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[[数学]]において、'''コバノフホモロジー'''({{lang-en-short|Khovanov homology}})は、[[鎖複体]]の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]としてできる向きづけられた[[結び目理論|結び目]]の不変量である。コバノフホモロジーは[[ジョーンズ多項式]]の{{仮リンク|カテゴリ化|en|categorification}}として考えられる。

コバノフホモロジーは1990年代の終わりに、{{仮リンク|ミハイル・コバノフ|en|Mikhail Khovanov}}(Mikhail Khovanov)により導入された。彼は当時は[[カリフォルニア大学デービス校]]に在籍しており、現在は[[コロンビア大学]]に所属している。

==概要==
[[結び目理論|結び目もしくは絡み目]] L を表現する図形 D に、'''コバノフ括弧''' '''<nowiki>[</nowiki>'''D'''<nowiki>]</nowiki>'''、これは[[次数付きベクトル空間]]の[[鎖複体]]、を割り当てる。すると、[[ジョーンズ多項式]]の構成の中での[[ブラケット多項式|カウフマン括弧]]の類似物となる。次に、'''<nowiki>[</nowiki>'''D'''<nowiki>]</nowiki>''' を（次数付きベクトル空間の中の）一連の次数シフトと（鎖複体の中の）高さシフトにより正規化して、新しい複体 '''C'''(D) を得る。この複体の[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]は L の[[不変量]]であることが分かり、その次数付き[[オイラー標数]]は L のジョーンズ多項式であることが分かる。

==定義==
(以下の定義は{{仮リンク|ドロール・バー-ナタン|en|Dror Bar-Natan}}(Dror Bar-Natan)の論文に沿う。)

[[次数付きベクトル空間]]の上の'''次数シフト''' 作用素を {l} で表す；すなわち、m 次元内の同次成分は、&nbsp;m&nbsp;+&nbsp;l へシフトする。

同様にして、鎖複体の上の '''高さシフト''' 作用素を<nowiki>[</nowiki>s<nowiki>]</nowiki> と表す。つまり、r 番目の[[ベクトル空間]] もしくは [[環上の加群|加群]]は、(r&nbsp;+&nbsp;s) 番目の場所へ移動し、そのときにすべての[[微分法|微分写像]]もともにシフトすることになる。

V を次数 1 の生成子 q と次数&nbsp;−1 の生成子 q<sup>−1</sup> とを持つ次数付きベクトル空間とする。

ここで絡み目 L を表現する任意の図形 D をとる。'''コバノフホモロジー''' の公理は次のようになる：
# '''<nowiki>[</nowiki>'''ø'''<nowiki>]</nowiki>''' = 0 → '''Z''' → 0, ここの ø は空の絡み目を表す。
# '''<nowiki>[</nowiki>'''O D'''<nowiki>]</nowiki>''' = V ⊗ '''<nowiki>[</nowiki>'''D'''<nowiki>]</nowiki>''', ここの O は結ばれていない自明な成分を表す。
# '''<nowiki>[</nowiki>'''D'''<nowiki>]</nowiki>''' = '''F'''(0 → '''<nowiki>[</nowiki>'''D<sub>0</sub>'''<nowiki>]</nowiki>''' → '''<nowiki>[</nowiki>'''D<sub>1</sub>'''<nowiki>]</nowiki>'''{1} → 0)

これらの内の三番目で、'''F''' は「平坦化する」作用素を表していて、単体複体は[[鎖複体|二重複体]]から、対角に沿って直和をとることで得られる。また、D<sub>0</sub> で D の中のある選ばれた交点の「0-smoothing」を表すとして、D<sub>1</sub> で「1-smoothing」、同じようにすると、カウフマン括弧のスケイン関係式と似た式が得られる。

次に、「正規化された」複体 '''C'''(D) = '''<nowiki>[</nowiki>'''D'''<nowiki>]</nowiki>'''<nowiki>[</nowiki>−n<sub>−</sub><nowiki>]</nowiki>{n<sub>+</sub>&nbsp;−&nbsp;2n<sub>−</sub>} を構成する。ここで n<sub>−</sub> は D の選択された図形の中の左手の交叉の数を表し、n<sub>+</sub> は右手の交叉の数を表す。

L の '''コバノフホモロジー''' は、この複体 '''C'''(D) のホモロジー '''H'''(L) である。コバノフホモロジーは実際に L の不変量となっていて、図形の選択には依存しないことが分かる。'''H'''(L) 次数付きオイラー標数は、L のジョーンズ多項式であることも分かる。'''H'''(L) は、[[ジョーンズ多項式]]以上の L の情報を持っていることが示されているが、完全な詳細は未だ完全には理解されていない。

2006年に{{仮リンク|ドロール・バー-ナタン|en|Dror Bar-Natan}}(Dror Bar-Natan)は、任意の結び目のコバノフホモロジー(もしくはカテゴリ)を計算するに十分なコンピュータプログラムを開発した。<ref>New Scientist 18 Oct 2008</ref>

==関連する理論==
コバノフホモロジーでもっとも興味を持たれている側面の一つに、完全系列が形式的に{{仮リンク|3次元多様体|en|3-manifolds}}の[[フレアーホモロジー]]の完全系列に似ていることである。さらに、[[ゲージ理論]]やその類似を使い示すことでのみ、結果を再現することがある。{{仮リンク|ヤコフ・ラスムッセン|en|Jacob Rasmussen}}(Jacob Rasmussen)のクロンハイマーとムロフカの定理の別の新しい証明があり、これは[[ミルナー予想 (トポロジー)|ミルナー予想]]の証明である（以下を参照のこと）。予想であるが、コバノフホモロジーを{{仮リンク|ピーター・オズバス|en|Peter Ozsváth}}(Peter Ozsváth)と[[ゾルターン・サボー|ゾルタン・ザボー]](Zoltán Szabó)の[[フレアーホモロジー]]に関係づける[[スペクトル系列]]がある（ダンフィールド他の2005年も参照）。別のスペクトル系列 (オズバス-ザボー 2005) は、コバノフホモロジーの変形を結び目に沿った分岐した[[二重被覆]]のヒーガードフレアーホモロジーと関係づける。三番目 (ブルーム 2009) は、分岐した二重被覆のモノポールフレアーホモロジーの変形に（コバノフホモロジーが）収束するという結果もある。

コバノフホモロジーは[[リー代数]] sl<sub>2</sub> の[[表現論]]に関係する。ミハイル・コバノフとレフ・ロザンスキーはすべての n に対して sl<sub>n</sub> に付随する[[コホモロジー]]論を定義した。2003年に{{仮リンク|カサリーナ・ストロッペル|en|Catharina Stroppel}}(Catharina Stroppel)は、コバノフホモロジーをすべての n について sl<sub>n</sub> へ一般化されたタングル（レシェーティキン-トゥラエフ不変量のカテゴリ化されたバージョン）の不変量に関係付けた。

ポール・ザイデル(Paul Seidel)とイワン・スミス(Ivan Smith)は、ラグランジアン交叉[[フレアーホモロジー]]を使い、単一の次数付き結び目ホモロジー論を構成しました。そこでは、単一次数付きのコバノフホモロジーは同型であろうと予想されている。{{仮リンク|シプリアン・マノレスク|en|Ciprian Manolescu}}(Ciprian Manolescu)は、この構成を単純化し、どうすると{{仮リンク|ザイデル-スミス不変量|en|Seidel-Smith invariant}}(Seidel-Smith invariant)の彼のバージョンを元にして鎖複体からのジョーンズ多項式を再現できるかを示した。
<!--==Related theories==
One of the most interesting aspects of Khovanov's homology is that its exact sequences are formally similar to those arising in the [[Floer homology]] of [[3-manifolds]]. Moreover, it has been used to produce another proof of a result first demonstrated using [[gauge theory]] and its cousins: [[Jacob Rasmussen]]'s new proof of a theorem of Kronheimer and Mrowka, formerly known as the [[Milnor conjecture (topology)|Milnor conjecture]] (see below). Conjecturally, there is a [[spectral sequence]] relating Khovanov homology with the [[Floer homology|knot Floer homology]] of [[Peter Ozsváth]] and [[Zoltán Szabó (mathematician)|Zoltán Szabó]] (Dunfield et al. 2005). Another spectral sequence (Ozsváth-Szabó 2005) relates a variant of Khovanov homology with the Heegaard Floer homology of the branched [[Double cover (topology)|double cover]] along a knot. A third (Bloom 2009) converges to a variant of the monopole Floer homology of the branched double cover.

Khovanov homology is related to the representation theory of the [[Lie algebra]] sl<sub>2</sub>. Mikhail Khovanov and Lev Rozansky have since defined [[cohomology]] theories associated to sl<sub>''n''</sub> for all ''n''. In 2003, [[Catharina Stroppel]] extended Khovanov homology to an invariant of tangles (a categorified version of Reshetikhin-Turaev invariants) which also generalizes to sl<sub>''n''</sub> for all ''n''. 
Paul Seidel and Ivan Smith have constructed a singly graded knot homology theory using Lagrangian intersection [[Floer homology]], which they conjecture to be isomorphic to a singly-graded version of Khovanov homology. [[Ciprian Manolescu]] has since simplified their construction and shown how to recover the Jones polynomial from the chain complex underlying his version of the [[Seidel-Smith invariant]].-->

==結び目（絡み目）多項式との関係==
2006年の[[国際数学者会議]]でミハイル・コバノフは、コバノフホモロジーの観点より、結び目多項式の関係の説明を提案した。
3つの絡み目 <math>L_1,L_2</math>, <math>L_3</math> の[[スケイン関係式]]は、次のようになる。

:<math>\lambda P(L_1)-\lambda^{-1}P(L_2)=(q-q^{-1})P(L_3).</math>

この式に <math>\lambda=q^n,\ n\le0</math> と代入すると絡み目多項式不変量 <math>P_n(L)\in\mathbb{Z}[q,q^{-1}]</math> が導かれる。この式で、<math>n > 0</math> に対し、次のように正規化する。

:<math>P_n(unknot)=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots+q^{1-n}</math>

また、<math>P_0(unknot)=1</math> とする。<math>n > 0</math> について、多項式 <math>P_n(L)</math> は、[[量子群]] <math>sl(n)</math> の表現論を通して解釈することができ、また <math>P_0(L)</math> は、量子リー{{仮リンク|超代数|en|superalgebra}} <math>U_q(gl(1|1))</math> を通して解釈することができる。 

:[[アレクサンダー多項式]] <math>P_0(L)</math> は二重結び目ホモロジー論のオイラー標数である。
:<math>P_1(L)=1</math> は自明である。
:[[ジョーンズ多項式]] <math>P_2(L)</math> は二重絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。
:[[ホムフリー多項式]](HOMFLY多項式、もしくはHOMFLYPT多項式)は、三重次数付き絡み目ホモロジー論のオイラー標数である。

==応用==
コバノフホモロジーの第一の応用は、ヤコフ・ラスムッセンにより与えられた。彼はコバノフホモロジーを使い、{{仮リンク|s-不変量|en|s-invariant}}を定義し、この結び目の整数に値を持つ不変量は、{{仮リンク|スライス種数|en|slice genus}}を有限とし、[[ミルナー予想 (トポロジー)|ミルナー予想]]を証明することができた。

2010年には、{{仮リンク|クロンハイマー|en|Peter B. Kronheimer}}(Peter B. Kronheimer)と{{仮リンク|ムロフカ|en|Tomasz Mrowka}}(Tomasz Mrowka)は、コバノフホモロジーが、[[自明な結び目]]か否かを識別することを証明した。カテゴリ化された理論は、カテゴリ化されていない理論よりも多くの情報を持ってる。従って、コバノフホモロジーが自明な結び目か否かを識別するからといって、[[ジョーンズ多項式#未解決問題|ジョーンズ多項式]]が自明な結び目か否かを識別するとは限らない。
<!--==Applications==
The first application of Khovanov homology was provided by Jacob Rasmussen, who defined the [[s-invariant]] using Khovanov homology. This integer valued invariant of a knot gives a bound on the [[slice genus]], and is sufficient to prove the [[Milnor conjecture (topology)|Milnor conjecture]].

In 2010, [[Peter B. Kronheimer|Kronheimer]] and [[Tomasz Mrowka|Mrowka]] proved that the Khovanov homology detects the [[unknot]]. The categorified theory has more information than the non-categorified theory. Although the Khovanov homology detects the unknot, the [[Jones polynomial#Open problems|Jones polynomial]] may not.-->

==参考文献==
* Mikhail Khovanov, ''A categorification of the Jones polynomial'', [[Duke Mathematical Journal]] 101 (2000) 359&ndash;426. {{arxiv|math.QA/9908171}}.
* Catharina Stroppel, ''Categorification of the Temperley-Lieb category, tangles, and cobordisms via projective functors'', [[Duke Mathematical Journal]] 126 (2005) 547&ndash;596.
* Dror Bar-Natan, [https://doi.org/10.2140/agt.2002.2.337 ''On Khovanov's categorification of the Jones polynomial''], [[Algebraic and Geometric Topology]] 2 (2002) 337&ndash;370. {{arxiv|math.QA/0201043}}.
* {{ cite arxiv | title = A link surgery spectral sequence in monopole Floer homology | year = 2009 | author = Jonathan M. Bloom | eprint = 0909.0816 }}
* {{ cite arxiv | title = The Superpolynomial for Knot Homologies | year = 2005 | author = Nathan M. Dunfield, [[Sergei Gukov]], Jacob Rasmussen | eprint = math.GT/0505662 }}
*Ozsváth, Peter and Szabó, Zoltán. On the Heegaard Floer homology of branched double-covers. Adv. Math. 194 (2005), no. 1, 1—33. Also available as [http://arxiv.org/abs/math.GT/0309170 a preprint]. This paper discusses the spectral sequence relating Khovanov and Heegaard Floer homologies for knots.
* {{ cite arxiv | title = Link Homology and Categorification | year = 2006 | author = Mikhail Khovanov| eprint = math.GT/0605339 }}
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[http://arxiv.org/pdf/1005.4346.pdf Khovanov homology is an unknot-detector] by {{仮リンク|Peter B. Kronheimer|en|Peter B. Kronheimer|label=(Kronheimer)}} and {{仮リンク|Tomasz Mrowka|en|Tomasz Mrowka|label=(Mrowka)}}
*[http://www.math.columbia.edu/~khovanov/talks/talkICM2006.pdf Hand-written slides of M. Khovanov's talk]
*[http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/theme3.py?level=1&index1=416503 Khovanov homology on arxiv.org]
*[http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Khovanov_Homology Khovanov Homology,  The Knot Atlas.]

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[[Category:結び目理論]]
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