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{{more footnotes|date=December 2012}}

[[数学]]、とくに[[ホモロジー (数学)|ホモロジー論]]と[[代数トポロジー]]において、'''コホモロジー''' (cohomology) とは[[鎖複体|コチェイン複体]]から定義される[[アーベル群]]の[[列 (数学)|列]]を意味する一般的な用語である。つまり、コホモロジーは'''コチェイン'''、[[鎖複体|コサイクル]]、そして[[コバウンダリ]]の抽象的な研究として定義される。コホモロジーは、{{仮リンク|代数的不変量|en|algebraic invariant}}を、[[ホモロジー (数学)|ホモロジー]]がもっているよりも洗練された[[代数的構造]]をもつ位相空間に割り当てる手法と見ることができる。コホモロジーはホモロジーの構成の代数的な双対から生じる。より抽象的でない言葉で言えば、基本的な意味でのコチェインは'量'をホモロジー論の'''[[鎖複体|チェイン]]'''に割り当てる。

[[位相幾何学]]におけるその起源から、このアイデアは20世紀後半の数学において主要な手法となった。'''チェイン'''についての位相的不変関係としての'''ホモロジー'''の最初の考えから、ホモロジーとコホモロジーの理論の応用の範囲は[[幾何学]]と[[抽象代数学]]に渡って拡がった。その名称によって、'''コホモロジー'''、[[反変関手|反変]]理論、の方が'''ホモロジー'''よりも多くの応用において自然なものであるという事実が隠されがちである。基本的なレベルではこれは幾何学的な状況において[[関数 (数学)|関数]]と{{仮リンク|引き戻し (微分幾何学)|en|pullback (differential geometry)|label=引き戻し}}を扱う。空間 ''X'' と ''Y''、そして ''Y'' 上のある種の関数 ''F'' が与えられたとすると、任意の[[写像]] ''f'' : ''X'' → ''Y'' に対して、''f'' との合成は ''X'' 上の関数 ''F'' o ''f'' を引き起こす。コホモロジー群はまたしばしば自然な積、[[カップ積]]をもっており、[[環 (数学)|環]]の構造を与える。この特徴のために、コホモロジーはホモロジーよりも強い不変量である。ホモロジーでは区別できないある種の代数的対象をコホモロジーでは区別可能なのである。

== 定義 ==
[[代数トポロジー]]において、空間のコホモロジー群は次のように定義できる（Hatcher を参照）。位相空間 ''X'' が与えられたとき、チェイン複体

: <math>\cdots \rightarrow C_n \stackrel{ \partial_n}{\rightarrow}\ C_{n-1} \rightarrow \cdots </math>

を、[[特異ホモロジー]]（あるいは[[単体的ホモロジー]]）の定義でのように、考えよ。ここで、''C<sub>n</sub>'' は ''X'' における特異 ''n''-単体の形式的線型結合で生成される自由アーベル群であり、∂<sub>''n''</sub> は ''n'' 次バウンダリ作用素である。

さて各 ''C<sub>n</sub>'' をその[[双対空間]] ''C*<sub>n</sub>'' = Hom(''C<sub>n</sub>, G'') で置き換え、∂<sub>''n''</sub> を[[双対ベクトル空間#線型写像の転置写像|転置]]
: <math>\delta^n\colon C_{n-1}^* \rightarrow C_{n}^*</math>
で置き換えて、コチェイン複体
: <math>\cdots \leftarrow C_{n}^*  \stackrel{ \delta^n}{\leftarrow}\ C_{n-1}^*  \leftarrow \cdots </math>
を得る。すると'''''G'' に係数をもつ ''n'' 次コホモロジー群''' (the ''n''<sup>th</sup> cohomology group with coefficients in ''G'') が Ker(δ<sup>''n''+1</sup>)/Im(δ<sup>''n''</sup>) で定義され、''H<sup>n</sup>''(''C''; ''G'') と表記される。''C*<sub>n</sub>'' の元は '''''G'' に係数をもつ特異 ''n''-コチェイン''' (singular ''n''-cochain) と呼ばれ、δ<sup>''n''</sup> は'''コバウンダリ作用素''' (coboundary operator) と呼ばれる。Ker(δ<sup>''n''+1</sup>), Im(δ<sup>''n''</sup>) の元はそれぞれ '''コサイクル''' (cocycle)、'''コバウンダリ''' (coboundary) と呼ばれる。

上記の定義は、特異ホモロジーで用いられる複体に限らず、一般のチェイン複体に対しても適用可能なことに注意しよう。一般コホモロジー群の研究は[[ホモロジー代数学]]の発達の主要な動機であった。そしてそれ以来、広く様々な設定における応用が見つかってきた（[[#コホモロジー論|下記]]参照）。

''C*<sub>n-1</sub>'' の元 &phi; が与えられると、転置の性質から ''C*<sub>n</sub>'' の元として <math>\delta^n(\varphi) = \varphi \circ \partial_n</math> であることが従う。この事実を使うとコホモロジーとホモロジー群の関連付けを以下のように使える。Ker(δ<sup>''n''</sup>) のすべての元 &phi; は ∂<sub>''n''</sub> の像を含む核をもつ。なので &phi; を Ker(∂<sub>''n''−1</sub>) に制限することができ、∂<sub>''n''</sub> の像による商をとり Hom(''H<sub>n</sub>, G'') の元 ''h''(φ) を得る。&phi; が δ<sup>''n''−1</sup> の像にも含まれていれば、''h''(φ) は 0 である。なので Ker(δ<sup>''n''</sup>) による商をとることができ、次の準同型を得る。
:<math>h: H^n (C; G) \rightarrow \text{Hom}(H_n(C),G).</math>
この写像 ''h'' は全射であり次の分裂短完全列があることを証明できる。
:<math>0 \rightarrow \ker h \rightarrow H^n(C; G) \stackrel{h}{\rightarrow} \text{Hom}(H_n(C),G) \rightarrow 0.</math>

== 歴史 ==
コホモロジーは現代の[[代数トポロジー]]において基本的であるが、その重要性はホモロジーの発展後の約40年間は認識されていなかった。
[[アンリ・ポアンカレ|Henri Poincaré]] は彼の[[ポアンカレ双対|ポワンカレ双対]]定理の証明において　''双対セル構造'' の概念を用いたが、それはコホモロジーのアイデアの起源を含んでいた。しかしこのことは後になって分かった。

コホモロジーには様々な前身があった。1920年代中ごろ、{{仮リンク|J. W. Alexander|en|James Waddell Alexander II}}と [[ソロモン・レフシェッツ|Solomon Lefschetz]] は[[多様体]]上のサイクルの[[交叉理論]]を作った。''n'' [[次元]]多様体 ''M'' において、共通部分が空でない ''p''-サイクルと ''q''-サイクルは、{{仮リンク|一般の位置|en|general position}}にあれば、共通部分 (''p''&nbsp;+&nbsp;''q''&nbsp;&minus;&nbsp;''n'')-サイクルをもつ。これによってホモロジー類の積を定義することができる。

:''H''<sub>''p''</sub>(''M'') &times; ''H''<sub>''q''</sub>(''M'') &rarr; ''H''<sub>''p''+''q''−''n''</sub>(''M'').

{{仮リンク|James Waddell Alexander II|label=Alexander|en|James Waddell Alexander II}}は1930年までに最初のコチェインの概念を、''X''<sup>''p''+1</sup> における[[対角線]]の小さい近傍に関連がある空間 ''X'' 上の ''p''-コチェインに基づいて、定義していた。

1931年に、{{仮リンク|Georges de Rham|en|Georges de Rham}}はホモロジーと外[[微分形式]]を関連付けて、[[ド・ラームの定理]]を証明した。この結果は今ではコホモロジーの言葉でより自然に解釈して理解される。

1934年に、[[Lev Pontryagin]] は[[ポントリャーギン双対|ポントリャーギンの双対定理]]を証明した。これは[[位相群]]に関する結果である。これは（いくらか特別なケースとして）[[群 (数学)|群]][[指標 (数学)|指標]]の言葉による[[ポアンカレ双対|ポワンカレ双対]]と{{仮リンク|アレクサンダー双対|en|Alexander duality}}の解釈を提供した。

[[モスクワ]]の1935年のコンフェレンスで、[[アンドレイ・コルモゴロフ|Andrey Kolmogorov]] と Alexander の両者は、コホモロジーを導入してコホモロジーの積の構造を構成しようと試みた。

1936年、{{仮リンク|Norman Steenrod|en|Norman Steenrod}}は {{仮リンク|チェックホモロジー|label=Čech ホモロジー|en|Čech homology}}を双対化することによって {{仮リンク|チェックコホモロジー|label=Čech コホモロジー|en|Čech cohomology}}を構成する論文を出版した。

1936年から1938にかけて、[[ハスラー・ホイットニー|Hassler Whitney]]と {{仮リンク|Eduard Čech|en|Eduard Čech}}は[[カップ積]]（コホモロジーを次数環にする）と[[キャップ積]]を発展させ、ポワンカレ双対がキャップ積の言葉で述べられることを理解した。彼らの理論はまだ[[:en:wiktionary:finite|有限]]セル複体に制限されていた。

1944年、[[Samuel Eilenberg]] は技術的な制限を克服し、 [[特異ホモロジー]]とコホモロジーの現代的な定義を与えた。

1945年、Eilenberg と Steenrod は{{仮リンク|アイレンバーグ–スティーンロッドの公理|label=公理|en|Eilenberg–Steenrod axioms}}を述べ、ホモロジーやコホモロジーの理論を定義した。彼らの1952年の本 ''{{仮リンク|Foundations of Algebraic Topology|en|Foundations of Algebraic Topology}}'' において、彼らは存在するホモロジーとコホモロジーの理論は確かに彼らの公理を満たすことを証明した<ref>Spanier, E. H. (2000) "Book reviews: Foundations of Algebraic Topology"  ''Bulletin of the American Mathematical Society'' 37(1): pp. 114–115</ref>。

1948年、{{仮リンク|Edwin Spanier|en|Edwin Spanier}}は Alexander と Kolmogorov の仕事をもとにして {{仮リンク|Alexander–Spanier コホモロジー|en|Alexander–Spanier cohomology}}を発達させた。

== コホモロジー論 ==

=== アイレンバーグ–スティーンロッド理論 ===
''コホモロジー論'' (cohomology theory) は[[位相空間]]と[[連続関数]]のペアの[[圏 (数学)|圏]]（あるいは[[CW複体]]の圏のような圏の部分圏）から[[アーベル群]]と群[[準同型]]の圏への{{仮リンク|アイレンバーグ–スティーンロッドの公理|label=Eilenberg-Steenrod の公理|en|Eilenberg–Steenrod axioms}}を満たす反変[[関手]]の一群である。

この意味でのいくつかのコホモロジー理論は：
*{{仮リンク|単体的コホモロジー|en|simplicial homology}}
*[[特異コホモロジー]]
*[[ド・ラームコホモロジー|de Rham コホモロジー]]
*{{仮リンク|チェックコホモロジー|label=Čech コホモロジー|en|Čech cohomology}}
{{anchors|一般コホモロジー論}}

=== 公理と一般化されたコホモロジー論 ===
{{See also|{{仮リンク|コホモロジー論の一覧|en|List of cohomology theories}}}}
コホモロジー群を定義する方法には様々なものがある（例えば[[特異コホモロジー]]、{{仮リンク|チェックコホモロジー|label=Čech コホモロジー|en|Čech cohomology}}、{{仮リンク|Alexander–Spanier コホモロジー|label=|en|Alexander–Spanier cohomology}}、あるいは[[層係数コホモロジー]]）。これらはいくつかの奇妙な空間に対しては異なる答えを与えるが、それがすべて一致するような空間の大きなクラスが存在する。これは公理的に最も容易に理解される。{{仮リンク|アイレンバーグ–スティーンロッドの公理|label=Eilenberg–Steenrod の公理|en|Eilenberg–Steenrod axioms}}として知られている性質のリストがあり、それらの性質を共有する任意の2つの構成は少なくとも例えばすべての有限[[CW複体]]において一致する。

公理の1つはいわゆる次元公理である。''P'' がただ1つの点であれば、すべての ''n'' ≠ 0 に対して ''H<sub>n</sub>''(''P'') = 0 であり、''H''<sub>0</sub>(''P'') = '''Z''' である。次元 0 に任意のアーベル群 ''A'' を許すことによって少し一般化することができるが、非零次元において群は自明であることをなお主張する。これらの公理を満たす群の系は本質的に1つしかないことが再びわかる。これは <math>H_*(X;A)</math> と表記される。各群 ''H<sub>k</sub>''(''X'') がある ''r<sub>k</sub>'' &isin; '''N'''に対して '''Z'''<sup>''r<sub>k</sub>''</sup> と同型であるようなよくあるケースにおいて、単に <math>H_k(X;A)=A^{r_k}</math> である。一般に、''H<sub>k</sub>''(''X'') と <math>H_k(X;A)</math> の間の関係はほんの少しだけ複雑で、再び[[普遍係数定理]]によってコントロールされる。

さらに重要なことには、次元公理を完全に落とすことができる。すべての他の公理を満たす群を定義する異なる方法がたくさんある。例えば次のものがある。
* {{仮リンク|安定ホモトピー群|en|stable homotopy theory}} <math>\pi^S_k(X)</math>
* [[コボルディズム]]群の様々な異なるバージョン。<math>MO_*(X), MSO_*(X), MU_*(X)</math> など。このうち最後（[[:en:complex cobordism|complex cobordism]] として知られている）は特に重要である。[[ダニエル・キレン|Daniel Quillen]] による定理によって{{仮リンク|形式群|en|Formal group}}の理論とつながりがあるためである。
* [[K-理論]]の様々な異なるバージョン。<math>KO_*(X)</math>（実周期的 K-理論）、<math>kO_*(X)</math>（実 connective）、<math>KU_*(X)</math>（複素周期的）、<math>kU_*(X)</math>（複素 connective）など。
* {{仮リンク|ブラウン–ピーターソンホモロジー|label=Brown–Peterson ホモロジー|en|Brown–Peterson cohomology}}、{{仮リンク|Morava K-理論|en|Morava K-theory}}、Morava E-理論、そして形式群の代数を使って定義される他の理論。
* {{仮リンク|楕円ホモロジー|en|elliptic cohomology}}の様々なバージョン。
これらは一般化されたホモロジー論 (generalised homology theories) と呼ばれる。それらは普通のホモロジーよりもはるかに多くの情報をもっているが、計算するのは大変なことがしばしばある。それらの研究は（{{仮リンク|ブラウンの表現可能性定理|label=Brown の表現可能性定理|en|Brown representability theorem}}によって）{{仮リンク|安定ホモトピー|en|stable homotopy}}に強く結びついている。

コホモロジー論 ''E'' は <math>E^*(X)</math> が[[次数環]]であるときに'''乗法的''' (multiplicative) という。

=== 他のコホモロジー論 ===
より広い意味での''コホモロジー''の理論は以下を含む<ref>https://webcitation.org/query?url=http://www.geocities.com/jefferywinkler2/ktheory3.html&date=2009-10-26+00:45:56</ref>
<ref>https://www.cs.duke.edu/courses/fall06/cps296.1/</ref>。
{{div col}}
* {{仮リンク|アンドレ・キレンコホモロジー|label=André–Quillen コホモロジー|en|André–Quillen cohomology}}
* {{仮リンク|BRST コホモロジー|en|BRST cohomology}}
* {{仮リンク|Bonar–Claven コホモロジー|en|Bonar–Claven cohomology}}
* {{仮リンク|有界コホモロジー|en|Bounded cohomology}}
* {{仮リンク|連接層コホモロジー|en|Coherent sheaf cohomology}}
* {{仮リンク|結晶コホモロジー|en|Crystalline cohomology}}
* {{仮リンク|巡回コホモロジー|en|Cyclic cohomology}}
* {{仮リンク|ドリーニュコホモロジー|label=Deligne コホモロジー|en|Deligne cohomology}}
* {{仮リンク|ディラックコホモロジー|label=Dirac コホモロジー|en|Dirac cohomology}}
* [[エタールコホモロジー]]
* {{仮リンク|平坦コホモロジー|en|Flat cohomology}}
* [[ガロワコホモロジー|Galois コホモロジー]]
* {{仮リンク|ゲルファント–フックスコホモロジー|label=Gel'fand–Fuks コホモロジー|en|Gel'fand–Fuks cohomology}}
* [[群コホモロジー]]
* {{仮リンク|ハリソンコホモロジー|label=Harrison コホモロジー|en|Harrison cohomology}}
* {{仮リンク|ホッホシルトコホモロジー|label=Hochschild コホモロジー|en|Hochschild cohomology}}
* {{仮リンク|交叉コホモロジー|en|Intersection cohomology}}
* [[コバノフホモロジー|Khovanov ホモロジー]]
* [[リー環のコホモロジー|Lie環コホモロジー]]
* {{仮リンク|局所コホモロジー|en|Local cohomology}}
* {{仮リンク|motivic コホモロジー|en|Motivic cohomology}}
* {{仮リンク|非アーベルコホモロジー|en|Non-abelian cohomology}}
* {{仮リンク|perverse コホモロジー|en|Perverse cohomology}}
* [[量子コホモロジー]]
* {{仮リンク|シューアコホモロジー|label=Schur コホモロジー|en|Schur cohomology}}
* {{仮リンク|スペンサーコホモロジー|label=Spencer コホモロジー|en|Spencer cohomology}}
* {{仮リンク|位相的 André–Quillen コホモロジー|en|Topological André–Quillen cohomology}}
* {{仮リンク|位相的巡回コホモロジー|en|Topological cyclic cohomology}}
* {{仮リンク|位相的 Hochschild コホモロジー|en|Topological Hochschild cohomology}}
* {{仮リンク|Γコホモロジー|en|Γ cohomology}}
{{div col end}}

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|コホモロジー論の一覧|en|List of cohomology theories}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*[[Allen Hatcher|Hatcher, A.]] (2001) "[http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html Algebraic Topology]", ''Cambridge U press'', England: Cambridge, p.&nbsp;198, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0.
*Hazewinkel, M. (ed.), ''Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia"''; Reidel, Dordrecht, Netherlands: 1988; p.&nbsp;68. ISBN 1-55608-010-7
*: or see {{SpringerEOM|title=Cohomology|urlname=Cohomology}}.
*E. Cline, B. Parshall, L. Scott and W. van der Kallen, (1977) "Rational and generic cohomology" ''Inventiones Mathematicae'' 39&thinsp;(2), pp.&nbsp;143–163.
*Asadollahi, Javad and Salarian, Shokrollah (2007) "Cohomology theories for complexes"  ''Journal of Pure & Applied Algebra'' 210&thinsp;(3), pp.&nbsp;771–787.

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