コットンテンソルのソースを表示

{{要改訳}}
[[微分幾何学]]では n 次元（擬）リーマン多様体上の'''コットンテンソル'''({{lang-en-short|Cotton tensor}})は、{{仮リンク|ワイルテンソル|en|Weyl curvature}}のように、[[計量テンソル|計量]]に伴う3階の[[テンソル|テンソル場]]である。n ≥ 4 のときのワイルテンソルがそうである（多様体が共形平坦となることと同値）ように、n = 3 の場合には、コットンテンソルがゼロになることと、多様体が{{仮リンク|共形平坦|en|conformally flat}}であることとは同値である。n < 3 に対し、コットンテンソルは恒等的にゼロである。この命名は{{仮リンク|エミール・コットン|en|Émile Cotton}}にちなんでいる。

n&nbsp;=&nbsp;3 の場合のコットンテンソルがゼロとなることと計量が共形平坦となるという古典的な結果の証明は、{{仮リンク|アイゼンハルト|en|Luther P. Eisenhart}}により標準的な{{仮リンク|可積分性|en|Integrable system}}の議論をもちいてなされた。この{{仮リンク|テンソル密度|en|tensor density}}は、任意の計量に対して微分可能であるという要求と結びついた共形性という性質により一意に特徴づけられることが、{{Harv|Aldersley|1899}}により示された。

最近、3-次元空間の研究では非常に注目されている。その理由は、コットンテンソルは[[アインシュタイン方程式]]の中で物質の[[エネルギー・運動量テンソル]]と[[リッチテンソル]]の間の関係を制限し、[[一般相対論]]の[[ハミルトン力学|ハミルトニアン定式化]]で重要な役割を果たすからである。

== 定義 ==

座標を使って R<sub>ij</sub> で[[リッチテンソル]]を表し、R で[[スカラー曲率]]を表すと、コットンテンソルの成分は、

:<math>C_{ijk} = \nabla_{k} R_{ij} - \nabla_{j} R_{ik} + \frac{1}{2(n-1)}\left( \nabla_{j}Rg_{ik} -  \nabla_{k}Rg_{ij}\right).</math>

となる。コットンテンソルは[[微分形式|2-形式]]に値を持つベクトルとみなすことができ、n&nbsp;=&nbsp;3 に対しては[[ホッジスター|ホッジスター作用素]]を使い、これを2階のトレースがゼロとなる自由テンソル密度

:<math>C_i^j = \nabla_{k} \left( R_{li} - \frac{1}{4} Rg_{li}\right)\epsilon^{klj},</math>

へ変換することができる。これを'''コットン・ヨークテンソル'''と呼ぶこともある。

== 性質 ==
===共形スケーリング===
あるスカラー函数 <math>\omega</math> が存在して、計量 <math>\tilde{g} = e^{2\omega} g</math> の共形スケーリングの下では、[[クリストッフェル記号]]は次のように変換する。

:<math>\widetilde{\Gamma}^{\alpha}_{\beta\gamma}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\gamma}+S^{\alpha}_{\beta\gamma}</math>

ここに <math>S^{\alpha}_{\beta\gamma}</math> は

:<math>S^{\alpha}_{\beta\gamma} = \delta^{\alpha}_{\gamma} \partial_{\beta} \omega + \delta^{\alpha}_{\beta} \partial_{\gamma} \omega - g_{\beta\gamma} \partial^{\alpha} \omega</math>

のテンソルである。[[リーマン曲率テンソル]]は次のように変換される。

:<math>{\widetilde{R}^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}={R^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}+\nabla_{\alpha}S^{\lambda}_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}S^{\lambda}_{\alpha\mu}+S^{\lambda}_{\alpha\rho}S^{\rho}_{\beta\mu}-S^{\lambda}_{\beta\rho}S^{\rho}_{\alpha\mu}</math>

<math>n</math> -次元多様体では、[[リッチテンソル]]は縮約したRiemannテンソルで表すことで、次の式になることが分かる。

:<math>{\widetilde{R}^{\lambda}}{}_{\mu\alpha\beta}={R^{\lambda}}_{\mu\alpha\beta}+\nabla_{\alpha}S^{\lambda}_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}S^{\lambda}_{\alpha\mu}+S^{\lambda}_{\alpha\rho}S^{\rho}_{\beta\mu}-S^{\lambda}_{\beta\rho}S^{\rho}_{\alpha\mu}</math>

同様に、リッチスカラー（スカラー曲率）は次のように変換される。

:<math>\widetilde{R}=e^{-2\omega}R-2e^{-2\omega}(n-1)\nabla^{\alpha}\partial_{\alpha}\omega-(n-2)(n-1)e^{-2\omega}\partial^{\lambda}\omega\partial_{\lambda}\omega</math>

これらの事実を互いに組み合わせると、コットン・ヨークテンソルは次のように変換されると結論づけられる。

:<math>\widetilde{C}_{\alpha\beta\gamma}=C_{\alpha\beta\gamma}+(n-2)\partial_{\lambda}\omega {W_{\beta\gamma\alpha}}^{\lambda}</math>

あるいは、座標とは独立な記述をするならば、

:<math> \tilde{C} = C \; + \; \operatorname{grad} \, \omega \; \lrcorner \; W,</math>

となる。右辺の勾配(gradient)の部分は{{仮リンク|ワイルテンソル|en|Weyl tensor}} &nbsp;W の対称性を保つ部分との内積を取ることを意味する。

===対称性===
コットンテンソルは対称性

:<math>C_{ijk} = - C_{ikj} \, </math>

を持ち、従って、

:<math>C_{[ijk]} = 0. \, </math>

となる。加えて、ワイルテンソルについてのビアンキ公式は次のように書くことができる。

:<math>\delta W = (3-n) C, \, </math>

ここに <math>\delta</math> は W の第一成分の正の発散(divergence)である。

== 脚注 ==
<references/>

==参考文献==
{{reflist}}
*{{Cite journal |first=S. J. |last=Aldersley |title=Comments on certain divergence-free tensor densities in a 3-space |journal=[[Journal of Mathematical Physics]] |volume=20 |issue=9 |pages=1905–1907 |year=1979 |doi=10.1063/1.524289 |bibcode = 1979JMP....20.1905A }}
*{{Cite book |first=Yvonne |last=Choquet-Bruhat |authorlink=Yvonne Choquet-Bruhat|title=General Relativity and the Einstein Equations |publisher=[[オックスフォード大学出版局|Oxford University Press]] |location=Oxford, England |year=2009 |isbn=978-0-19-923072-3 }}
*{{Cite journal |first=É. |last=Cotton |authorlink=Émile Cotton|title=Sur les variétés à trois dimensions |journal=[[Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse]] |series=II |volume=1 |issue=4 |pages=385–438 |year=1899 |url=http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=AFST_1899_2_1_4_385_0 }}
*{{Cite book |first=Luther P. |last=Eisenhart|authorlink=Luther Eisenhart |title=Riemannian Geometry |publisher=[[Princeton University Press]] |location=Princeton, NJ |origyear=1925 |year=1977 |isbn=0-691-08026-7 }}
* A. Garcia, F.W. Hehl, C. Heinicke, A. Macias (2004) "The Cotton tensor in Riemannian spacetimes", [[Classical and Quantum Gravity]] 21: 1099–1118, Eprint [https://arxiv.org/abs/gr-qc/0309008 arXiv:gr-qc/0309008]

{{tensors}}

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