コブ＝ダグラス型関数のソースを表示

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[[Image:Cobbdouglas.jpg|300px|thumb|コブ＝ダグラス型生産関数の[[等量曲線]]]]
[[File:Cobb douglas.png|300px|thumb|right|2生産要素のコブ＝ダグラス型生産関数の等量曲線]]
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'''コブ＝ダグラス型関数'''（こぶ＝だぐらすがたかんすう、[[英語|英]]: The Cobb–Douglas function）とは、投入要素間の[[代替の弾力性]]が1である[[生産関数]]や[[効用関数]]のこと<ref name=":1">{{cite journal |last1=Cobb |first1=C. W. |last2=Douglas |first2=P. H. |year=1928 |title=A Theory of Production |journal=American Economic Review|volume=18 |issue=Supplement |pages=139–165  |url=https://assets.aeaweb.org/assets/production/journals/aer/top20/18.1.139-165.pdf |access-date=26 September 2016|jstor=1811556 }}</ref>。{{仮リンク|チャールズ・コブ|en|Charles Cobb (economist)}}と[[ポール・ダグラス]]によって提示され、実証的な妥当性について検証された<ref name=":1"/>。

==歴史==
ポール・ダグラスは、彼が資本と労働の生産との関連について研究していた[[1927年]]に初めてコブ＝ダグラス型関数の定式化に至ったと説明している<ref name=":2">{{cite book|title=Economic Growth|author=Barro, Robert J. |author2=Sala-i-Martin, Xavier|edition=Second|publisher=The MIT Press|year=2004|isbn=0-262-02553-1|at=p. 29, fn. 7}}</ref>。彼は数学者やチャールズ・コブと相談し、<math>Y=AK^\alpha L^\beta </math>の関数形を用いることになった。この関数形は[[クヌート・ヴィクセル]]、[[フィリップ・ウィックスティード]]、[[レオン・ワルラス]]などに既に用いられていたことも述べている<ref name=":2"/><ref>{{cite book |last1=Brown |first1=Murray |title=The New Palgrave Dictionary of Economics |chapter=Cobb–Douglas Functions |publisher=Palgrave Macmillan UK |pages=1–4 |language=en |doi=10.1057/978-1-349-95121-5_480-2 |date=2017|isbn=978-1-349-95121-5 }}</ref>。クヌート・ヴィクセルが[[1926年]]に逝去して間もなく、ポール・ダグラスとチャールズ・コブはコブ＝ダグラス型関数の生産者理論への応用を試みる<ref>{{cite book |last1=Nechyba |first1=Thomas J. |title=Microeconomics : an intuitive approach with calculus |date=2017 |publisher=Cengage Learning |location=Boston, MA |isbn=978-1-305-65046-6 |page=126 |edition=2nd}}</ref>{{Efn2|[[最小二乗法]]の[[回帰分析]]を行って、労働分配率が約0.75であるという結果を得る。後に、[[全米経済研究所]]も同様の分析を行い、0.741という数字を得ている。さらに、資本と労働の分配率が時間を通じて変化することを許容し、生産性の推定値を得ている<ref name="doug">{{Cite journal| title = The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values | journal = Journal of Political Economy | volume = 84 | issue = 5 |pages = 903–916 | date = October 1976 | doi=10.1086/260489| last1 = Douglas | first1 = Paul H.| s2cid = 154435697 }}</ref>。}}。その後、コブ＝ダグラス型関数は[[ポール・サミュエルソン]]や[[ロバート・ソロー]]などの経済学者に盛んに用いられるようになる<ref name="doug"/>。国レベルのマクロ生産関数を推定する分析手法は広く経済学研究で用いられ、ミクロ経済学的側面からマクロ経済学を分析する研究手法の先駆けとなった<ref>{{Cite journal  |first1= Jesus |last1=Filipe |first2=F. Gerard |last2=Adams | title = The Estimation of the Cobb-Douglas Function: A Retrospective View | journal = Eastern Economic Journal  | volume = 31  | number = 3  | pages = 427–445  | year = 2005 |jstor=40326423 }}</ref>。

==概要==
===2要素のとき===
2生産要素のコブ＝ダグラス型生産関数は、
:<math>Y=AK^\alpha L^\beta </math>
のように書ける。ただし、
* ''Y'' = 総生産量（通常は1年の総生産量）
* ''K'' = [[資本ストック]]
* ''L'' = 労働投入量
* ''A'' = [[全要素生産性]]
* {{mvar|α}}と{{mvar|β}}はパラメーター
である。要素分配率は生産の投入に対する弾力性とも解釈できる。例えば、{{math|''α'' {{=}} 0.45}}であれば、資本ストックが1％上昇すると生産が0.45％上昇するということである。また、
*<math>\alpha + \beta = 1 </math>のとき、規模に関して収穫一定
*<math>\alpha + \beta > 1 </math>のとき、規模に関して収穫逓増
*<math>\alpha + \beta < 1 </math>のとき、規模に関して収穫逓減
となる<ref name="#1">{{cite book |last1=Jacques |first1=Ian |title=Mathematics for Economics and Business |date=2018 |publisher=Pearson Education |location=Harlow, United Kingdom |isbn=9781292191713 |page=168 |edition=Ninth}}</ref><ref name="#1"/>。[[完全競争]]で<math>\alpha + \beta = 1 </math>のとき、<math>\alpha</math>は資本分配率、<math>\beta</math>は労働分配率と解釈できる。

===一般形===
2生産要素以上のコブ＝ダグラス型生産関数は以下のように書ける<ref name=Palgrave>{{cite book|last1=Brown|first1=Murray|title=The New Palgrave Dictionary of Economics|publisher=Springer|isbn=9781349588022|url=https://books.google.com/books?id=EO40DAAAQBAJ&q=cobb+douglas+utility+product+price&pg=PA862|language=en|date=2016-05-18}}</ref>。
:<math>Y=A \prod_{i=1}^N X_i^{\alpha_i}</math>
ただし
* ''A''は全要素生産性
* ''N''は生産要素の数
* {{math|''X''<sub>1</sub>, ..., ''X<sub>N</sub>''}}は投入量
* <math>\alpha_i</math>は生産要素''i''の弾力性パラメーター
である。

==脚注==
===注釈===
{{Notelist2}}
===出典===
{{Reflist|30em}}

{{ミクロ経済学}}

{{デフォルトソート:こふたくらすかたかんすう}}
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[[Category:ミクロ経済学]]
[[Category:マクロ経済学]]
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