ゲージ理論のソースを表示

{{要改訳}}
'''ゲージ理論'''（ゲージりろん、{{lang-en|gauge theory}}）は、[[場の理論]]の分類である。局所変換の際に[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]が不変となる系を扱う。
<!--In [[physics]], a '''gauge theory''' is a type of [[Field theory (physics)|field theory]] in which the [[Lagrangian]] is [[Invariant (physics)|invariant]] under a [[continuous group]] of local transformations.-->

'''ゲージ'''（ものさし、尺度）という用語は、ラグランジアンの冗長な自由度を表している。可能なゲージを変換することを'''ゲージ変換'''と呼ぶ。ゲージ変換は、[[リー群]]を形成し、理論の'''対称群'''あるいは'''ゲージ群'''と呼ばれる。リー群には[[リー群#指数写像|生成子]]の[[リー代数]]が付随する。それぞれの生成子に対応して'''ゲージ場'''と呼ばれる[[ベクトル場]]が導入され、これにより局所変換の下でのラグランジアンの不変性（'''ゲージ不変性'''）が保証される。ゲージ場を[[量子化 (物理学)|量子化]]して得られる粒子は'''[[ゲージ粒子|ゲージボゾン]]'''と呼ばれる。[[交換関係 (量子力学)|非可換]]なゲージ群の下でのゲージ理論は、'''非可換ゲージ理論'''と呼ばれ、[[ヤン＝ミルズ理論]]が代表的である。
<!--The term ''gauge'' refers to redundant [[degrees of freedom]] in the Lagrangian. The transformations between possible gauges, called ''gauge transformations'', form a [[Lie group]]—referred to as the ''symmetry group'' or the ''gauge group'' of the theory. Associated with any Lie group is the [[Lie algebra]] of [[group generator]]s. For each group generator there necessarily arises a corresponding [[vector field]] called the ''gauge field''. Gauge fields are included in the Lagrangian to ensure its invariance under the local group transformations (called ''gauge invariance''). When such a theory is quantized, the [[Quantum|quanta]] of the gauge fields are called ''[[gauge boson]]s''. If the symmetry group is [[Nonabelian group|non-commutative]], the gauge theory is referred to as ''non-abelian'', the usual example being the [[Yang–Mills theory]].-->

物理学における有用な理論の多くは、ある対称性変換群の下で不変なラグランジアンによって記述される。物理的な過程が発生する時空の'''全ての'''点において一斉に同一な変換の下で不変であるとき、理論は[[#大域対称性|大域対称性]]を持つと言う。[[#局所対称性|局所対称性]]を要求すると、系により強い制約を課すこととなり、この点がゲージ理論の重要な点である。実際、大域対称性は、まさに時空内で固定された対称群のパラメータをもつ局所対称性である。
<!--Many powerful theories in physics are described by [[Lagrangian]]s that are [[Invariant (physics)|invariant]] under some symmetry transformation groups. When they are invariant under a transformation identically performed at ''every'' [[Point (geometry)|point]] in the space in which the physical processes occur, they are said to have a [[global symmetry]]. The requirement of [[local symmetry]], the cornerstone of gauge theories, is a stricter constraint. In fact, a global symmetry is just a local symmetry whose group's parameters are fixed in space-time.-->

ゲージ理論は、[[素粒子]]を記述する場の理論として成功している。[[量子電磁力学|量子電磁気学]]は[[ユニタリ群|U(1)]]対称性に基づく[[アーベル群|可換]]ゲージ理論であり、ゲージボゾンを[[光子]]として持つ[[電磁ポテンシャル]]がゲージ場である。[[標準模型]]は U(1) × [[特殊ユニタリ群|SU(2)]] × [[特殊ユニタリ群|SU(3)]] 対称性に基づく非可換ゲージ理論であり、1つの[[光子]]、3つの[[ウィークボソン]]、および 8つの[[グルーオン]]の合計 12 のゲージボゾンを持つ。
<!--Gauge theories are important as the successful field theories explaining the dynamics of [[elementary particles]].  [[Quantum electrodynamics]] is an [[Abelian group|abelian]] gauge theory with the symmetry group [[Unitary group|U(1)]] and has one gauge field, the [[electromagnetic four-potential]], with the [[photon]] being the gauge boson. The [[Standard Model]] is a non-abelian gauge theory with the symmetry group U(1)×[[Special unitary group#n.3D2|SU(2)]]×[[Special unitary group#n.3D3|SU(3)]] and has a total of twelve gauge bosons: the [[photon]], three [[weak boson]]s and eight [[gluons]].-->

ゲージ理論は[[重力]]を記述する[[一般相対論]]においても重要な役割を持つ。一般相対論の場合は、ゲージ場が[[テンソル]]場である。[[量子重力理論]]において、このゲージ場を量子化した[[重力子]]が存在すると考えられている。
ゲージ対称性は、一般相対論の[[一般共変性]](principle of general covariance)の類似と見なすことができ、そこでの座標系は任意の時空の[[微分同相]]の下に自由に選択することができる。ゲージ対称性も微分同相対称性も両方とも、系の自由度の冗長性を反映している。
<!--Gauge theories are also important in explaining [[gravitation]] in the theory of [[general relativity]].  Its case is somewhat unique in that the gauge field is a tensor, the [[Lanczos tensor]].  Theories of [[quantum gravity]], beginning with [[gauge gravitation theory]], also postulate the existence of a gauge boson known as the [[graviton]].  Gauge symmetries can be viewed as analogues of the [[principle of general covariance]] of general relativity in which the coordinate system can be chosen freely under arbitrary [[diffeomorphism]]s of spacetime.  Both gauge invariance and diffeomorphism invariance reflect a redundancy in the description of the system.  An alternative theory of gravitation, [[gauge theory gravity]], replaces the principle of general covariance with a true gauge principle with new gauge fields.-->

歴史的には、これらの概念は、初めは[[古典電磁気学]]で、そして後に[[一般相対性理論]]において考えられていた。しかしながら、以下に詳しく述べるように、ゲージ対称性の現代的な重要性は[[電子]]の[[相対論的量子力学]]である[[量子電磁力学|量子電磁気学]]において最初に現れた。今日、ゲージ理論は[[物性物理学|凝縮系物性論]]、[[原子核物理学]]、あるいは[[高エネルギー物理学]]の分野で非常に有用である。
<!--Historically, these ideas were first stated in the context of [[classical electromagnetism]] and later in [[general relativity]].  However, the modern importance of gauge symmetries appeared first in the [[relativistic quantum mechanics]] of [[electron]]s{{spaced ndash}}[[quantum electrodynamics]], elaborated on below. Today, gauge theories are useful in [[condensed matter physics|condensed matter]], [[nuclear physics|nuclear]] and [[high energy physics]] among other subfields.-->
{{Quantum field theory}}

== 歴史 ==
ゲージ変換の自由度を持った最初の理論は[[電磁気学]]における、1864年の[[ジェームズ・クラーク・マクスウェル|マクスウェル]](James Clerk Maxwell)による[[マクスウェルの方程式|電磁場の公式]]であるが、この概念の重要性は永く気付かれないままであった。この定式化の持つ対称性の重要さは、早期の段階では注目されることがないままであった。[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]](David Hilbert)も注目することなく、一般座標変換の下の[[作用 (物理学)|作用]]の不変性を詳しく調べ、[[アインシュタイン方程式]]を導出した。後日、[[ヘルマン・ワイル|ワイル]](Hermann Weyl)が、[[一般相対論]]と[[電磁気学]]を統一しようと、[[尺度水準|スケール]]変換（もしくは、ゲージ変換）の下の不変性が、一般相対論の局所対称性であろうと予想した。[[量子力学]]の発展したのち、ワイル、[[ウラジミール・フォック|フォック]](Vladimir Fock)、[[フリッツ・ロンドン|ロンドン]](Fritz London)が、スカラー要素を[[複素数]]値に置き換え、スケール変換を U(1) ゲージ対称性である[[位相|相]](phase)の変更に置き換えることにより、スケール（ゲージ）を変形した。このことが、[[電荷]]を帯びた量子力学的な[[基本粒子|粒子]]の[[波動函数]]として[[電磁場]]を説明した。これが[[ヴォルフガング・パウリ]](Wolfgang Pauli)により1940年代に広められ、ゲージ理論として広く認識された最初であった。<ref>[[Wolfgang Pauli]] (1941) "[http://prola.aps.org/abstract/RMP/v13/i3/p203_1 Relativistic Field Theories of Elementary Particles,]" ''Rev. Mod. Phys.'' '''13''': 203–32.</ref>
<!--==History and importance==

The earliest field theory having a gauge symmetry was [[James Clerk Maxwell|Maxwell]]'s formulation of [[classical electrodynamics|electrodynamics]] in 1864. The importance of this symmetry remained unnoticed in the earliest formulations. Similarly unnoticed, [[David Hilbert|Hilbert]] had derived the [[Einstein field equations]] by postulating the invariance of the [[Action (physics)|action]] under a general coordinate transformation.  Later [[Hermann Weyl]], in an attempt to unify [[general relativity]] and [[electromagnetism]], conjectured that ''Eichinvarianz'' or invariance under the change of [[scale (measurement)|scale]] (or "gauge") might also be a local symmetry of general relativity.  After the development of [[quantum mechanics]], Weyl, [[Vladimir Fock]] and [[Fritz London]] modified gauge by replacing the scale factor with a [[complex number|complex]] quantity and turned the scale transformation into a change of [[phase (waves)|phase]], which is a U(1) gauge symmetry. This explained the [[electromagnetic field]] effect on the [[wave function]] of a [[electric charge|charge]]d quantum mechanical [[Elementary particle|particle]]. This was the first widely recognised gauge theory, popularised by [[Wolfgang Pauli|Pauli]] in the 1940s.<ref>[[Wolfgang Pauli]] (1941) "[http://prola.aps.org/abstract/RMP/v13/i3/p203_1 Relativistic Field Theories of Elementary Particles,]" ''Rev. Mod. Phys.'' '''13''': 203–32.</ref>-->

=== 非可換ゲージ理論 ===
1954年に[[楊振寧]]と[[ロバート・ミルズ|ミルズ]]は[[核子]]の[[強い相互作用]]を説明するモデルを提唱した<ref>[[#yang|Yang and Mills (1954)]]</ref>。
彼らは、[[電磁相互作用]]のU(1)対称性の理論を一般化して、[[陽子]]と[[中性子]]の[[アイソスピン]]SU(2)対称性に基づいた理論を構築した。このモデル自体は実験と整合しなかったが非可換対称性に基づく'''[[ヤン＝ミルズ理論]]'''として多くの理論の原型となった。

このアイデアは後に、[[弱い相互作用]]と[[電磁相互作用]]を統一する[[電弱相互作用]]への応用が見いだされた。さらに、非可換ゲージ理論は[[漸近的自由性]]と呼ばれる特徴を再現できることが判明したことで、ゲージ理論はより魅力的なものとなった。漸近的自由性は強い相互作用の重要な特徴であると見なされていた。これにより、強い相互作用のゲージ理論を探求しようという動機が生まれた。この理論は[[量子色力学]]と呼ばれ、[[クォーク]]の[[色荷|カラー]]SU(3)対称性に基づくゲージ理論である。ゲージ理論は、[[量子電磁力学]] (QED) 、[[量子色力学]] (QCD) および[[ワインバーグ＝サラム理論]]の基礎をなしている。さらに、電磁相互作用、弱い相互作用および強い相互作用を統一する[[標準模型]]はゲージ理論の言葉で記述されている。

=== 数学におけるゲージ理論 ===
1970年代になって、[[マイケル・アティヤ]]は古典的[[ヤン＝ミルズ方程式]]の数学的解決法の研究を始めた。1983年、アティヤの学生[[サイモン・ドナルドソン]]は[[滑らかな関数|滑らかな]]4次元[[微分可能多様体]]の分類では、[[位相同型]]の[[違いを除いて|違いを除いた]]分類とは異なっていることを示す方向の研究を進めた。[[マイケル・フリードマン]]は、ドナルドソンの研究成果を用いて、[[エキゾチックR4|エキゾチック '''R'''<sup>4</sup>]] の存在、すなわち、4次元[[ユークリッド空間]]とは異なるエキゾチックな{{仮リンク|微分構造|en|Differential structure}}(Differential structure)が存在することを示した。このことは、ゲージ理論自体が持つ基礎物理学における成功とは独立して、数学的構造に対するゲージ理論への関心を呼び起こした。1994年、[[エドワード・ウィッテン]]および[[ネーサン・サイバーグ]]は、[[超対称性]]に基づいたゲージ理論的テクニックを発見した。ここでの方法はある[[トポロジー]]的不変性の計算を可能とする方法でもある。これら、ゲージ理論からの数学への貢献は、この分野の新たな関心として注目されている。

:''ゲージ理論および場の量子論の歴史に関するより詳細な資料はPickeringの書籍を参照のこと''<ref name=Pickering>{{Cite book
 |last=Pickering |first=A.
 |title=Constructing Quarks
 |publisher=[[University of Chicago Press]]
 |year=1984
 |isbn=0226667995
}}</ref>。

== ゲージ場 ==
===大域対称性と局所対称性===
任意の物理的状況の数学的記述は、通常、過度の[[自由度]]を持っている。同一の物理状況は、多くの同値な数学的な構成によりうまく記述される。例えば、[[ニュートン力学]]では、2つの構成が互いに[[ガリレイ変換]]（座標系の[[慣性]]変換）により、同一の物理的状況を表している。これらの変換は理論の[[対称性 (物理学)|対称性]]の[[群 (数学)|群]]を形成し、物理的状況は個別の数学的構成に対応しているのではなく、この対称群により互いに関連付けられた構成のクラスに対応する。

この考え方を大域的な対称性と同様に局所対称性へ一般化することができる。このことは、全物理系をカバーする「慣性」座標系を選ぶことのないような状況でのより抽象的な「座標変換」であることと似ている。ゲージ理論はこの種類の対称性を持つ数学的モデルであり、モデルの対称性と整合性を持つ物理的な予言をなすことを可能とする一連のテクニックを伴っている。
<!--===Global and local symmetries===
In [[physics]], the mathematical description of any physical situation usually contains excess [[Degrees of freedom (physics and chemistry)|degrees of freedom]]; the same physical situation is equally well described by many equivalent mathematical configurations.  For instance, in [[Newtonian dynamics]], if two configurations are related by a [[Galilean transformation]] (an [[inertial]] change of reference frame) they represent the same physical situation.  These transformations form a [[group (mathematics)|group]] of "[[symmetry in physics|symmetries]]" of the theory, and a physical situation corresponds not to an individual mathematical configuration but to a class of configurations related to one another by this symmetry group.

This idea can be generalized to include local as well as global symmetries, analogous to much more abstract "changes of coordinates" in a situation where there is no preferred "[[inertial]]" coordinate system that covers the entire physical system.  A gauge theory is a mathematical model that has symmetries of this kind, together with a set of techniques for making physical predictions consistent with the symmetries of the model.-->

===ファイバーバンドルを使った局所対称性の記述===
ゲージ理論は、[[ファイバーバンドル]]で記述することができる。<ref group="注">ヤンとミルズが強い力のゲージ理論を見つけたころ、数学でもほぼ同時にファイバーバンドルの理論が整備された。これはゲージ場の理論と数学的に等価であることが徐々に認識され、その後の数学と物理の交流の元となった。</ref>

さらに複雑な理論の中で物理的状況を充分に記述するため、時空の中で点にラベル付けを与える座標との単純な関係を持たない対象に対して、「座標基底」を導入する必要がある。（数学用語では、点での対象の値を記述するときに使う座標基底からなるベース空間と、その各々の点でファイバーを考えたファイバーバンドルを意味する。）数学的な構成とするためには、各々の点で（ファイバーバンドルの'''局所切断'''に限った座標基底を選択し、理論の対象の値を座標を使い表現せねばならない（通常は、物理的意味では[[場|場の理論]]）。ファイバーバンドルと場の理論という 2つの構成は、それらの座標変換（局所切断の変換、'''ゲージ変換'''）によって関係し合うとき、等価である（同じ物理状態を記述する）と言う。

大半のゲージ理論では、時空の点の抽象的ゲージ基底の可能な変換は、有限次元の[[リー群]]である。最も単純なそのような群は、[[ユニタリ群|U(1)]]であり、現代の定式化では、[[複素数]]を使った[[量子電磁力学|量子電磁力学 (QED)]]である。QED は一般に、最初の最も単純な物理的ゲージ理論と考えられている。ゲージ理論が与えられたとき、全体の構成の中で取りうるゲージ変換の集合は、'''ゲージ群'''を形成する。ゲージ群の元は時空の点から（有限次元の）リー群への滑らかな函数によりパラメトライズされ、各々の点での函数とその微分の値は、各々の点上のファイバーでのゲージ変換の作用を表す。

時空の各点で定数であるゲージ変換は、幾何学的な座標系のリジッドな回転に似ている。この定数ゲージ変換は、ゲージ表現の[[#大域対称性|大域対称性]]を表す。リジッドな回転の場合のように、このゲージ変換は、真に局所的な量を表現する方法と同じ方法で、ゲージ独立な量を経路に沿って変更する比率を表現することへ影響する。パラメータが定数函数でないゲージ変換は、[[#局所対称性|局所対称性]]と呼ばれる。[[微分法|微分]]を意味する効果と、しない効果とは量的な差異がある。（このことは、[[コリオリの力]]として表すことのできる、座標の非惰性的な変換の類似物である。
<!--===Use of fiber bundles to describe local symmetries===
In order to adequately describe physical situations in more complex theories, it is often necessary to introduce a "coordinate basis" for some of the objects of the theory that do not have this simple relationship to the coordinates used to label points in space and time.  (In mathematical terms, the theory involves a [[fiber bundle]] in which the fiber at each point of the base space consists of possible coordinate bases for use when describing the values of objects at that point.)  In order to spell out a mathematical configuration, one must choose a particular coordinate basis at each point (a ''local section'' of the fiber bundle) and express the values of the objects of the theory (usually "[[field theory (physics)|fields]]" in the physicist's sense) using this basis.  Two such mathematical configurations are equivalent (describe the same physical situation) if they are related by a transformation of this abstract coordinate basis (a change of local section, or ''gauge transformation'').

In most gauge theories, the set of possible transformations of the abstract gauge basis at an individual point in space and time is a finite-dimensional [[Lie group]]. The simplest such group is [[U(1)]], which appears in the modern formulation of [[quantum electrodynamics#Mathematics|quantum electrodynamics (QED)]] via its use of [[complex number]]s. QED is generally regarded as the first, and simplest, physical gauge theory. The set of possible gauge transformations of the entire configuration of a given gauge theory also forms a group, the ''gauge group'' of the theory. An element of the gauge group can be parameterized by a smoothly varying function from the points of spacetime to the (finite-dimensional) Lie group, such that the value of the function and its derivatives at each point represents the action of the gauge transformation on the fiber over that point.

A gauge transformation with constant parameter at every point in space and time is analogous to a rigid rotation of the geometric coordinate system; it represents a [[global symmetry]] of the gauge representation.  As in the case of a rigid rotation, this gauge transformation affects expressions that represent the rate of change along a path of some gauge-dependent quantity in the same way as those that represent a truly local quantity.  A gauge transformation whose parameter is ''not'' a constant function is referred to as a [[local symmetry]]; its effect on expressions that involve a [[derivative]] is qualitatively different from that on expressions that don't.  (This is analogous to a non-inertial change of reference frame, which can produce a [[Coriolis effect]].)-->

===ゲージ場===
ゲージ理論の「ゲージ共変」バージョンは、ゲージ場を導入すること（数学のことばでは、[[接続 (ファイバー束)|エーレスマン接続]]）と、この接続の観点から[[共変微分]]の項で全ての変換の度合いを定式化することにより、この効果を考慮している。ゲージ場は、数学的構成の記述の本質的な部分となっている。ゲージ変換によりゲージ場を除去可能な構成は、{{仮リンク|場の強さ|en|field strength}}（数学のことばでは、[[曲率]]）がどこでも 0 となる性質を持っている。ゲージ場はこれらの構成に'''限られているわけではない'''。言い換えると、ゲージ理論の際立った特性は、ゲージ場が単に単純な座標系の選択を償っているだけではないという特性であり、一般にはゲージ場を 0 とするようなゲージ変換は存在しない。
<!--===Gauge fields===
The "gauge covariant" version of a gauge theory accounts for this effect by introducing a [[gauge field]] (in mathematical language, an [[Ehresmann connection]]) and formulating all rates of change in terms of the [[covariant derivative]] with respect to this connection.  The gauge field becomes an essential part of the description of a mathematical configuration.  A configuration in which the gauge field can be eliminated by a gauge transformation has the property that its [[field strength]] (in mathematical language, its [[curvature]]) is zero everywhere; a gauge theory is ''not'' limited to these configurations.  In other words, the distinguishing characteristic of a gauge theory is that the gauge field does not merely compensate for a poor choice of coordinate system; there is generally no gauge transformation that makes the gauge field vanish.-->

ゲージ理論の[[力学]]の解析のとき、物理的状況の記述での他の対象と同様に、ゲージ場は力学変数として扱わねばならない。共変微分を通して他の対象との[[基本相互作用]]に加えて、典型的にゲージ場は「自己エネルギー」項の形でエネルギーへ寄与する。ゲージ理論の方程式は次のようにして得ることができる。
* ゲージ場がないというナイーブな[[仮設 (数学)|仮設]]{{enlink|ansatz}}より出発する（そこでは、微分が「裸の形」で現れる）。
* 連続パラメータにより特徴付けられる理論の大域対称性をリストアップする（一般には、回転角と同値である）。
* 場所により変換することができる対称性パラメータから来る結果の補正項を計算する。
* これらの補正項をひとつあるいはそれ以上のゲージ場の結合と解釈し、これらの場の適切な自己エネルギー項と力学的な振る舞いを与える。

このことは、ゲージ理論が大域的対称性を局所対称性へと「拡張」することを意味し、[[一般相対論]]として知られている重力のゲージ理論の歴史的な発展と密接に関連する。
<!--When analyzing the [[Dynamics (physics)|dynamics]] of a gauge theory, the gauge field must be treated as a dynamical variable, similarly to other objects in the description of a physical situation.  In addition to its [[Fundamental interaction|interaction]] with other objects via the covariant derivative, the gauge field typically contributes [[energy]] in the form of a "self-energy" term.  One can obtain the equations for the gauge theory by:
* starting from a naïve [[ansatz]] without the gauge field (in which the derivatives appear in a "bare" form);
* listing those global symmetries of the theory that can be characterized by a continuous parameter (generally an abstract equivalent of a rotation angle);
* computing the correction terms that result from allowing the symmetry parameter to vary from place to place; and
* reinterpreting these correction terms as couplings to one or more gauge fields, and giving these fields appropriate self-energy terms and dynamical behavior.
This is the sense in which a gauge theory "extends" a global symmetry to a local symmetry, and closely resembles the historical development of the gauge theory of gravity known as [[general relativity]].-->

===物理実験===
ゲージ理論は、本質的には次のようにして、物理実験の結果をモデル化することに使われる。
* 自然界の可能な構成を、実験で設定する情報と整合性を持つ構成へ制限する。
* 実験で設計された可能な出力の確率分布を計算することは、測ることを設計することである。

「設定情報」と「確率測度の出力」とを数学的に記述すること（大まかには、実験の「境界条件」）は、一般には、ゲージの選択を意味する特殊な座標系を使うことなしに表すことはできない（そうでなければ、ゲージ独立な状態を意味する「外側」の影響から充分に孤立した実験を前提とする）。境界条件でゲージ独立性を誤ると、ゲージ理論の計算で[[量子異常|アノマリ]]がしばしば発生するので、ゲージ理論はアノマリを回避するアプローチにより広く分類することができる。{{clarify|date=February 2014}}
<!--===Physical experiments===
Gauge theories are used to model the results of physical experiments, essentially by:
* limiting the universe of possible configurations to those consistent with the information used to set up the experiment, and then
* computing the probability distribution of the possible outcomes that the experiment is designed to measure.
The mathematical descriptions of the "setup information" and the "possible measurement outcomes" (loosely speaking, the "boundary conditions" of the experiment) are generally not expressible without reference to a particular coordinate system, including a choice of gauge.  (If nothing else, one assumes that the experiment has been adequately isolated from "external" influence, which is itself a gauge-dependent statement.)  Mishandling gauge dependence in boundary conditions is a frequent source of [[anomaly (physics)|anomalies]] in gauge theory calculations, and gauge theories can be broadly classified{{clarify|date=February 2014}} by their approaches to anomaly avoidance.-->

===連続体の理論===
上記の 2つの理論（連続電磁気学と一般相対論）は、連続体の理論の例である。[[連続体力学|連続体の理論]]の計算テクニックを暗に前提としている。
* 完全にゲージの選択を固定すると、個別の構成の境界条件は、原理的には完全に記述することが可能である。
* 完全にゲージを固定し一連の境界条件が与えられると、[[最小作用の原理]]は、これらの境界と整合性を持つ一意な数学的構成（従って一意な物理的状況）を決定する。
* 測定結果の可能性は次のように決定することができる。
** 全ての物理的状況の確率分布の確立は、設定情報と整合性を持つ境界条件により決定される。
** 可能な物理状況の各々の出力測定の確率分布の確立。
** 設定情報と整合性を持つ出力確率の分布を得るためのこれら 2つの確率分布の畳み込み。
* ゲージ固定すると、境界条件の部分的情報の記述のゲージ依存性か、もしくは、理論の不完全性のどちらかのためのアノマリを計算から排除することができる。
<!--===Continuum theories===
The two gauge theories mentioned above (continuum electrodynamics and general relativity) are examples of continuum field theories.  The techniques of calculation in a continuum theory implicitly assume that:
* given a completely fixed choice of gauge, the boundary conditions of an individual configuration can in principle be completely described;
* given a completely fixed gauge and a complete set of boundary conditions, the principle of least action determines a unique mathematical configuration (and therefore a unique physical situation) consistent with these bounds;
* the likelihood of possible measurement outcomes can be determined by:
** establishing a probability distribution over all physical situations determined by boundary conditions that are consistent with the setup information,
** establishing a probability distribution of measurement outcomes for each possible physical situation, and
** convolving these two probability distributions to get a distribution of possible measurement outcomes consistent with the setup information; and
* fixing the gauge introduces no anomalies in the calculation, due either to gauge dependence in describing partial information about boundary conditions or to incompleteness of the theory.-->

これらの前提は充分に閉じられた形を持っているので、エネルギースケールや実験条件の広い範囲を渡って有効であり、光や熱、電気から日食、宇宙旅行と言ったことまでの日常生活の中で出くわす現象の大半について、理論は正確に予言することが可能である。数学的テクニック自体が破れるときである（理論自身の中の省略により）最も小さいスケールと最も大きなスケールのときのみ、理論がうまくいかない（最も有名な場合は、[[乱流]]とほかの[[カオス理論|カオス]]的な現象）。
<!--These assumptions are close enough to be valid across a wide range of energy scales and experimental conditions, to allow these theories to make accurate predictions about almost all of the phenomena encountered in daily life, from light, heat, and electricity to eclipses and spaceflight.  They fail only at the smallest and largest scales (due to omissions in the theories themselves) and when the mathematical techniques themselves break down (most notably in the case of [[turbulence]] and other [[chaos (physics)|chaotic]] phenomena).-->

===場の量子論===
これらの「古典的」連続体理論以外に、もっとも広く知られている理論が、[[量子電磁力学|量子電磁気学]]や素粒子物理学の[[標準模型]]を含む[[場の量子論]]である。場の量子論の出発点は、連続に類似する議論に非常に良く似ている。ゲージ共変な[[作用 (物理学)|作用積分]]は、[[最小作用の原理]]に従い「可能な」物理的状況を特徴付ける。しかし、連続体の理論と場の量子論は、ゲージ変換により表される大きすぎる自由度をどのように扱うかということにおいて、重要な違いがある。 連続体の理論と教育的に扱われた最も単純な場の量子論は、{{仮リンク|ゲージ固定|en|gauge fixing}}(gauge fixing)の処方を使い、与えられた物理的状況を表わす数学的構成の軌道を、より小さな群の表す小さな軌道へ還元する。この小さな群は、大域対称群であったり、自明な群であったりする。
<!--===Quantum field theories===
Other than these "classical" continuum field theories, the most widely known gauge theories are [[quantum field theories]], including [[quantum electrodynamics]] and the [[Standard Model]] of elementary particle physics.  The starting point of a quantum field theory is much like that of its continuum analog: a gauge-covariant [[action integral]] that characterizes "allowable" physical situations according to the [[principle of least action]].  However, continuum and quantum theories differ significantly in how they handle the excess degrees of freedom represented by gauge transformations.  Continuum theories, and most pedagogical treatments of the simplest quantum field theories, use a [[gauge fixing]] prescription to reduce the orbit of mathematical configurations that represent a given physical situation to a smaller orbit related by a smaller gauge group (the global symmetry group, or perhaps even the trivial group).-->

より複雑な場の量子論は、特に非アーベル的なゲージ群を持つ場合は、[[摂動論]]の枠内で、場（[[ファデエフ＝ポポフゴースト|ファデエフ・ポポフゴースト場]]と、{{仮リンク|BRST量子化|en|BRST quantization}}(BRST quantization)として知られているアプローチで、{{仮リンク|アノマリキャンセル|en|anomaly cancellation}}(anomaly cancellation)に動機を持つ反対項を導入し、ゲージ対称性を破る。これらの問題はある意味非常にテクニカルなことであるが、問題は、観測の性質、物理的状況を知ることの限界、や不完全な特別の実験条件と不完全にしか理解されていない物理理論の間の相互作用といったことと密接に関係している{{Citation needed|date=November 2014}}。ゲージ理論を扱い易くするために開発された数学的テクニックは、[[固体物理学]]や[[結晶学]]から[[低次元トポロジー]]まで、多くの応用を持っている。
<!--More sophisticated quantum field theories, in particular those that involve a [[Non-abelian gauge theory|non-abelian]] gauge group, break the gauge symmetry within the techniques of [[Perturbation theory (quantum mechanics)|perturbation theory]] by introducing additional fields (the [[Faddeev–Popov ghost]]s) and counterterms motivated by [[anomaly cancellation]], in an approach known as [[BRST quantization]].  While these concerns are in one sense highly technical, they are also closely related to the nature of measurement, the limits on knowledge of a physical situation, and the interactions between incompletely specified experimental conditions and incompletely understood physical theory{{Citation needed|date=November 2014}}.  The mathematical techniques that have been developed in order to make gauge theories tractable have found many other applications, from [[solid-state physics]] and [[crystallography]] to [[low-dimensional topology]].-->

== 古典ゲージ理論 ==

===古典電磁気学===
歴史的には、最初に発見されたゲージ対称性は、古典[[電磁気学]]である。[[静電気学]]では、電気的な場 '''E'''、もしくは対応する[[電位]] ''V'' のどちらもを議論することが可能である。一方が分かれば、定数だけ異なるポテンシャル <math>V \rightarrow V+C</math> が同じ電場に対応することを除いて、他方も分かる。これは、電場は空間の一点から他の点までのポテンシャルの変化を関連付け、定数 ''C'' はポテンシャルの変化を見つけるために引くとキャンセルされるからである。[[ベクトル解析]]のことばでは、電場はポテンシャルの[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]] <math>\mathbf{E} = -\nabla V</math> である。静電気学から電磁気学へ一般化すると、第二のポテンシャルである{{仮リンク|磁場ベクトルポテンシャル|label=ベクトルポテンシャル|en|magnetic vector potential}}(vector potential) '''A''' を得て、次の式を満たす。
:<math>\begin{align}
  \mathbf{E} &= -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\\
  \mathbf{B} &=  \nabla \times \mathbf{A}\ .
\end{align}</math>
<!--== Classical gauge theory ==

===Classical electromagnetism===
Historically, the first example of gauge symmetry discovered was classical [[electromagnetism]]. In [[electrostatics]], one can either discuss the electric field, '''E''', or its corresponding [[electric potential]], ''V''. Knowledge of one makes it possible to find the other, except that potentials differing by a constant, <math>V \rightarrow V+C</math>, correspond to the same electric field. This is because the electric field relates to ''changes'' in the potential from one point in space to another, and the constant ''C'' would cancel out when subtracting to find the change in potential. In terms of [[vector calculus]], the electric field is the [[gradient]] of the potential, <math>\mathbf{E} = -\nabla V</math>. Generalizing from static electricity to electromagnetism, we have a second potential, the [[magnetic vector potential|vector potential]] '''A''', with
:<math>\begin{align}
  \mathbf{E} &= -\nabla V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}\\
  \mathbf{B} &=  \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}</math>-->

さて、一般ゲージ変換は <math>V \rightarrow V+C</math> だけでなく、
:<math>\begin{align}
  \mathbf{A} &\rightarrow \mathbf{A} + \nabla f\\
           V &\rightarrow V - \frac{\partial f}{\partial t}
\end{align}</math>
となる。ここに ''f'' は位置と時間に依存する任意の関数である。場はゲージ変換しても変わらないままであり、従って、[[マックスウェルの方程式]]はそのまま成立する。すなわち、マックスウェルの方程式はゲージ対称性を持っている。
<!--The general gauge transformations now become not just <math>V \rightarrow V+C</math> but
:<math>\begin{align}
  \mathbf{A} &\rightarrow \mathbf{A} + \nabla f\\
           V &\rightarrow V - \frac{\partial f}{\partial t}
\end{align}</math>

where ''f'' is any function that depends on position and time. The fields remain the same under the gauge transformation, and therefore [[Maxwell's equations]] are still satisfied. That is, Maxwell's equations have a gauge symmetry.-->

=== 例：スカラー O(''n'') ゲージ理論 ===
:このセクションの残りは、古典理論や[[量子場理論]]と[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]を使うことに慣れている必要がある。

:このセクションで定義するものは、ゲージ群、ゲージ場、[[ラグランジアン (場の理論)|相互作用ラグランジアン]]、[[ゲージ粒子|ゲージボゾン]]である。

次の説明は、局所ゲージ不変性が大域対称性の性質から始め、どのようにして発見的に動機付けられることが可能かか、また、どのようにして元は相互作用のないの間に相互作用を導くかを説明する。
<!--=== An example: Scalar O(''n'') gauge theory ===
:''The remainder of this section requires some familiarity with classical or [[quantum field theory]], and the use of [[Lagrangian]]s.''

:''Definitions in this section: [[gauge group]], [[gauge field]], [[interaction Lagrangian]], [[gauge boson]].''

The following illustrates how local gauge invariance can be "motivated" heuristically starting from global symmetry properties, and how it leads to an interaction between originally non-interacting fields.-->

質量 m をもつ相互作用を持たない n 個の実数の[[スカラー場]]の集まりを考える。この系は、各々のスカラー場 <math>\varphi_i</math> の作用の和である[[作用 (物理学)|作用]]により記述される。
:<math> \mathcal{S} = \int \, \mathrm{d}^4 x \sum_{i=1}^n \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2 \right]\ .</math>

ラグランジアン密度は、場の[[幾何ベクトル|ベクトル]]
:<math>\ \Phi = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T</math>
を導入することにより、
:<math>\ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi </math>
とコンパクトに書くことができる。
<!--Consider a set of ''n'' non-interacting real [[field (physics)|scalar field]]s, with equal masses ''m''. This system is described by an [[action (physics)|action]] that is the sum of the (usual) action for each scalar field <math>\varphi_i</math>

:<math> \mathcal{S} = \int \, \mathrm{d}^4 x \sum_{i=1}^n \left[ \frac{1}{2} \partial_\mu \varphi_i \partial^\mu \varphi_i - \frac{1}{2}m^2 \varphi_i^2 \right]</math>

The Lagrangian (density) can be compactly written as

:<math>\ \mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \Phi)^T \partial^\mu \Phi - \frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi </math>

by introducing a [[vector (geometry)|vector]] of fields 
:<math>\ \Phi = ( \varphi_1, \varphi_2,\ldots, \varphi_n)^T</math>-->

項 <math>\partial_\mu</math> は、次元 4 のうちの各々で <math>\Phi</math> の[[偏微分]]についての[[アインシュタインの縮約記法]]を使っている。すると、''G'' が ''n'' 次[[直交群]] O(n) に属する''定数''[[行列]]であるときにはいつでも、変換
:<math>\ \Phi \mapsto \Phi' = G \Phi </math>
の下にラグランジアンが不変であることが明らかとなる。<math>\Phi</math> の微分は <math>\Phi</math> 自身へと変換され、両方の量はラグランジアンの中ではドット積で現れる（直交変換はドット積を保存する）ので、ラグランジアンが保存されることが分かる。
<!--The term <math>\partial_\mu</math> is [[Einstein notation]] for the [[partial derivative]] of <math>\Phi</math> in each of the four dimensions. It is now transparent that the Lagrangian is invariant under the transformation

:<math>\ \Phi \mapsto \Phi' = G \Phi </math>

whenever ''G'' is a ''constant'' [[matrix (mathematics)|matrix]] belonging to the ''n''-by-''n'' [[orthogonal group]] O(''n''). This is seen to preserve the Lagrangian, since the derivative of <math>\Phi</math> transforms identically to <math>\Phi</math> and both quantities appear inside dot products in the Lagrangian (orthogonal transformations preserve the dot product).-->

:<math>\ (\partial_\mu \Phi) \mapsto (\partial_\mu \Phi)' = G \partial_\mu \Phi </math>
この式は、特別なラグランジアンの'''大域対称性'''を特徴付け、対称群は'''ゲージ群'''と呼ばれる。数学用語では、'''[[ファイバーバンドル#概要|構造群]]'''であり、特に{{仮リンク|G-構造|en|G-structure}}(G-structure)の理論と呼ばれる。結局、[[ネーターの定理]]は、この変換群の不変性が'''カレント'''
:<math>\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^T T^{a} \Phi</math>
の保存を導くことを意味する。ここに行列 T<sup>a</sup> は群 SO(n) の[[群の生成元|生成元]]である。全ての生成元がカレントを保存する。
<!--:<math>\ (\partial_\mu \Phi) \mapsto (\partial_\mu \Phi)' = G \partial_\mu \Phi </math>

This characterizes the ''global'' symmetry of this particular Lagrangian, and the symmetry group is often called the '''gauge group'''; the mathematical term is '''[[structure group]]''', especially in the theory of [[G-structure]]s. Incidentally, [[Noether's theorem]] implies that invariance under this group of transformations leads to the conservation of the ''currents''
:<math>\ J^{a}_{\mu} = i\partial_\mu \Phi^T T^{a} \Phi</math>

where the ''T<sup>a</sup>'' matrices are [[generating set of a group|generator]]s of the SO(''n'') group. There is one conserved current for every generator.-->

さて、このラグランジアンが'''局所的に''' O(n)-不変であることを要求することは、行列 G が（最初は、定数であった）、[[時空]]の[[座標]] x の函数となるべきと言うことである。

不幸にも、行列 G は G = G(x) （G は x の函数とすると）のとき、微分を「通過」しない（行列と偏微分とが非可換となる）。
:<math>\ \partial_\mu (G \Phi) \neq G (\partial_\mu \Phi)\ .</math>

G と微分が可換でないことは、（積の法則を保つために）追加項を導入することになり、ラグランジアンの不変性を壊す。これを修正するために、新しい微分作用素を <math>\Phi</math> が再び <math>\Phi</math> と同一視できるように
:<math>\ (D_\mu \Phi)' = G D_\mu \Phi</math>
として定義する。

この新しい「微分」を{{仮リンク|ゲージ共変|en|Gauge covariant derivative}}(gauge covariant derivative)と呼び、
:<math>\ D_\mu = \partial_\mu + i g A_\mu </math>
と言う形を取る。

ここに g は相互作用の強さを定義する量であり、結合定数と呼ぶ。簡単な計算の後、'''ゲージ場''' A(x) が次のように変換せねばならないことが分かる。
:<math>\ A'_\mu = G A_\mu G^{-1} + \frac{i}{g} (\partial_\mu G)G^{-1}\ .</math>

ゲージ場は[[リー代数]]の元であり、
:<math>\ A_{\mu} =  \sum_a A_{\mu}^a T^a </math>
と拡張できる。

従って、リー代数の生成元と同じゲージ場がある。
<!--Now, demanding that this Lagrangian should have ''local'' O(''n'')-invariance requires that the ''G'' matrices (which were earlier constant) should be allowed to become functions of the [[space-time]] [[coordinate]]s ''x''.

Unfortunately, the ''G'' matrices do not "pass through" the derivatives, when ''G'' = ''G''(''x''),

:<math>\ \partial_\mu (G \Phi) \neq G (\partial_\mu \Phi) </math>

The failure of the derivative to commute with "G" introduces an additional term (in keeping with the product rule), which spoils the invariance of the Lagrangian. In order to rectify this we define a new derivative operator such that the derivative of <math>\Phi</math> again transforms identically with <math>\Phi</math>

:<math>\ (D_\mu \Phi)' = G D_\mu \Phi</math>

This new "derivative" is called a [[Gauge covariant derivative|(gauge) covariant derivative]] and takes the form

:<math>\ D_\mu = \partial_\mu + i g A_\mu </math>

Where ''g'' is called the coupling constant; a quantity defining the strength of an interaction.
After a simple calculation we can see that the '''gauge field''' ''A''(''x'') must transform as follows

:<math>\ A'_\mu = G A_\mu G^{-1} + \frac{i}{g} (\partial_\mu G)G^{-1}</math>

The gauge field is an element of the Lie algebra, and can therefore be expanded as

:<math>\ A_{\mu} =  \sum_a A_{\mu}^a T^a </math>

There are therefore as many gauge fields as there are generators of the Lie algebra.-->

結局、今では、'''局所ゲージ不変'''(locally gauge invariant)ラグランジアン
:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi</math>
が得られている。

パウリ(Pauli)は、<math>\Phi</math> として場の理論へ適用されたゲージ理論を'''第一種のゲージ変換'''と呼び、一方、<math>A</math> の中で償われる変換を'''第二種のゲージ変換'''と呼んだ。

[[Image:Feynman-Diagram.svg|thumb|right|320px|ゲージボゾンを通して相互作用するスカラーボゾンの[[ファインマン・ダイアグラム]] ]]
<!--Finally, we now have a ''locally gauge invariant'' Lagrangian

:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{loc} = \frac{1}{2} (D_\mu \Phi)^T D^\mu \Phi -\frac{1}{2}m^2 \Phi^T \Phi</math>

Pauli calls ''gauge transformation of the first type'' to the one applied to fields as <math>\Phi</math>, while the compensating transformation in <math>A</math> is said to be a ''gauge transformation of the second type''.

[[Image:Feynman-Diagram.svg|thumb|right|200px|[[Feynman diagram]] of scalar bosons interacting via a gauge boson]]-->

このラグランジアンと元々の'''大域ゲージ不変'''(globally gauge-invariant)なラグランジアンとの差異は、'''相互作用ラグランジアン'''(interaction Lagrangian)
:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = i\frac{g}{2} \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + i\frac{g}{2}  (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi - \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi</math>
である。

この項は、局所ゲージ不変性の要求の結果として n 個のスカラー場の間の[[相互作用]]を導入することになる。しかしながら、この相互作用を物理的とし完全には任意としないするためには、媒体 A(x) は空間を伝搬する必要がある。次のセクションでは、もうひとつの別な項 <math>\mathcal{L}_{\mathrm{gf}}</math> をラグランジアンへ導入することで扱われる。[[場の古典論|古典場理論]]を得るような[[量子化 (物理学)|量子化]]のバージョンでは、ゲージ場 A(x) の[[量子]]は、[[ゲージ粒子|ゲージボゾン]]と呼ばれる。量子場理論の相互作用多グランジアンの解釈は、これらのゲージボゾンの交換によって相互作用する[[スカラー (物理学)|スカラー]][[ボーズ粒子|ボゾン]]である。
<!--The difference between this Lagrangian and the original ''globally gauge-invariant'' Lagrangian is seen to be the '''interaction Lagrangian'''

:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = i\frac{g}{2} \Phi^T A_{\mu}^T \partial^\mu \Phi + i\frac{g}{2}  (\partial_\mu \Phi)^T A^{\mu} \Phi - \frac{g^2}{2} (A_\mu \Phi)^T A^\mu \Phi</math>

This term introduces [[interaction]]s between the ''n'' scalar fields just as a consequence of the demand for local gauge invariance. However, to make this interaction physical and not completely arbitrary, the mediator ''A''(''x'') needs to propagate in space. That is dealt with in the next section by adding yet another term, <math>\mathcal{L}_{\mathrm{gf}}</math>, to the Lagrangian. In the [[Quantization (physics)|quantized]] version of the obtained [[classical field theory]], the [[quantum|quanta]] of the gauge field ''A''(''x'') are called [[gauge boson]]s. The interpretation of the interaction Lagrangian in quantum field theory is of [[scalar (physics)|scalar]] [[boson]]s interacting by the exchange of these gauge bosons.-->

=== ゲージ場のヤン・ミルズラグランジアン ===
{{Main|ヤン＝ミルズ理論}}
前のセクションでの古典ゲージ理論の描像は、ほぼ完全ではあるが、共変微分 D の定義するために、全ての時空の点でゲージ場 <math>A(x)</math> の値を知らねばならないという問題がある。この場の値を手で(manually)で特定する代わりに、場の方程式としてこれを与えることができる。さらに、この場の方程式を生成するラグランジアンも同じように局所ゲージ不変であることを要求すると、ゲージ場のラグランジアンの取りうる形は、
:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = - \frac{1}{2} \operatorname{Tr}(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}) </math>
として表すことができる。ここでは、
:<math>\ F_{\mu \nu} = \frac{1}{ig}[D_\mu, D_\nu] </math>
であり、[[トレース (線型代数学)|トレース]]は場の[[ベクトル空間]]上にとることとする。これを'''ヤン・ミルズ作用'''(Yang–Mills action)と呼ぶ。他にもゲージ不変な作用は存在している（例えば、[[非線形光学|非線型電磁気学]]、{{仮リンク|ボルン・インフェルト作用|en|Born–Infeld action}}(Born–Infeld action)、[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン・サイモンズモデル]]、[[強いCP問題|テータ項]](theta term)など）。
<!--=== The Yang–Mills Lagrangian for the gauge field ===
{{Main|Yang–Mills theory}}
The picture of a classical gauge theory developed in the previous section is almost complete, except for the fact that to define the covariant derivatives ''D'', one needs to know the value of the gauge field <math>A(x)</math> at all space-time points. Instead of manually specifying the values of this field, it can be given as the solution to a field equation. Further requiring that the Lagrangian that generates this field equation is locally gauge invariant as well, one possible form for the gauge field Lagrangian is (conventionally) written as

:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{gf} = - \frac{1}{2} \operatorname{Tr}(F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}) </math>

with

:<math>\ F_{\mu \nu} = \frac{1}{ig}[D_\mu, D_\nu] </math>

and the [[trace (linear algebra)|trace]] being taken over the [[vector space]] of the fields. This is called the '''Yang–Mills action'''. Other gauge invariant actions also exist (e.g., [[nonlinear electrodynamics]], [[Born–Infeld action]], [[Chern–Simons model]], [[strong CP problem|theta term]], etc.).-->

このラグランジアンの項の中には、<math>A</math> の一つと均衡を保つ変換をもつような場が存在しないことに注意します。この項のゲージ変換の下での不変性は、'''前提的に'''古典（幾何学的）対称性です。この対称性は量子化を遂行するために制限される必要があり、この過程は{{仮リンク|ゲージ固定|en|gauge fixing}}(gauge fixing)ですが、制限した後でもゲージ変換は可能である。<ref>Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', sect 1–4</ref>

そこで、ゲージ理論の完全なラグランジアンは
:<math>\ \mathcal{L} = \mathcal{L}_\mathrm{loc} + \mathcal{L}_\mathrm{gf} = \mathcal{L}_\mathrm{global} + \mathcal{L}_\mathrm{int} + \mathcal{L}_\mathrm{gf} </math>
となる。
<!--Note that in this Lagrangian term there is no field whose transformation counterweighs the one of <math>A</math>. Invariance of this term under gauge transformations is a particular case of ''a priori'' classical (geometrical) symmetry. This symmetry must be restricted in order to perform quantization, the procedure being denominated [[gauge fixing]], but even after restriction, gauge transformations may be possible.<ref>Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', sect 1–4</ref>

The complete Lagrangian for the gauge theory is now
:<math>\ \mathcal{L} = \mathcal{L}_\mathrm{loc} + \mathcal{L}_\mathrm{gf} = \mathcal{L}_\mathrm{global} + \mathcal{L}_\mathrm{int} + \mathcal{L}_\mathrm{gf} </math>-->

=== 電磁気学の例 ===
前のセクションで示した定式化の単純な応用として、[[電子]]の場だけがある[[電磁気学]]の場合を考える。裸の骨だけの（最も中心となる）電子の場である[[ディラック方程式]]を生成する作用は、
:<math> \mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \gamma^\mu \partial_\mu - m c^2 ) \psi \, \mathrm{d}^4x</math>
である。

この系の大域対称性は、
:<math> \psi \mapsto e^{i \theta} \psi</math>
である。

このゲージ群は [[ユニタリ群|U(1)]] であり、まさに定数 θ を持つ場の相（絶対値 1 の複素数値を角度で表したフェーズ）である。
<!--=== An example: Electrodynamics ===
As a simple application of the formalism developed in the previous sections, consider the case of [[electrodynamics]], with only the [[electron]] field. The bare-bones action that generates the electron field's [[Dirac equation]] is

:<math> \mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \gamma^\mu \partial_\mu - m c^2 ) \psi \, \mathrm{d}^4x</math>

The global symmetry for this system is

:<math> \psi \mapsto e^{i \theta} \psi</math>

The gauge group here is [[U(1)]], just the [[complex number|phase angle]] of the field, with a constant ''θ''.-->

この対称性を「局所化」することは、θ を θ(x) で置き換えることを意味する。適切な共変微分は、
:<math>\ D_\mu = \partial_\mu - i \frac{e}{\hbar} A_\mu</math>
となる。

「電荷」 e を普通の[[電荷]](electric charge)（ゲージ理論の用語の使い方の原型）を同一視し、ゲージ場 A(x) を[[電磁場]]の 4元[[ベクトルポテンシャル]]と同一視すると、相互作用ラグランジアンは、
:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = \frac{e}{\hbar}\bar\psi(x) \gamma^\mu \psi(x) A_{\mu}(x) = J^{\mu}(x)A_{\mu}(x)</math>
となる。ここに <math>J^{\mu}(x)</math> は、通常の [[4元ベクトル]]の電気的カレンド密度である。従って、ゲージ原理は、電子の場へ電磁場のいわゆる{{仮リンク|最小結合|en|minimal coupling}}(minimal coupling)を導入することを意味する。
ちょうど電磁気学のように[[マックスウェルの方程式|場の強さのテンソル]]へゲージ場 <math>A_{\mu}(x)</math> のラグランジアンを加えることにより、[[量子電磁力学|量子電磁気学]]の出発点として使われるラグランジアン
:<math>\ \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\mu D_\mu - m c^2 )\psi - \frac{1}{4 \mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>
を得る。[[ディラック方程式]]、[[マックスウェルの方程式]]、[[量子電磁力学|量子電磁気学]]も参照。
<!--"Local"ising this symmetry implies the replacement of θ by θ(''x'').  An appropriate covariant derivative is then

:<math>\ D_\mu = \partial_\mu - i \frac{e}{\hbar} A_\mu</math>

Identifying the "charge" ''e'' with the usual [[electric charge]] (this is the origin of the usage of the term in gauge theories), and the gauge field ''A''(''x'') with the four-[[vector potential]] of [[electromagnetic field]] results in an interaction Lagrangian

:<math>\ \mathcal{L}_\mathrm{int} = \frac{e}{\hbar}\bar\psi(x) \gamma^\mu \psi(x) A_{\mu}(x) = J^{\mu}(x)A_{\mu}(x)</math>

where <math>J^{\mu}(x)</math> is the usual [[four vector]] electric current density. The [[gauge principle]] is therefore seen to naturally introduce the so-called [[minimal coupling]] of the electromagnetic field to the electron field.

Adding a Lagrangian for the gauge field <math>A_{\mu}(x)</math> in terms of the [[Maxwell's equations|field strength tensor]] exactly as in electrodynamics, one obtains the Lagrangian used as the starting point in [[quantum electrodynamics]].

:<math>\ \mathcal{L}_{\mathrm{QED}} = \bar\psi(i\hbar c \, \gamma^\mu D_\mu - m c^2 )\psi - \frac{1}{4 \mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}</math>

:''See also: [[Dirac equation]], [[Maxwell's equations]], [[Quantum electrodynamics]]''-->

== 数学的定式化 ==
ゲージ理論は、普通、[[微分幾何学]]の言葉で議論される。数学的には、'''ゲージ'''は[[主バンドル]]の（局所）[[断面 (位相幾何学)|切断]]を選ぶことである。'''ゲージ変換'''とは、まさにそのような 2つの切断の間の変換のことである。
<!--== Mathematical formalism ==
Gauge theories are usually discussed in the language of [[differential geometry]]. Mathematically, a ''gauge'' is just a choice of a (local) [[section (fiber bundle)|section]] of some [[principal bundle]]. A '''gauge transformation''' is just a transformation between two such sections.-->

ゲージ理論は（第一に[[素粒子物理学|高エネルギー物理学者]]たちにより主要に研究された）[[接続形式|接続]]の研究により支配されるにもかかわらず、接続のアイデアは一般にはゲージ理論の中心ではない。実際、一般的なゲージ理論は、ゲージ変換の{{仮リンク|アフィン表現|en|affine representation}}(affine representation)（つまり、アフィン[[環上の加群|加群]]が、ある性質を満たす{{仮リンク|ジェットバンドル|en|jet bundle}}(jet bundle)の切断として分類されることを示している。（物理学者は第一種のゲージ変換と呼んでいる）点での共変変換であるような表現が存在して、（物理学者が第二種のゲージ変換と呼んでいるアフィン表現）[[接続形式]]としての変換と [[BFモデル|BF理論]]の B場のようなより一般的な表現である。さらに一般的な{{仮リンク|非線型表現|en|nonlinear realization}}(nonlinear representations)もあるが、極度に複雑である。未だ、[[非線型シグマモデル]]は非線型に変換するので、これへの応用がある。
<!--Although gauge theory is dominated by the study of [[connection form|connections]] (primarily because it's mainly studied by [[high-energy physics|high-energy physicists]]), the idea of a connection is not central to gauge theory in general. In fact, a result in general gauge theory shows that [[affine representation]]s (i.e., affine [[module (mathematics)|modules]]) of the gauge transformations can be classified as sections of a [[jet bundle]] satisfying certain properties. There are representations that transform covariantly pointwise (called by physicists gauge transformations of the first kind), representations that transform as a [[connection form]] (called by physicists gauge transformations of the second kind, an affine representation)—and other more general representations, such as the B field in [[BF theory]]. There are more general [[nonlinear realization|nonlinear representations]] (realizations), but are extremely complicated. Still, [[nonlinear sigma model]]s transform nonlinearly, so there are applications.-->

[[主バンドル]] P の[[ファイバーバンドル]]の[[構造群]]が[[リー群]]であれば、P の切断はゲージ変換群の{{仮リンク|主等質空間|en|principal homogeneous space}}(principal homogeneous space)を形成する。

===接続による定式化===
[[接続形式|接続]]（ゲージ接続）は、主バンドルを定義するので、各々の{{仮リンク|随伴ベクトルバンドル|en|associated vector bundle}}(associated vector bundle)では[[共変微分]] ∇ が存在する。局所座標（切断の局所基底）を選択すると、この共変微分は物理学では'''ゲージポテンシャル'''と呼ばれる[[リー代数]]に値を持つ [[微分形式|1-形式]]である[[接続形式]] A により表現される。これは確かに本質的でないが座標に依存した量である。[[曲率形式]] F は[[リー代数]]に値を持つ [[微分形式|2-形式]]である曲率形式から構成される本質的な量で、
:<math>\mathbf{F}=\mathrm{d}\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math>
である。ここに d は[[外微分]]であり、<math>\wedge</math> は[[ウェッジ積]]である。（<math>\mathbf{A}</math> は、生成子 <math>T^{a}</math> によってはられるベクトル空間の元であり、よって、<math>\mathbf{A}</math> の成分は互いに可換ではない。従って、ウェッジ積 <math>\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math> は 0 とならない。）
<!--If there is a [[principal bundle]] ''P'' whose [[Fibre bundle|base space]] is [[space]] or [[spacetime]] and [[Fibre bundle|structure group]] is a [[Lie group]], then the sections of ''P'' form a [[principal homogeneous space]] of the group of gauge transformations.

[[Connection form|Connection]]s (gauge connection) define this principal bundle, yielding a [[covariant derivative]] ∇ in each [[associated vector bundle]]. If a local frame is chosen (a local basis of sections), then this covariant derivative is represented by the [[connection form]] ''A'', a [[Lie algebra]]-valued [[Differential form|1-form]], which is called the '''gauge potential''' in [[physics]]. This is evidently not an intrinsic but a frame-dependent quantity. The [[curvature form]] ''F'' is constructed from a connection form, a [[Lie algebra]]-valued [[Differential form|2-form]] that is an intrinsic quantity, by

:<math>\mathbf{F}=\mathrm{d}\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math>

where d stands for the [[exterior derivative]] and <math>\wedge</math> stands for the [[wedge product]]. (<math>\mathbf{A}</math> is an element of the vector space spanned by the generators <math>T^{a}</math>, and so the components of <math>\mathbf{A}</math> do not commute with one another. Hence the wedge product <math>\mathbf{A}\wedge\mathbf{A}</math> does not vanish.)-->

無限小ゲージ変換は[[リー代数]]を形成し、[[スカラー (物理学)|スカラー]] ε に値を持つ滑らかなリー代数により特徴付けられる。そのような[[無限小]]ゲージ変換の下に、
:<math>\delta_\varepsilon \mathbf{A}=[\varepsilon,\mathbf{A}]-\mathrm{d}\varepsilon</math>
となる。ここに <math>[\cdot,\cdot]</math> は[[リー代数#リーブラケット|リーブラケット]]である。

素晴らしいことがあり、<math>\delta_\varepsilon X=\varepsilon X</math> であれば、
<math>\delta_\varepsilon DX=\varepsilon DX</math> である。ここに D は共変微分
:<math>DX\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{d}X + \mathbf{A}X</math>
である。

また、<math>\delta_\varepsilon \mathbf{F} = \varepsilon \mathbf{F}</math> である。このことは、<math>\mathbf{F}</math> が共変に変換することを意味する。
<!--Infinitesimal gauge transformations form a [[Lie algebra]], which is characterized by a smooth [[Lie algebra]] valued [[scalar (mathematics)|scalar]], ε. Under such an [[infinitesimal]] gauge transformation,

:<math>\delta_\varepsilon \mathbf{A}=[\varepsilon,\mathbf{A}]-\mathrm{d}\varepsilon</math>

where <math>[\cdot,\cdot]</math> is the [[Lie algebra|Lie bracket]].

One nice thing is that if <math>\delta_\varepsilon X=\varepsilon X</math>, then <math>\delta_\varepsilon DX=\varepsilon DX</math> where D is the covariant derivative

:<math>DX\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathrm{d}X + \mathbf{A}X</math>

Also, <math>\delta_\varepsilon \mathbf{F} = \varepsilon \mathbf{F}</math>, which means <math>\mathbf{F}</math> transforms covariantly.-->

全てではないが、一般に、ゲージ変換は[[無限小]]ゲージ変換により生成される。例として、[[ファイバーバンドル|底空間]]が多様体からリー群への写像が非自明である写像の[[ホモトピー]]類が非自明であるような[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体である。例えば、{{仮リンク|インスタントン|en|instanton}}(instanton)を参照。

===ヤン・ミルズ作用===
ここで、'''ヤン・ミルズ作用'''(Yang–Mills action)は
:<math>\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F\wedge F]</math>
により与えられる。ここに * は[[ホッジ双対]]を表し、積分は[[微分形式]]を使い[[微分幾何学]]的に定義される。

'''ゲージ不変量'''（すなわち、ゲージ変換の下に[[不変性 (物理学)|不変]]である量）は、次の式のように、任意の閉じた経路 γ で定義される[[ウィルソンループ]]である。
:<math>\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)</math>
ここに χ は複素[[群の表現|表現]] ρ の[[群の表現|指標]]であり、<math>\mathcal{P}</math> は経路の向きづけられた作用素を表す。
<!--Not all gauge transformations can be generated by [[infinitesimal]] gauge transformations in general.  An example is when the [[Fibre bundle|base manifold]] is a [[Compact space|compact]] [[manifold]] without [[Boundary (topology)|boundary]] such that the [[homotopy]] class of mappings from that [[manifold]] to the Lie group is nontrivial. See [[instanton]] for an example.

The ''Yang–Mills action'' is now given by

:<math>\frac{1}{4g^2}\int \operatorname{Tr}[*F\wedge F]</math>

where * stands for the [[Hodge dual]] and the integral is defined as in [[differential form|differential geometry]].

A quantity which is '''gauge-invariant''' (i.e., [[Invariant (physics)|invariant]] under gauge transformations) is the [[Wilson loop]], which is defined over any closed path, γ, as follows:

:<math>\chi^{(\rho)}\left(\mathcal{P}\left\{e^{\int_\gamma A}\right\}\right)</math>

where χ is the [[group representation|character]] of a complex [[group representation|representation]] ρ and <math>\mathcal{P}</math> represents the path-ordered operator.-->

==ゲージ場の量子化==
{{main|{{仮リンク|量子ゲージ理論|en|Quantum gauge theory}}(Quantum gauge theory) }}

ゲージ理論は、[[場の量子論]]に適用される方法の特別化により量子化することが可能である。しかし、ゲージ固定(gauge constraint)による微妙な点があるので（上の数学的定式化のパラグラフを参照）、他の場の理論では発生し得ない問題の解決に多くの技術的な問題がある。と同時に、ゲージ理論の豊富な構造により、簡単に計算することができる量になることもあり、例えば、[[ウォード＝高橋恒等式|ウォード・高橋の恒等式]]は、もうひとつ別な[[繰り込み]]定数の定義に結び付いている。
<!--==Quantization of gauge theories==
{{main|Quantum gauge theory}}

Gauge theories may be quantized by specialization of methods which are applicable to any [[quantum field theory]]. However, because of the subtleties imposed by the gauge constraints (see section on Mathematical formalism, above) there are many technical problems to be solved which do not arise in other field theories. At the same time, the richer structure of gauge theories allows simplification of some computations: for example [[Ward identities]] connect different [[renormalization]] constants.-->

===方法と目的===

最初に量子化されたゲージ理論は[[量子電磁力学]](QED)であった。最初の方法は、ゲージ固定し、それから[[正準量子化]]へ適用するという方法であった。{{仮リンク|グプタ・ブロイラーの定式化|label=グプタ・ブロイラー|en|Gupta–Bleuler}}(Gupta–Bleuler)の方法も、この問題を扱うために開発された。非可換ゲージ理論は、今では、多くの方法により扱われている。量子化の方法は、[[量子化 (物理学)|量子化]]の記事で記述されている。

量子化の主要な点は、理論で記述されている様々な過程の[[波動関数#確率振幅|確率振幅]](probability amplitude)を計算することを可能とすることである。テクニカルには、確率振幅は[[真空期待値]]のある[[相関函数]]の計算である。このことは理論の[[繰り込み]]を含んでいる。

理論の[[結合定数 (物理学)|結合定数]]が充分に小さいとき、求めるべき量の全ては[[摂動|摂動論]]により計算することができる。量子化のスキームはそのような計算（[[正準量子化]]）の単純化を意図していて、'''摂動量子化スキーム'''と言われることもある。現在は、これらの方法のからゲージ理論の詳細な実験検証の大半が導かれる。

しかしながら、ほとんどのゲージ理論では、多くの興味のある量は非摂動的である。この問題に適合する（[[格子ゲージ理論]]のような）量子化スキームは、'''非摂動的量子化スキーム'''と呼ばれる。このスキームの詳細な計算は、[[スーパーコンピュータ]]を必要とし、他のスキームよりもうまく開発されているとは言えない。
<!--===Methods and aims===

The first gauge theory quantized was [[quantum electrodynamics]] (QED). The first methods developed for this involved gauge fixing and then applying [[canonical quantization]]. The [[Gupta–Bleuler]] method was also developed to handle this problem. Non-abelian gauge theories are now handled by a variety of means. Methods for quantization are covered in the article on [[quantization (physics)|quantization]].

The main point to quantization is to be able to compute [[probability amplitude|quantum amplitudes]] for various processes allowed by the theory. Technically, they reduce to the computations of certain [[correlation functions]] in the [[vacuum state]]. This involves a [[renormalization]] of the theory.

When the [[running coupling]] of the theory is small enough, then all required quantities may be computed in [[perturbation theory]]. Quantization schemes intended to simplify such computations (such as [[quantization (physics)#Canonical quantization|canonical quantization]]) may be called '''perturbative quantization schemes'''. At present some of these methods lead to the most precise experimental tests of gauge theories.

However, in most gauge theories, there are many interesting questions which are non-perturbative. Quantization schemes suited to these problems (such as [[lattice gauge theory]]) may be called '''non-perturbative quantization schemes'''. Precise computations in such schemes often require [[supercomputing]], and are therefore less well-developed currently than other schemes.-->

===アノマリ===

古典理論の対称性のうちのいくつかは、量子理論では保たれないことが分かる。この現象を'''[[量子異常|アノマリ]]'''と言う。知られているもの列挙すると、
*{{仮リンク|スケールアノマリ|en|scale anomaly}}(scale anomaly)、このアノマリは'''結合定数'''をもたらす。量子電磁力学(QED)では、{{仮リンク|ランダウの極|en|Landau pole}}(Landau pole)の現象をもたらす。[[量子色力学]](QCD)では、[[漸近自由性]]をもたらす。
*{{仮リンク|カイラルアノマリ|en|chiral anomaly}}(chiral anomaly)、フェルミオンのあるカイラル場やベクトル場でのアノマリである。このアノマリは{{仮リンク|インスタントン|en|instanton}}(instanton)の考え方を通して、[[位相幾何学|トポロジー]]と密接な関係を持っている。量子電磁力学では、このアノマリは[[パイ中間子]]の 2個の[[光子]]への崩壊を引き起す。
*{{仮リンク|ゲージアノマリ|en|gauge anomaly}}(gauge anomaly)、全ての整合性のある物理理論でキャンセルされるべきアノマリである。[[電弱理論]]では、このキャンセルは、[[クォーク]]と[[レプトン (素粒子)|レプトン]]の数が等しいことを要求する。<!--===Anomalies===
Some of the symmetries of the classical theory are then seen not to hold in the quantum theory; a phenomenon called an '''[[anomaly (physics)|anomaly]]'''. Among the most well known are:
*The [[scale anomaly]], which gives rise to a ''running coupling constant''. In QED this gives rise to the phenomenon of the [[Landau pole]]. In [[Quantum Chromodynamics]] (QCD) this leads to [[asymptotic freedom]].
*The [[chiral anomaly]] in either chiral or vector field theories with fermions. This has close connection with [[topology]] through the notion of [[instanton]]s. In QCD this anomaly causes the decay of a [[pion]] to two [[photon]]s.
*The [[gauge anomaly]], which must cancel in any consistent physical theory. In the [[electroweak theory]] this cancellation requires an equal number of [[quark]]s and [[lepton]]s.--><!--
==ピュアゲージ==
ピュアゲージは、ヌル場構成上の[[#古典的ゲージ変換|ゲージ変換]]のから得られる場の構成の集合のことを言う。従って、場の構成空間に特別な「ゲージ軌道」である。

アーベル的な場合は、<math>A_\mu (x) \rightarrow A'_\mu(x) = A_\mu(x)+ \partial_\mu f(x)</math> とすると、ピュアゲージは、全ての f(x) に対して、場の構成 <math>A'_\mu(x) = \partial_\mu f(x)</math> の集合である。-->
<!--==Pure gauge==
A pure gauge is the set of field configurations obtained by a [[gauge transformation]] on the null field configuration. So it is a particular "gauge orbit" in the field configuration's space.

In the abelian case, where <math>A_\mu (x) \rightarrow A'_\mu(x) = A_\mu(x)+ \partial_\mu f(x)</math>, the pure gauge is the set of field configurations <math>A'_\mu(x) = \partial_\mu f(x)</math> for all ''f''(''x'').-->

== 大域対称性 ==
物理学で、'''大域対称性'''(global symmetry)とは、点から点への移動により変換する[[#局所対称性|局所対称性]]とは対照的に、[[時空]]の全ての点で保たれる[[対称性 (物理学)|対称性]]である。

'''大域対称性は、[[力 (物理学)|力]]ではなく、[[保存則]]を要求する'''。
<!--== global symmetry ==
In physics, a '''global symmetry''' is a [[symmetry in physics#Local and global symmetries|symmetry]] that holds at all points in the [[spacetime]] under consideration, as opposed to a [[local symmetry]] which varies from point to point.

Global symmetries require [[Conservation law (physics)|conservation law]]s, but not [[forces]], in physics.-->

=== 例 ===
大域対称性の例としては、(<math>\theta</math> を定数としたときに、大域的変換となる)ディラックのラグランジアン：
::<math>\mathcal{L}_D = \bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi</math>
への群 <math>U(1)=e^{iq\theta}</math> の作用がある。

この変換の下では波動函数は、<math>\psi\rightarrow e^{iq\theta}\psi</math> and <math>\bar{\psi}\rightarrow e^{-iq\theta}\bar{\psi}</math> として変換し、
::<math>\mathcal{L}\rightarrow\bar{\mathcal{L}}=e^{-iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)e^{iq\theta}\psi=e^{-iq\theta}e^{iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi=\mathcal{L}</math>
となる。
<!--An example of a global symmetry is the action  of the <math>U(1)=e^{iq\theta}</math> (for <math>\theta</math> a constant - making it a global transformation) group on the Dirac Lagrangian:

::<math>\mathcal{L}_D = \bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi</math>

Under this transformation the wavefunction changes as <math>\psi\rightarrow e^{iq\theta}\psi</math> and <math>\bar{\psi}\rightarrow e^{-iq\theta}\bar{\psi}</math> and so:

::<math>\mathcal{L}\rightarrow\bar{\mathcal{L}}=e^{-iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)e^{iq\theta}\psi=e^{-iq\theta}e^{iq\theta}\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu \partial_\mu-m\right)\psi=\mathcal{L}</math>-->

== 局所対称性 ==
物理学では、'''局所対称性'''(local symmetry)とは、滑らかな基礎[[多様体]]上の点によって、何らかの物理量の[[対称性 (物理学)|対称性]]を持つことである。そのような量の例は、理論の[[観測可能量]]、[[テンソル]]、[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]である。この意味で対称性が局所的ならば、局所ゲージ変換を適用することができる。局所ゲージ変換は、[[対称群]]の[[表現論|表現]]が多様体上の函数であり、従って時空の異なる点では異なって作用するように取ることができることを意味する。

[[微分同相]]群は、定義により局所対称性であり、全ての幾何学的、より一般には共変な理論（すなわち、[[一般相対論]]のように、理論の方程式が[[テンソル|テンソル方程式]]となる）は局所対称性を持つ。

局所対称性という言葉は、特に[[ヤン＝ミルズ理論|ヤン・ミルズ理論]]では局所ゲージ対称性と結び付いている（[[標準模型]]も参照）。そこでは、ラグランジアンがあるコンパクト[[リー群]]の下に局所的に対称である。局所ゲージ対称性は[[光子]]や[[グルーオン|グルオン]]のような[[ボース粒子|ボゾン]]のゲージ場を持っている。'''局所対称性は、常に[[保存則]]に加えて、[[力 (物理学)|力]]を導く'''。<ref>{{cite book | last=Kaku | first=Michio | title=Quantum Field Theory: A Modern Introduction | year=1993 | location=New York | publisher=Oxford University Press | isbn=0-19-507652-4}}</ref>
<!--== local symmetry ==
In [[physics]], a '''local symmetry''' is [[symmetry]] of some physical quantity, which smoothly depends on the point of the base [[manifold]]. Such quantities can be for example an [[observable]], a [[tensor]] or the [[Lagrangian]] of a theory.
If a symmetry is local in this sense, then one can apply a local transformation (resp. local [[gauge theory|gauge]] transformation), which means that the [[Representation (mathematics)|representation]] of the [[symmetry group]] is a function of the manifold and can thus be taken to act differently on different points of spacetime.

The [[diffeomorphism]] group is by definition a local symmetry and thus every geometrical or generally covariant theory (i.e. a theory whose equations are [[tensor equations]], for example [[general relativity]]) has local symmetries.

Often the term local symmetry is specifically associated with local [[gauge symmetry|gauge symmetries]] in [[Yang–Mills theory]] (see also [[standard model]]) where the [[Lagrangian]] is locally symmetric under some compact [[Lie group]]. Local gauge symmetries always come together with some [[bosonic]] gauge fields, like the [[photon]] or [[gluon]] field, which induce a [[force]] in addition to requiring [[Conservation law (physics)|conservation law]]s.<ref>{{cite book | last=Kaku | first=Michio | title=Quantum Field Theory: A Modern Introduction | year=1993 | location=New York | publisher=Oxford University Press | isbn=0-19-507652-4}}</ref>-->

===例===
* [[一般相対論]]は[[重力]]を生成すると考えられる局所対称性を持っている（[[一般共変性]](general covariance)、[[微分同相]]。<ref>{{Cite book | last1 = Misner | first1 = Charles W. | last2 = Thorne | first2 =  Kip S. | last3 = Wheeler | first3 = John Archibald | title = Gravitation | publisher = W. H. Freeman | location = San Francisco | date = 1973-09-15 | isbn = 978-0-7167-0344-0 | postscript = <!--None--> }}</ref> [[特殊相対論]]は大域対称性しかもたない（[[ローレンツ変換|ローレンツ対称性]]、あるいはより一般的に[[ポアンカレ群|ポアンカレ対称性]]）。
* [[素粒子物理学]]では、多くの大域対称性（例：[[アイソスピン]]の対称性の[[SU(2)]]）と、局所対称性（例：[[弱い相互作用]]の[[SU(2)]]）がある。素粒子物理学の[[標準模型]]は[[ヤン・ミルズ理論]]から構成される。
* [[超重力理論]]の対称群は局所対称性であり、一方、[[超対称性]]は大域対称性である。
<!--==Examples==
* [[General relativity]] has a local symmetry ([[general covariance]], [[diffeomorphism]]s) which can be seen as generating the [[gravitational force]].<ref>{{Cite document | last1 = Misner | first1 = Charles W. | last2 = Thorne | first2 =  Kip S. | last3 = Wheeler | first3 = John Archibald | title = Gravitation | publisher = W. H. Freeman | location = San Francisco | date = 1973-09-15 | isbn = 978-0-7167-0344-0 | postscript = }}</ref> [[Special relativity]] only has a global symmetry ([[Lorentz symmetry]] or more generally [[Poincaré symmetry]])
* There are many global symmetries (such as [[SU(2)]] of [[isospin]] symmetry) and local symmetries (like [[SU(2)]] of [[weak interactions]]) in [[particle physics]]. The [[standard model]] of particle physics consists of [[Yang–Mills theory|Yang-Mills Theories]]
* The symmetry group of [[Supergravity]] is a local symmetry, whereas [[supersymmetry]] is a global symmetry-->

== 脚注 ==
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
=== 論文 ===
* {{Cite journal|author=[[ヘルマン・ワイル|H. Weyl]]|title=Gravitation and electricity|journal=Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math. Phys.)|volume=1918|pages=465|year=1918|ref=weyl 1918}}
* {{Cite journal|author=[[ヘルマン・ワイル|H. Weyl]]|title=Electron and Gravitation. 1. (In German)|journal=Z. Phys.|volume=56|pages=330|year=1929|ref=weyl 1929}}
* {{Cite journal|author=[[ヴォルフガング・パウリ|W. Pauli]]|title=Relativistic Field Theories of Elementary Particles
|journal=Rev. Mod. Phys.|volume=13|pages=203|year=1941|doi=10.1103/RevModPhys.13.203|ref=pauli}}
* {{Cite journal|author=C. -N. Yang and R. L. Mills|title=Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance|journal=Phys. Rev.|volume=96|pages=191|year=1954|doi=10.1103/PhysRev.96.191|ref=yang}}
* {{Cite journal|author=R. Utiyama|title=Invariant Theoretical Interpretation of Interaction|journal=Phys. Rev.|volume=101
|pages=1597|year=1956|doi=10.1103/PhysRev.101.159|ref=yang}}
* {{Cite journal |year=1997 |arxiv=hep-ph/9705211 |title= Introduction to Gauge Theories |last1=Becchi | first1=C.|bibcode = 1997hep.ph....5211B |page=5211 }}
* {{Cite web |last=Gross |first=D. |authorlink=David Gross |year=1992 |url=http://psroc.phys.ntu.edu.tw/cjp/v30/955.pdf |title=Gauge theory – Past, Present and Future|accessdate=2009-04-23}}
* {{Cite journal |doi=10.1119/1.1491265 |arxiv=physics/0204034 |title=From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations |last1=Jackson | first1=J.D. |year=2002 |journal=Am.J.Phys |volume=70 |pages= 917–928 |bibcode = 2002AmJPh..70..917J |issue=9 }}
* {{Cite journal |year=1999 |arxiv=math-ph/9902027 |title=Preparation for Gauge Theory |last1=Svetlichny |first1=George|bibcode = 1999math.ph...2027S |pages=2027 }}

=== 書籍 ===
* {{Cite book|和書|author=[[内山龍雄]]|title=一般ゲージ場論序説|year=1987|publisher=[[岩波書店]]|isbn=4-00-005040-0|ref=utiyama}}
* {{Cite book|author = Lochlainn O'Raifeartaigh|title = The dawning of gauge theory|year = 1997|publisher = Princeton University Press|series = Princeton series in physics|isbn = 0691029784|page = }}
* Schumm, Bruce (2004) ''Deep Down Things''. Johns Hopkins University Press. Esp. chpt. 8. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the [[Standard Model]] with little formal mathematics.

=== 教科書 ===
* L.D. Faddeev and A.A. Slavnov (1980): ''Gauge Fields: An Introduction to Quantum Theory'', Benjamin/Cummings, ISBN 0-80539016-2. 
**　第2版は，Westview Press，ISBN 978-0-20140634-4 (1991)。
* {{Cite book |last=Bromley |first=D.A. |title=Gauge Theory of Weak Interactions |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |year=2000 |isbn=3-540-67672-4}}
* {{Cite book |first1=T.-P. |last1=Cheng |first2=L.-F. |last2=Li |title=Gauge Theory of Elementary Particle Physics |publisher=[[Oxford University Press]] |year=1983 |isbn=0-19-851961-3 }}
* {{Cite book |last=Frampton |first=P. |authorlink=Paul Frampton |title=Gauge Field Theories |edition=3rd |publisher=[[Wiley-VCH]] |year=2008 |isbn=}}
* {{Cite book |last=Kane |first=G.L. |title=Modern Elementary Particle Physics |publisher=Perseus Books |year=1987 |isbn=0-201-11749-5}}

== 関連項目 ==
{{Refbegin|2}}
* [[一般相対性理論]]
* [[量子電磁力学]]
* [[場の量子論]]
* [[ヤン＝ミルズ理論]]（強い相互作用の理論）
* [[ワインバーグ＝サラム理論]]（電弱統一理論）
* [[対称性の自発的破れ]]
* [[量子色力学]]（強い力の理論）
* [[アティヤ＝シンガーの指数定理]]
* [[ファデエフ＝ポポフゴースト]]
* [[ゲージ原理<!-- ループリンク -->]](Gauge principle)<!--現在は｢ゲージ理論｣、自分自身へのリンクとなっている-->
* [[アハラノフ＝ボーム効果]]
* [[電磁ポテンシャル#クーロンゲージ|クーロンゲージ]](Coulomb gauge)<!--確かにこのリンクでよいのだが、ゲージ固定との脈絡での記事を期待している-->
* [[電弱相互作用|電弱理論]](Electroweak theory)
* {{仮リンク|ゲージ共変微分|en|Gauge covariant derivative}}(Gauge covariant derivative)
* {{仮リンク|ゲージ固定|en|Gauge fixing}}(Gauge fixing)
* {{仮リンク|ゲージ重力理論|en|Gauge gravitation theory}}(Gauge gravitation theory)
* [[ゲージ群]]<!--gauge group (mathematics)の内容が期待されている-->
* [[カルツァ＝クライン理論]]
* [[リー代数]]
* [[リー群]]
* {{仮リンク|ローレンツゲージ条件|label=ローレンツゲージ|en|Lorenz gauge}}(Lorenz gauge)
* [[量子色力学]]
* {{仮リンク|グルーオン場|en|Gluon field}}(Gluon field)
* {{仮リンク|グルーオン場の強さテンソル|en|Gluon field strength tensor}}(Gluon field strength tensor)
* [[量子電磁力学|量子電磁気学]]
* [[電磁ポテンシャル]]
* [[電磁テンソル]]
* [[場の量子論]]
* {{仮リンク|量子ゲージ理論|en|Quantum gauge theory}}(Quantum gauge theory)
* [[標準模型|標準モデル]]
* [[標準模型|標準モデル (数学的定式化)]](Standard Model (mathematical formulation))
* [[対称性の破れ]]
* [[対称性 (物理学)]]
* {{仮リンク|量子力学の対称性|en|Symmetry in quantum mechanics}}(Symmetry in quantum mechanics)
* [[ウォード＝高橋恒等式|ウォードの恒等式]]
* [[ヤン＝ミルズ理論]]
* [[ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題]]
* [[:en:1964 PRL symmetry breaking papers|1964 PRL 対称性の破れの論文]]
{{Refend|2}}

== 外部リンク ==
* {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories |title=Gauge theories |date=20080917133810}} - [[スカラーペディア]]百科事典「ゲージ理論」の項目。
* {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_invariance |title=Gauge invariance |date=20081012113933}} - 同「ゲージ不変性」の項目。
* {{SpringerEOM|title=Gauge transformation|urlname=Gauge_transformation}}
* [https://web.archive.org/web/20170706193615/http://wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/Yang-Mills Yang–Mills equations on DispersiveWiki]
* [http://www.scholarpedia.org/article/Gauge_theories Gauge theories on Scholarpedia]

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:けえしりろん}}
[[Category:ゲージ理論|*]]
[[Category:場の量子論]]
[[Category:素粒子物理学]]
[[Category:対称性]]
[[Category:理論物理学]]
[[Category:時空]]
[[Category:微分幾何学]]