コホモロジー環のソースを表示

[[数学]]では、特に[[代数的位相幾何学|代数トポロジー]]では、[[位相空間]] ''X'' の'''コホモロジー環''' (cohomology ring) は、''X'' の[[コホモロジー群]]から作られる[[環 (数学)|環]]であり、環の積として[[カップ積]]を持つ。ここに「コホモロジー」とは、通常、[[特異コホモロジー]]であるが、しかし、環の構造は[[ド・ラームコホモロジー]]のような他の理論でも存在する。コホモロジー環は[[函手|函手的]]でもあり、空間の[[連続写像]]に対しコホモロジー環上の[[環準同型]]を得る。この函手は反変的である。
<!---In [[mathematics]], specifically [[algebraic topology]], the '''cohomology ring''' of a [[topological space]] ''X'' is a [[ring (mathematics)|ring]] formed from the [[cohomology]] groups of ''X'' together with the [[cup product]] serving as the ring multiplication. Here 'cohomology' is usually understood as [[singular cohomology]], but the ring structure is also present in other theories such as [[de Rham cohomology]]. It is also [[functorial]]: for a [[continuous mapping]] of spaces one obtains a [[ring homomorphism]] on cohomology rings, which is contravariant.-->

特に、[[可換環]] ''R''（典型的には、''R'' は '''Z'''<sub>''n''</sub>、'''Z'''、'''Q'''、'''R'''、あるいは '''C'''）を係数として持つ ''X'' 上のコホモロジー群 ''H''<sup>''k''</sup>(''X'';&nbsp;''R'') に対し、[[カップ積]]を定義できる。

:<math>H^k(X;R) \times H^\ell(X;R) \to H^{k+\ell}(X; R).</math>

カップ積は次のコホモロジー群の[[加群の直和|直和]]の上の積を与える。

:<math>H^\bullet(X;R) = \bigoplus_{k\in\mathbb{N}} H^k(X; R).</math>

この積によって、群 ''H''<sup>•</sup>(''X'';&nbsp;''R'') は環となる。実際、自然に '''N'''-[[次数付き環]]であり、非負の整数 ''k'' が次数の役割を持つ。カップ積はこの次数付けと整合している。
<!---Specifically, given a sequence of cohomology groups ''H''<sup>''k''</sup>(''X'';''R'') on ''X'' with coefficients in a [[commutative ring]] ''R'' (typically ''R'' is '''Z'''<sub>''n''</sub>, '''Z''', '''Q''', '''R''', or '''C''') one can define the [[cup product]], which takes the form

:<math>H^k(X;R) \times H^\ell(X;R) \to H^{k+\ell}(X; R).</math>

The cup product gives a multiplication on the [[direct sum of modules|direct sum]] of the cohomology groups

:<math>H^\bullet(X;R) = \bigoplus_{k\in\mathbb{N}} H^k(X; R).</math>

This multiplication turns ''H''<sup>•</sup>(''X'';''R'') into a ring. In fact, it is naturally an '''N'''-[[graded ring]] with the nonnegative integer ''k'' serving as the degree. The cup product respects this grading.-->

コホモロジー環は、カップ積が次数により決定される符号を除いて可換であるという意味で、{{仮リンク|次数付きで可換|en|graded-commutative}}である。具体的には、次数 ''k'' と 次数 ℓ の純粋な元に対し、次が成り立つ。

:<math>(\alpha^k \smile \beta^\ell) = (-1)^{k\ell}(\beta^\ell \smile \alpha^k).</math>

コホモロジー環から得られる数値的な不変量は'''カップの長さ'''(cup-length)であり、この不変量は掛けたときの非零の結果をもたらす次数が ≥ 1 の次数付きの元の最大の個数を意味する。例えば、[[複素射影空間]]では、その複素次元に等しいカップ長さを持つ。
<!---The cohomology ring is [[graded-commutative]] in the sense that the cup product commutes up to a sign determined by the grading. Specifically, for pure elements of degree ''k'' and ℓ; we have

:<math>(\alpha^k \smile \beta^\ell) = (-1)^{k\ell}(\beta^\ell \smile \alpha^k).</math>

A numerical invariant derived from the cohomology ring is the '''cup-length''', which means the maximum number of graded elements of degree ≥ 1 that when multiplied give a non-zero result. For example a [[complex projective space]] has cup-length equal to its [[complex dimension]].-->

== 例 ==
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math> ここに <math>|\alpha|=1</math> である。
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]</math> ここに <math>|\alpha|=1</math> である。
*{{仮リンク|キネット公式|en|Künneth formula}}(Künneth formula)により、<math>\mathbb{R}P^\infty</math> の ''n'' 個の積の mod 2 コホモロジー環は、<math>\mathbb{F}_2</math> に係数を持つ ''n'' 変数の多項式環である。
<!---== Examples ==
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^n; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]/(\alpha^{n+1})</math> where <math>|\alpha|=1</math>.
*<math>\operatorname{H}^*(\mathbb{R}P^\infty; \mathbb{F}_2) = \mathbb{F}_2[\alpha]</math> where <math>|\alpha|=1</math>.
*By the [[Künneth formula]], the mod 2 cohomology ring of ''n'' products of <math>\mathbb{R}P^\infty</math> is a polynomial ring in ''n'' variables with coefficients in <math>\mathbb{F}_2</math>.-->

== 関連項目 ==
*[[量子コホモロジー環]]

==参考文献==
* {{Cite book| first= S. P. |last=Novikov|title=Topology I, General Survey|publisher= Springer-Verlag|year=1996|ISBN= 7-03-016673-6}}
* {{Cite book| first= Allen |last=Hatcher | title=Algebraic Topology | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html | publisher=Cambridge University Press | ISBN=0-521-79540-0}}

{{デフォルトソート:こほもろしいかん}}
[[Category:ホモロジー論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:位相空間]]