コッホ曲線のソースを表示

'''コッホ曲線'''（コッホきょくせん、{{lang-en-short|Koch curve}}）は[[フラクタル]]図形の一つ。スウェーデンの数学者[[ヘルゲ・フォン・コッホ]] (Helge von Koch) が考案した{{Sfn|井庭・福原|1998|p=37}}。[[線分]]を3等分し、分割した2点を[[頂点]]とする[[正三角形]]の作図を無限に繰り返すことによって得られる図形である。1回の操作で線分の長さが {{Math|{{Sfrac|4|3}}}} 倍になるので、操作を無限に繰り返して得られるコッホ曲線の長さは[[無限|無限大]]である{{Sfn|本田|2013|p=9}}。[[高木曲線]]などと同様に、[[連続 (数学)|連続]]でありながら至るところで[[微分]]不可能な曲線である{{Sfn|本田|2013|p=8}}。

コッホ曲線は[[図形の相似|相似]]比が {{Math|{{Sfrac|1|3}}}} の4個の[[セグメント]]から成っているので、[[フラクタル次元]]（相似次元）は、{{Math|3}} を底とする {{Math|4}} の対数({{Math|log}}を必ずしも[[自然対数]]である必要はない任意の対数として、{{Math|{{Sfrac|log&thinsp;4|log&thinsp;3}} {{=}} 1.2618595...}}[[次元]])である<ref>{{cite book ja-jp |author=Steven H. Strogatz |translator=田中久陽・中尾裕也・千葉逸人 |title=ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで |publisher=丸善出版 |year=2015 |isbn=978-4-621-08580-6 | page=444}}</ref>。({{OEIS2C|A100831}})

== コッホ曲線の作成手順 ==
[[File:How to make Koch curve.svg|center]]
#線分を引く。（ステップ0、図左上）
#線分を3等分し、中央の線分を1辺とする正三角形を描き、下の辺を消す。（ステップ1、図右上）
#得られた4の線分に対して同じ操作を繰り返す。（ステップ2、図左下）
#得られた16の線分に対して同じ操作を繰り返す。（ステップ3、図右下）

この操作を無限に繰り返すとコッホ曲線になる。以下はステップ6まで行ったときの図形である。
[[File:Koch_curve.svg|center|700px|ステップ6時点での図形]]

== コッホ雪片 ==
[[File:Von Koch curve.gif|thumb|ステップ6までを示すアニメーション。]]
'''コッホ雪片'''（コッホせっぺん、{{lang-en-short|Koch snowflake}}）は、上記のコッホ曲線を3つ繋ぎ合わせ、始点と終点を一致させたものである{{Sfn|井庭・福原|1998|p=38}}。'''コッホ島'''などとも呼ぶ{{Sfn|本田|2013|p=9}}。

コッホ曲線は無限の長さを持つので、同様にコッホ雪片の[[周長]]も無限の長さを持つ。一方で、コッホ雪片の曲線で囲まれた[[面積]]は有限に留まる。最初の正三角形の面積を {{Math|1}} とするとコッホ雪片の面積は {{Math|1.6}} に収束する{{Sfn|本田|2013|p=9}}。

== コンピュータによる生成 ==
コッホ曲線は、[[アフィン写像|アフィン変換]]を使用することで得られ、
:<math>
f(x,y) = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix}
</math>

以下の4つの[[反復関数系]](IFS)で表わされる<ref>{{Cite web|title=Koch Curve|url=http://larryriddle.agnesscott.org/ifs/kcurve/kcurve.htm|website=larryriddle.agnesscott.org|accessdate=2020-02-18}}</ref>。

* {{Sfrac|1|3}} でスケーリングする変換式
:<math>
f_1(x,y) = \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{3} & \ 0 \ \\ 0 & \ \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ x \\ y \end{bmatrix}
</math>

* {{Sfrac|1|3}} でスケーリングし、{{Math|60°}}回転させる変換式
:<math>
f_2(x,y) = \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{6} & \ -\dfrac{\sqrt{3}}{6} \ \\ \dfrac
{\sqrt{3}}
{6} & \ \dfrac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{3} \\ 0 \end{bmatrix}
</math>

* {{Sfrac|1|3}} でスケーリングし、{{Math|-60°}}回転させる変換式
:<math>
f_3(x,y) = \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{6} & \ \dfrac{\sqrt{3}}{6} \ \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{6} & \ \dfrac{1}{6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{6} \end{bmatrix}
</math>

* {{Sfrac|1|3}} でスケーリングする変換式
:<math>
f_4(x,y) = \begin{bmatrix} \ \dfrac{1}{3} & \ 0 \ \\ 0 & \ \dfrac{1}{3 }\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \ \dfrac{2}{3} \\ 0 \end{bmatrix}
</math>

反復関数 {{Math|''ƒ''(''x'',&nbsp;''y'')}} は、{{Math|a''x''+b''y''+e, c''x''+d''y''+f}} の式で展開できるので、計算式は以下のように表される。

{{Math|''ƒ''<sub>1</sub>}}
:{{Math|''x'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/3) ''x'' <sub>''n''</sub>}}
:{{Math|''y'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/3) ''y'' <sub>''n''</sub>}}

{{Math|''ƒ''<sub>2</sub>}}
:{{Math| ''x'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/6) ''x'' <sub>''n''</sub> −(√3/6) ''y'' <sub>''n''</sub> ''+'' 1/3}}
:{{Math| ''y'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (√3/6) ''x'' <sub>''n''</sub> + (1/6) ''y'' <sub>''n''</sub>}}

{{Math|''ƒ''<sub>3</sub>}}
:{{Math|''x'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/6) ''x'' <sub>''n''</sub> + (√3/6) ''y'' <sub>''n''</sub> ''+'' 1/2}}
:{{Math| ''y'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} −(√3/6) ''x'' <sub>''n''</sub> &nbsp;+ (1/6) ''y'' <sub>''n''</sub> + (√3/6)}}

{{Math|''ƒ''<sub>4</sub>}}
:{{Math| ''x'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/3) ''x'' <sub>''n''</sub> + 2/3}}
:{{Math| ''y'' <sub>''n'' + 1</sub> {{=}} (1/3) ''y'' <sub>''n''</sub>}}

これらの反復関数を各種プログラム言語（[[C言語|C]], [[Python]], [[BASIC|Basic]]など）でプログラミングし、順次反復計算させ、コッホ曲線を描画させることが可能である<ref>{{Cite web|title=Koch curve - Rosetta Code|url=https://rosettacode.org/wiki/Koch_curve|website=rosettacode.org|accessdate=2020-02-18}}</ref>。

また、下表のように各反復関数の確率因子を設定<ref>{{Cite web|title=ifs|url=https://cs.lmu.edu/~ray/notes/ifs/|website=cs.lmu.edu|accessdate=2020-02-18}}</ref>しておき、コンピューターで[[乱数列|乱数]]を発生させ、確率因子pに応じた乱数範囲で用いる関数を決定し、計算を反復的に実行することでも、コッホ曲線を描画させることができる。これはランダム・アルゴリズムと呼ばれる手法である<ref name="Fractals">[https://wwwf.imperial.ac.uk/~jswlamb/M345PA46/%5BB%5D%20chap%20IX.pdf p370,"8 Application to Computer Graphics", Fractals Everywhere], Boston, MA: Academic Press, 1993, {{ISBN2|0-12-079062-9}}</ref><ref>{{Cite web|title=Fractal Geometry|url=http://www.math.union.edu/~framem/AprilWorkshop/IFS/RandIFS/RandIFS.html|website=www.math.union.edu|accessdate=2020-02-18}}</ref>。
{| class="wikitable" style="text-align: right;"
!''w''
! a
! b
! c
! d
! e
! f
! p
! 変換内容
|-
|''<sub>ƒ1</sub>''
| 1/3
| 0
| 0
| 1/3
| 0
| 0
| 0.25
| style="text-align: left;" | 1/3にスケーリング
|-
|''<sub>ƒ2</sub>''
| 1/6
|  -√3/6
| √3/6
| 1/6
| 1/3
| 0
| 0.25
| style="text-align: left;" | 1/3にスケーリング、60°回転
|-
|''<sub>ƒ3</sub>''
| 1/6
| √3/6
|  -√3/6
| 1/6
| 1/2
| √3/6
| 0.25
| style="text-align: left;" | 1/3にスケーリング、-60°回転
|-
|''<sub>ƒ4</sub>''
| 1/3
| 0
| 0
| 1/3
| 2/3
| 0
| 0.25
| style="text-align: left;" | 1/3にスケーリング
|}
以下のように表計算ソフトの関数を利用することでも同様の計算を実行できる。
[[File:Koch curve02.jpg|thumb|表計算ソフトで作成したコッホ曲線、1万のXYデータの散布図|300px]]
{| class="wikitable" style="text-align:center; width:60%"
!
!A
!B
!C
!D
!E
!F
!G
!H
|- style="background-color:#dfd"
!1
|w
|a
|b
|c
|d
|e
|f
|p
|- style="text-align:center"
!2
| style="background-color:#dfd" |ƒ1
|0.3333
|0
|0
|0.3333
|0
|0
|0.25
|- style="text-align:center"
!3
| style="background-color:#dfd" |ƒ2
|0.1667
| -0.2887
|0.2887
|0.1667
|0.3333
|0
|0.25
|- style="text-align:center"
!4
| style="background-color:#dfd" |ƒ3
|0.1667
|0.2887
| -0.2887
|0.1667
|0.5
|0.2887
|0.25
|- style="text-align:center"
!5
| style="background-color:#dfd" |ƒ4
|0.3333
|0
|0
|0.3333
|0.6667
|0
|0.25
|- style="text-align:center; background-color:#fdd"
!6
|random
|ƒ
|X
|Y
|
|
|
|
|- style="text-align:center"
!7
|
|
|0
|0
|←initial
|
|
|
|- style="text-align:center"
!8
|=RAND()
|B8
|C8
|D8
|←data
|
|
|
|}
なお、B8,C8,D8のセルには以下のような複数条件判定の関数([[ネスティング]]参照)を入力する。

* B8=IF(A8<($H$2),1,IF(A8<($H$2+$H$3),2,IF(A8<($H$2+$H$3+$H$4),3,4)))
* C8=IF(B8=1,$B$2*C7+$C$2*D7+$F$2,IF(B8=2,$B$3*C7+$C$3*D7+$F$3,IF(B8=3,$B$4*C7+$C$4*D7+$F$4,$B$5*C7+$C$5*D7+$F$5)))
* D8=IF(B8=1,$D$2*C7+$E$2*D7+$G$2,IF(B8=2,$D$3*C7+$E$3*D7+$G$3,IF(B8=3,$D$4*C7+$E$4*D7+$G$4,$D$5*C7+$E$5*D7+$G$5)))

最終8行目をオートフィルで適当な行数だけコピーし、XY散布図とするとコッホ曲線が得られる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

==参考文献==
*{{cite book ja-jp 
|author=本田勝也
|title=フラクタル
|series=シリーズ 非線形科学入門1
|publisher=[[朝倉書店]]
|year=2002（第8刷2013）
|edition=初版第8刷
|isbn=978-4-254-11611-3
|ref={{Sfnref|本田|2013}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 井庭崇・福原義久
|year= 1998（第19刷2013）
|title = 複雑系入門―知のフロンティアへの冒険
|publisher = [[NTT出版]]
|edition=初版第19刷
|isbn = 4-87188-560-7
|ref={{Sfnref|井庭・福原|1998}}
}}

==関連項目==
*[[ヒルベルト曲線]]
*[[病的な (数学)]]
*[[ワイエルシュトラス関数]]

==外部リンク==
{{Commons|Koch curve}}
{{Commons|Koch snowflake|コッホ雪片}}
*{{MathWorld|title=Koch Snowflake|urlname=KochSnowflake}}

{{Fractals}}
{{DEFAULTSORT:こつほきよくせん}}
[[Category:曲線]]
[[Category:フラクタル]]
[[Category:フラクタル曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]