ケーラー微分のソースを表示

[[数学]]において、'''ケーラー微分''' (Kähler differential) は[[微分形式]]の任意の[[可換環]]や[[概型|スキーム]]への応用を提供する。

==紹介==
アイデアは [[エーリッヒ・ケーラー]] によって1930年代に導入された。それは、少し後になって、[[複素数]]上の幾何から手法を適用する必要と[[微分積分学]]の手法の自由な使用に続いて、そのような手法が利用できない文脈に、[[可換環論]]と[[代数幾何]]において標準として適用された。

''R'' と ''S'' を可換環とし ''φ'':''R'' → ''S'' を[[環準同型]]とする。重要な例は ''R'' が[[可換体|体]]で ''S'' が ''R'' 上単位的[[結合多元環|代数]]（例えば[[アフィン多様体]]の[[座標環]]）に対してである。

''S'' 上の ''R''-線型導分は ''R''-加群の[[射]] <math>\mathrm d \colon S \to M</math> であって ''R'' がその核に入り[[積の微分法則|ライプニッツ則]] <math>\mathrm d (fg) = f \mathrm \, \mathrm dg + g \, \mathrm df</math> を満たす。ケーラー微分の[[環上の加群|加群]]は他のすべてを分解する ''R''-線型導分 <math>\mathrm d \colon S \to \Omega_{S/R}</math> として定義される。

==構成==

アイデアは今 ''R'' 上の{{仮リンク|導分 (抽象代数学)|label=''導分''|en|derivation (abstract algebra)}}
:d:''S'' &rarr; &Omega;<sub>''S''/''R''</sub>
の{{仮リンク|普遍的構成|en|Universal construction}}を与えることである、ただし Ω<sub>''S''/''R''</sub> は ''S''-[[環上の加群|加群]]であって、[[外微分]]の純代数的類似である。これが意味するのは d は ''R''-加群の準同型であって ''S'' のすべての ''s'' と ''t'' に対して
:d(''st'') = ''s'' d''t'' + ''t'' d''s''
ということであり、d は任意の他の導分が ''S''-加群準同型との合成によってそれから得られるという意味でそのような''最良の''導分である。

Ω<sub>''S''/''R''</sub> と d の実際の構成は以下のように進行する。''S'' の元 ''s'' に対して形式的な生成元 d''s'' を導入し、次の関係を課す： ''S'' のすべての元 ''s'' と ''t'' に対して、
*d''r'' = 0 for ''r'' in ''R'',
*d(''s'' + ''t'') = d''s'' + d''t'',
*d(''st'') = ''s'' d''t'' + ''t'' d''s''

別の構成もある。''I'' を[[テンソル積]] <math>S \otimes_R S</math> の次のようなイデアルとする。すなわち、<math>\Sigma s_i \otimes t_i \mapsto \Sigma s_i.t_i</math> によって与えられる積写像 <math>S \otimes_R S\to S</math> の[[核 (代数学)|核]]として ''I'' を定義する。このとき ''S'' のケーラー微分の加群は次のように定義しても同値である<ref name=H77>Hartshorne (1977) p.172</ref>。Ω<sub>''S''/''R''</sub> = ''I''/''I''<sup>2</sup> とし、射 d は

:<math>\mathrm ds = 1 \otimes s - s \otimes 1. \, </math>

この構成が前の構成と同値であることを見るために、''I'' は <math>\Sigma s_i \otimes t_i \mapsto \Sigma s_i.t_i\otimes 1</math> によって与えられる射影 <math>S \otimes_R S\to S \otimes_R R</math> の核であることに注意しよう。したがって：

:<math>S \otimes_R S \equiv\,\,{} I \,{} \oplus S \otimes_R R.\, </math>

すると <math>S \otimes_R S/ S\otimes_R R </math> は、<math>\Sigma s_i \otimes t_i \mapsto  \Sigma s_i \otimes t_i-\Sigma s_i.t_i\otimes 1</math> によって与えられるcomplementary projectionによって誘導される写像によって、''I'' と同一視できる。

したがってこの写像は ''I'' を ''S'' の元 ''s'' に対して形式的な生成元 d''s'' で生成された ''S'' 加群と同一視し、上で与えられた最初の2つの関係に従う（二番目の関係は d が ''R''-線型であると要求することで強くなる）。最後の関係によって 0 に設定される元はちょうど ''I'' の ''I''<sup>2</sup> に写る。

==代数幾何学における使用==

幾何学的には、[[アフィンスキーム]]の言葉で、''I'' は Spec(''S'')&nbsp;→&nbsp;Spec(''R'') 上の Spec(''S'') のそれ自身との[[ファイバー積]]において''[[対角線]]を定義するイデアル''を表す。したがってこの構成は次のような意味でより幾何学的な風味をもつ。対角線の ''first infinitesimal neighbourhood'' の概念はそれによって二番目に少なくとも消える関数を''[[:en:modulo (jargon)|法として]]''消える関数を経由してとらえられる（関連した概念には[[余接空間#性質|余接空間]]を見よ）。

任意の ''S''-加群 ''M'' に対して、Ω<sub>''S''/''R''</sub> の普遍性は自然同型

:<math>\operatorname{Der}_R(S,M)\cong \operatorname{Hom}_S(\Omega_{S/R},M)\,</math>

を導く、ただし左辺は ''S'' から ''M'' へのすべての ''R''-線型導分からなる ''S''-加群である。（これは随伴ではないが）[[随伴関手]]の場合のように、これは単に加群の同型以上のものである。それは S-加群準同型 ''M'' → ''M''' と交換ししたがって関手の同型である。

''p'' &gt; 1 に対してケーラー ''p''-形式 Ω<sup>''p''</sup><sub>''S''/''R''</sub> を得るために、''R''-加群、''p'' 次[[外冪]]をとる。（''R'' と ''S'' に適用される）[[環の局所化]]のもとでの構成の振る舞いは代数幾何学における使用が可能な''（相対）ケーラー p-形式の[[層 (数学)|層]]''の幾何学的概念が存在することを保証する。

==代数的整数論における使用==
[[代数的整数論]]において、ケーラー微分を[[代数体]]の拡大の[[分岐 (数学)#代数的整数論|分岐]]を研究するために使うことができる。''L''/''K'' が有限拡大でそれぞれの整数環が ''O'' と ''o'' であれば、[[:en:different ideal|different ideal]] δ<sub>''L''/''K''</sub> は、分岐のデータをエンコードするが、''O''-加群 Ω<sub>''O''/''o''</sub> の零化イデアルである<ref name=N201>Neukirch (1999) p.201</ref>：

<math>\delta_{L/K} = \{ x \in O : x \mathrm{d} y = 0 \text{ for all } y \in O \} . </math>

==参考文献==
{{reflist}}
* {{cite journal | first=J. | last=Johnson | year=1969 | title=Kähler differentials and differential algebra | journal=[[Annals of Mathematics]] | volume=89 | pages=92–98 | zbl=0179.34302 | doi=10.2307/1970810}}
* {{Hartshorne AG}}
* {{cite book | first=Hideyuki | last=Matsumura | year=1986 | title=Commutative ring theory | publisher=[[Cambridge University Press]]}}
* {{Neukirch ANT}}
* {{cite journal | first=M. | last=Rosenlicht | year=1976 | title=On Liouville's theory of elementary functions | journal=Pacific J. Math. | volume=65 | pages=485–492 | zbl=0318.12107 | doi=10.2140/pjm.1976.65.485}}
* {{cite journal | first=G., et al | last=Fu et al.| year=2011 | title=Some remarks on Kähler differentials and and ordinary differentials in nonlinear control systems| journal=[[Systems and Control Letters]] | volume=60 | pages=699–703 | doi=10.1016/j.sysconle.2011.05.006}}

==外部リンク==
* A [http://mathoverflow.net/questions/6074/kahler-differentials-and-ordinary-differentials thread] devoted to the question on [[:en:MathOverflow|MathOverflow]]

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[[Category:可換環論]]
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