally equipped with a Hermitian form <math> h </math> and an integrable, [[almost complex structure]] <math> J </math>. Assuming that <math> h </math> is closed, there is a [[Hermitian manifold#Riemannian metric and associated form|canonical]] symplectic form defined as <math> \omega = \frac i2 (h - \bar h ) </math> which is compatible with <math> J </math>, hence satisfying the first definition.

On the other hand, any symplectic form compatible with an almost complex structure must be a [[complex differential form]] of type <math> (1,1) </math>, written in a coordinate chart <math> (U, z_i) </math> as 
:<math> \omega = \frac i2 \sum_{j,k} h_{jk} dz_j \wedge d\bar{z_k} </math>
for  <math> h_{jk} \in C^\infty(U,\mathbb C) </math>. The added assertions that <math> \omega </math> be real-valued, closed, and non-degenerate guarantee that the <math> h_{jk} </math> define Hermitian forms at each point in <math> K </math>.<ref name="da Silva"/>-->

==エルミート形式とシンプレクティック形式の関係==
<math> h </math> をエルミート形式、<math> \omega </math> をシンプレクティック形式、<math> J </math> を概複素構造とすると、<math> \omega </math> と <math> J </math> は整合性を持っているので、新たな形式 <math> g(u,v) = \omega(u,Jv) </math> は[[リーマン形式]]となる。<ref name="da Silva"/> これらの構造は、等式 <math>h=g + i\omega</math> により関連付けられていると結論できる。
<!---==Connection between Hermitian and symplectic definitions==
Let <math> h </math> be the Hermitian form, <math> \omega </math> the symplectic form, and <math> J </math> the almost complex structure. Since <math> \omega </math> and <math> J </math> are compatible, the new form <math> g(u,v) = \omega(u,Jv) </math> is Riemannian.<ref name="da Silva"/> One may then summarize the connection between these structures via the identity <math>h=g + i\omega</math>.-->

==ケーラーポテンシャル==
<math> K </math> を複素多様体とする。 <math> \rho \in C^\infty(K; \mathbb R)</math> について、閉(1,1)形式
:<math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho </math>
が正定値である(つまり、ケーラー形式である)とき、<math> \rho</math>を強[[多重劣調和函数]]という。

ここに <math> \partial, \bar\partial </math> は[[ドルボー作用素]]である。函数 <math> \rho </math> は '''ケーラーポテンシャル''' と呼ばれる。

逆に，[[ポアンカレの補題]]を使えば、任意のケーラー計量は局所的にこのように表示できる。

すなわち、<math> (K,\omega) </math> をケーラー多様体とすると、任意の点 <math> p \in K </math> に対して 、<math> p </math> の近傍 <math> U </math> と函数 <math> \rho \in C^\infty(U,\mathbb R) </math> が存在し、<math> \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho </math> となる。このとき、 <math> \rho </math> は '''（局所）ケーラーポテンシャル''' と呼ばれる。
<!---==Kähler potentials==
If <math> K </math> is a complex manifold, it can be shown<ref name="da Silva"/> that every [[Plurisubharmonic function#Oka theorem|strictly plurisubharmonic function]] <math> \rho \in C^\infty(K; \mathbb R)</math> gives rise to a Kähler form as
:<math> \omega = \frac i2 \partial \bar\partial \rho </math>
where <math> \partial, \bar\partial </math> are the [[Complex differential form#The Dolbeault operators|Dolbeault operators]]. The function <math> \rho </math> is said to be a '''Kähler potential.''' 

In fact, utilizing the holomorphic version of the [[Closed and exact differential forms#Poincaré lemma|Poincaré lemma]], a partial converse holds true locally. More specifically, if <math> (K,\omega) </math> is a Kähler manifold then about every point <math> p \in K </math> there is a neighbourhood <math> U </math> containing <math> p </math> and a function <math> \rho \in C^\infty(U,\mathbb R) </math> such that <math> \omega\vert_U = i \partial \bar\partial \rho </math> and here <math> \rho </math> is termed a '''(local) Kähler potential.'''-->

==ケーラー多様体とリッチテンソル==
ケーラー多様体 K 上では、リッチテンソルは[[標準バンドル|標準束]]の[[曲率形式]]を決定する{{harv|Moroianu|2007|loc=Chapter 12}}。標準束とは正則余接束の[[外積代数|外積]]
:<math>\kappa = {\bigwedge}^{n} T^{1,0*}K</math>
である。ただし，<math>n = \dim K</math>とする。K 上の計量についてのレヴィ・チヴィタ接続は、κ の上の接続を引き起こし、この接続の曲率は次によって定義される 2-形式である。
:<math>\rho(X,Y)\,\stackrel{\text{def}}{=}\,\operatorname{Ric}(JX,Y)</math>
ここに J は K の[[複素多様体|複素構造]]とする。リッチ形式は[[閉形式|閉]] 2-形式であり、その[[コホモロジー類]]は、実数の定数倍を除いて、標準束の第一[[チャーン類]]である。従って、（X がコンパクトであれば、）K のトポロジーと複素構造の[[ホモトピー|ホモトピー類]]にのみ依存するという意味で、位相不変量である。

逆に、リッチ形式はリッチテンソルと次の式により決定される。
:<math>\operatorname{Ric}(X,Y) = \rho(X,JY)</math>
局所正則な座標 z<sup>α</sup> を使うと、リッチ形式は、
:<math>\rho = -i\partial\overline{\partial}\log\det(g_{\alpha\overline{\beta}})</math>
で与えられる。ここに <math>\partial</math> は[[ドルボー作用素]]で
:<math>g_{\alpha\overline{\beta}} = g\left(\frac{\partial}{\partial z^\alpha},\frac{\partial}{\partial \overline{z}^\beta}\right)</math>
である。

リッチテンソルがゼロとなると、標準バンドルは平坦であるので、{{仮リンク|構造群|en|G-structure|}}は特殊線形群 SL(n,'''C''') の部分群へ局所的に縮約することができる。しかしながらケーラー多様体は既に U(n) の中に[[ホロノミー]]を持っているので、[[リッチ平坦]]なケーラー多様体の（制限された）ホロノミーは SU(n) の中に含まれる。逆に、2n-次元のリーマン多様体の（制限された）ホロノミーが SU(n) を含むと、多様体はリッチ平坦なケーラー多様体となる{{harv|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=IX, §4}}。
<!---**** from Kähler manifolds in Ricci tensor in English version ****==Kähler manifolds==
On a [[Kähler manifold]] ''X'', the Ricci curvature determines the [[curvature form]] of the [[canonical bundle|canonical line bundle]] {{harv|Moroianu|2007|loc=Chapter 12}}.  The canonical line bundle is the top [[exterior power]] of the bundle of holomorphic [[Kähler differential]]s:
:<math>\kappa = \wedge^n \Omega_X.</math>
The Levi-Civita connection corresponding to the metric on ''X'' gives rise to a connection on κ.  The curvature of this connection is the two form defined by
:<math>\rho(X,Y)\,\stackrel{\text{def}}{=}\,\operatorname{Ric}(JX,Y)</math>
where ''J'' is the [[complex manifold|complex structure]] map on the tangent bundle determined by the structure of the Kähler manifold.  The Ricci form is a [[closed and exact forms|closed]] two-form.  Its [[cohomology class]] is, up to a real constant factor, the first [[Chern class]] of the canonical bundle, and is therefore a topological invariant of ''X'' (for ''X'' compact) in the sense that it depends only on the topology of ''X'' and the [[homotopy class]] of the complex structure.

Conversely, the Ricci form determines the Ricci tensor by
:<math>\operatorname{Ric}(X,Y) = \rho(X,JY).</math>
In local holomorphic coordinates ''z''<sup>α</sup>, the Ricci form is given by
:<math>\rho = -i\partial\overline{\partial}\log\det(g_{\alpha\overline{\beta}})</math>
where <math>\partial</math> is the [[Dolbeault operator]] and
:<math>g_{\alpha\overline{\beta}} = g\left(\frac{\partial}{\partial z^\alpha},\frac{\partial}{\partial \overline{z}^\beta}\right).</math>

If the Ricci tensor vanishes, then the canonical bundle is flat, so the [[G-structure|structure group]] can be locally reduced to a subgroup of the special linear group ''SL''(''n'','''C''').  However, Kähler manifolds already possess [[holonomy]] in ''U''(''n''), and so the (restricted) holonomy of a Ricci flat Kähler manifold is contained in ''SU''(''n'').  Conversely, if the (restricted) holonomy of a 2''n''-dimensional Riemannian manifold is contained in ''SU''(''n''), then the manifold is a Ricci-flat Kähler manifold {{harv|Kobayashi|Nomizu|1996|loc=IX, §4}}.-->

==ケーラー多様体上のラプラス作用素==
<math>\star</math> を[[ホッジ作用素]]とすると、微分可能多様体 X 上で[[ラプラス作用素]]を次のように定義することができる。
<math>\Delta_d=dd^*+d^*d</math>
ここに <math>d</math> は[[微分形式|外微分形式]]、<math>d^*=-(-1)^{nk}\star d\star</math> とする。さらに ''X'' がケーラーであれば、<math>d</math> と <math>d^*</math> は次のように分解される。

:<math>d=\partial+\bar{\partial},\ \ \ \ d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*</math>

そして、別のラプラス作用素が定義できる。

:<math>\Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\ \ \ \ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial</math>

は、次の満たす。

:<math>\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}}=2\Delta_\partial</math>

これらの事実より、次の[[ホッジ分解]]が得られる。（[[ホッジ理論]]を参照）

:<math>\mathbf{H^r}=\bigoplus_{p+q=r}\mathbf{H}^{p,q}</math>

ここに <math>\mathbf{H^r}</math> は r-次[[ホッジ理論#調和形式|調和形式]] であり、<math>\mathbf{H}^{p,q}</math> は X 上の {p,q}-次調和形式とする。すなわち、微分形式 <math>\alpha</math> が調和形式であることと、各々の <math>\alpha^{i,j}</math> が{i,j}-次の調和形式に属することとは同値である。

さらに、X がコンパクトであれば、
:<math>H^p(X,\Omega^q)\simeq H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\simeq\mathbf{H}^{p,q}</math>
を得る。ここに <math>H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)</math> は <math>\bar{\partial}</math>-調和コホモロジー群とする。このことは、<math>\alpha</math> が {p,q}-次の微分形式であれば、[[ドルボーコホモロジー#ドルボーの定理|ドルボーの定理]]により、ただ一つの {p,q}-次調和形式が決定する。

<math>h^{p,q}=\text{dim} H^{p,q}</math> をホッジ数と呼ぶとすると、
:<math>b_r=\sum_{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.</math>
が得られる。最初の左辺 b<sub>r</sub> は r-番目の[[ベッチ数]]であり、第二の等号はラプラス作用素 <math>\Delta_d</math> が実作用素 <math>H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}</math> であることから来て、最後の等号は[[セール双対性]]から結果を得る。
<!---==The Laplacians on Kähler manifolds==
Let <math>\star</math> be the [[Hodge operator]] and then on an differential manifold ''X'' we can define the Laplacian as
<math>\Delta_d=dd^*+d^*d</math>
where <math>d</math> is the exterior derivative and <math>d^*=-(-1)^{nk}\star d\star</math>. Furthermore if ''X'' is Kähler then <math>d</math> and <math>d^*</math> are decomposed as

:<math>d=\partial+\bar{\partial},\ \ \ \ d^*=\partial^*+\bar{\partial}^*</math>

and we can define another Laplacians

:<math>\Delta_{\bar{\partial}}=\bar{\partial}\bar{\partial}^*+\bar{\partial}^*\bar{\partial},\ \ \ \ \Delta_\partial=\partial\partial^*+\partial^*\partial</math>

that satisfy

:<math>\Delta_d=2\Delta_{\bar{\partial}}=2\Delta_\partial . </math>

From these facts we obtain the [[Hodge decomposition]] (see [[Hodge theory]])

:<math>\mathbf{H^r}=\bigoplus_{p+q=r}\mathbf{H}^{p,q}</math>

where <math>\mathbf{H^r}</math> is r-degree [[harmonic form]] and <math>\mathbf{H}^{p,q}</math> is {p,q}-degree harmonic form on ''X''. Namely, an differential form <math>\alpha</math> is harmonic if and only if each <math>\alpha^{i,j}</math> belong to the {i,j}-degree harmonic form.

Further, if ''X'' is compact then we obtain
:<math>H^p(X,\Omega^q)\simeq H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)\simeq\mathbf{H}^{p,q}</math>
where <math>H^{p,q}_{\bar{\partial}}(X)</math> is <math>\bar{\partial}</math>-harmonic cohomology group. This means that if <math>\alpha</math> is an differential form with {p,q}-degree there is only one element in {p,q}-harmonic form due to [[Dolbeault cohomology#Dolbeault theorem|Dolbeault theorem]].

Let <math>h^{p,q}=\text{dim} H^{p,q}</math>, called Hodge number, then we obtain
:<math>b_r=\sum_{p+q=r}h^{p,q},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{q,p},\ \ \ \ h^{p,q}=h^{n-p,n-q}.</math>
The LHS of the first identity, ''b<sub>r</sub>'', is r-th [[Betti number]], the second identity comes from that since the Laplacian <math>\Delta_d</math> is a real operator <math>H^{p,q}=\overline{H^{q,p}}</math> and the third identity comes from [[Serre duality]].-->

==応用==
ケーラー多様体は、[[リッチテンソル]]が[[計量テンソル]]に比例する、つまりある定数 λ に対し <math>R = \lambda g</math> である場合に、この計量を '''ケーラー・アインシュタイン''' （あるいはアインシュタイン・ケーラー）計量と呼ぶ。この命名は[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]の[[宇宙定数]]について考えたことにちなむ。さらに詳しくは[[アインシュタイン多様体]]の項目を参照のこと。

アインシュタイン性は、リーマン多様体についても定義できる。''X'' がケーラーであれば、[[クリストフェル記号]] <math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}</math> がゼロとなり、リッチテンソルが非常に簡素化される。従って、ケーラー条件はリッチテンソルと深く関係する。事実、オーバン(Thierry Aubin)とヤウ(Shing-Tung Yau)は、[[チャーン類]]が c<sub>1</sub> = 0 であるコンパクトな'''ケーラー多様体'''は唯一のリッチ平坦な計量が各々のケーラー類にあることを使い[[カラビ予想]]を証明した。しかし、ケーラー多様体が非コンパクトの場合は、さらに状況が複雑になり、いくつかの研究はあるものの最終的な結果はえられていない。
<!---==Applications==
On a Kähler manifold, the associated Kähler form and metric are called '''Kähler–Einstein''' (or sometimes Einstein–Kähler) if its [[Ricci tensor]] is proportional to the [[metric tensor]], <math>R = \lambda g</math>, for some constant λ. This name is a reminder of [[Einstein]]'s considerations about the [[cosmological constant]]. See the article on [[Einstein manifold]]s for more details.

Originally the Kähler condition is independent on the Einstein condition, in which Ricci tensor is proportional to Riemannian metric with constant real number. The important point is that if ''X'' is Kähler then [[Christoffel symbol]]s <math>\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}</math> vanish and Ricci curvature is much simplified. The Kähler condition, therefore, is closely related with Ricci curvature. In fact Aubin and Yau prove the [[Calabi conjecture]] using the fact that on a compact Kähler manifold with the first [[Chern class]] ''c<sub>1</sub>=0'' there is a unique Ricci-flat Kähler metric in each Kähler class. But in non-compact case the situation turns to be more complicated and the final solution might not be reached.-->

==例==
#標準的なエルミート計量を入れた複素[[ユークリッド空間]] '''C'''<sup>n</sup> はケーラー多様体である。
#トーラス '''C'''<sup>n</sup>/Λ  (Λ は[[格子 (数学)|格子]]点全体とする）は '''C'''<sup>n</sup> のユークリッド計量を引き継ぐので、[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト]]なケーラー多様体である。
#[[リーマン面]]上のすべてのリーマン計量は、形式 ω が閉であるという条件が実2-次元では自明であるので、ケーラーである。
#[[複素射影空間]] '''CP'''<sup>n</sup> は等質な(homogeneous)なケーラー計量を持り、[[フビニ・スタディ計量]]と呼ばれる。（ベクトル空間）'''C'''<sup>n&nbsp;+&nbsp;1</sup> のエルミート形式は、GL(n&nbsp;+&nbsp;1,C) のユニタリな部分群 U(n&nbsp;+&nbsp;1) であり、フビニ・スタディ計量はそのような U(n&nbsp;+&nbsp;1) 作用の不変性によりホモセティ（スケーリングを渡る）を同一視して、決定される。基本的な線形代数により任意の2つのフビニ・スタディ計量は '''CP'''<sup>n</sup> の射影的な自己同型の下に等長(isometric)であるので、すべてを総称して「フビニ・スタディ計量」という。
#ケーラー多様体の[[複素多様体|複素部分多様体]]上に誘導される計量はケーラーである。特に、任意の[[シュタイン多様体]]（'''C'''<sup>n</sup> へ埋め込まれた）もしくは射影的[[代数多様体]]（'''CP'''<sup>n</sup> へ埋め込まれた）はケーラータイプである。このことは解析的理論でも基本的である。
#複素単位球(ball) '''B'''<sup>n</sup> は，負定正則[[断面曲率]]を持つ[[ベルグマン計量]]と呼ばれる[[完備距離空間|完備]]ケーラー計量を持つ。 
#すべての[[K3曲面]]はケーラーである。（Y.-T. Siuの定理）

ケーラー多様体の部分クラスとして重要なクラスに[[カラビ・ヤウ多様体]]がある。
<!---==Examples==

#Complex [[Euclidean space]] '''C'''<sup>''n''</sup> with the standard Hermitian metric is a Kähler manifold.
#A torus '''C'''<sup>''n''</sup>/Λ  (Λ a full [[lattice (group)|lattice]]) inherits a flat metric from the Euclidean metric on '''C'''<sup>''n''</sup>, and is therefore a [[compact space|compact]] Kähler manifold.
#Every Riemannian metric on a [[Riemann surface]] is Kähler, since the condition for ''ω'' to be closed is trivial in 2 (real) dimensions.
#[[Complex projective space]] '''CP'''<sup>''n''</sup> admits a homogeneous Kähler metric, the [[Fubini–Study metric]]. An Hermitian form in (the vector space) '''C'''<sup>''n''&nbsp;+&nbsp;1</sup> defines a unitary subgroup ''U''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) in ''GL''(''n''&nbsp;+&nbsp;1,''C''); a Fubini–Study metric is determined up to homothety (overall scaling) by invariance under such a ''U''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) action. By elementary linear algebra, any two Fubini–Study metrics are isometric under a projective automorphism of '''CP'''<sup>''n''</sup>, so it is common to speak of "the" Fubini–Study metric.
#The induced metric on a [[complex submanifold]] of a Kähler manifold is Kähler. In particular, any [[Stein manifold]] (embedded in '''C'''<sup>''n''</sup>) or projective [[algebraic variety]] (embedded in '''CP'''<sup>''n''</sup>) is of Kähler type. This is fundamental to their analytic theory.
#The unit complex ball '''B'''<sup>''n''</sup> admits a Kähler metric called the [[Bergman metric]] which has constant holomorphic sectional curvature.
#Every [[K3 surface]] is Kähler (by a theorem of Y.-T. Siu).

An important subclass of Kähler manifolds are [[Calabi–Yau manifold]]s.-->

==関連項目==
*[[エルミート多様体]]
*[[概複素多様体]]
*[[超ケーラー多様体]]
*[[ケーラー・アインシュタイン計量]]
*{{仮リンク|四元数ケーラー多様体|en|Quaternion-Kähler manifold}}
*[[ポアソン多様体|複素ポアソン多様体]]
*[[アインシュタイン多様体]]
*[[カラビ予想]]

==参考文献==
{{脚注ヘルプ}}
<references />
*{{citation
|doi=10.1007/BF01389853
|last1=Deligne|first1=P.|last2=Griffiths|first2=Ph.|last3=Morgan|first3=J.|last4=Sullivan|first4=D., |title=Real homotopy theory of Kähler manifolds|journal=Invent. Math.|volume=29|year=1975|pages=245–274}}
*{{citation
|doi=10.1007/BF02940642
|last1=Kähler|first1=E.|title=Über eine bemerkenswerte Hermitesche Metrik|journal=Abh. Math. Sem. Hamburg Univ.|volume=9|year=1933|pages=173-186}}
*{{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977}}
*Alan Huckleberry and Tilman Wurzbacher, eds. ''Infinite Dimensional Kähler Manifolds'' (2001), Birkhauser Verlag, Basel ISBN 3-7643-6602-8.
*{{Citation | last1=Moroianu | first1=Andrei | title=Lectures on Kähler geometry | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Student Texts | isbn=978-0-521-68897-0 |mr=2325093 | year=2007 | volume=69}}
*Andrei Moroianu, ''Lectures on Kähler Geometry'' (2004), http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf
*[[André Weil]], ''Introduction à l'étude des variétés kählériennes'' (1958)

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Kähler manifold|urlname=Kähler_manifold}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:けえらあたようたい}}
[[Category:リーマン多様体]]
[[Category:代数多様体]]
[[Category:複素多様体]]
[[Category:シンプレクティック幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]