コマンディーノの定理のソースを表示


[[ファイル:Tetrahedron_centroid_gimp.png|サムネイル|四面体の中線は、その重心<math>S</math>で交わる。また、<br /><br /><math>\frac{|AS|}{|SS_{BCD}|}=\frac{|BS|}{|SS_{ACD}|}=\frac{|CS|}{|SS_{ABD}|}=\frac{|DS|}{|SS_{ABC}|}=\frac{3}{1}</math>]]
'''コマンディーノの定理'''（コマンディーノのていり、{{Lang-en-short|Commandino's theorem}}）は、[[フェデリコ・コマンディーノ]]に因んで名付けられた、[[四面体]]に関する[[定理]]。四面体の四つの[[中線]]は、四面体の[[幾何中心|重心]]で交わり、重心で3:1に内分される。ここで四面体の中線とは、頂点とその[[面 (幾何学)|対面]]の重心を結ぶ[[線分]]（[[直線]]）である<ref>Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century''. The Mathematical Association of America, 2015, {{ISBN2|9780883853580}}, pp. 97–98</ref><ref>Nathan Altshiller-Court: ''The Tetrahedron and Its Circumscribed Parallelepiped''. The Mathematics Teacher, Vol. 26, No. 1 (JANUARY 1933), pp. 46–52 ([https://www.jstor.org/stable/27951513 JSTOR])</ref><ref>Norman Schaumberger: ''Commandino's theorem''. The Two-Year College Mathematics Journal, Vol. 13, No. 5 (Nov., 1982), p. 331 ([https://www.jstor.org/stable/3026506 JSTOR])</ref>。
== 歴史 ==
コマンディーノの定理は、1565年の、フェデリコ・コマンディーノの書籍''De Centro Gravitatis Solidorum''」（[[固体]]の[[重心]]の意）によって発表された定理に由来する。しかし、19世紀の学者ギヨーム・リブリー（Guillaume Libri）によれば、コマンディーノはもっと早い時期にこの定理を発見していた。またリブリーはこの定理を仕事で使っていた[[レオナルド・ダ・ヴィンチ]]の方がより早く発見していたと考えた。[[ジュリアン・クーリッジ]]もダ・ヴィンチが早期に発見したことに共感はしたが、定理に明確に言及した記述が存在しないことを指摘した<ref>Nathan Altshiller Court: ''Notes on the centroid''. The Mathematics Teacher, Vol. 53, No. 1 (JANUARY 1960), pp. 34 ([https://www.jstor.org/stable/27956057 JSTOR])</ref>。 また、[[古代ギリシャ]]において既に発見されていたということを主張する学者もいる<ref>Howard Eves: ''Great Moments in Mathematics (before 1650)''. MAA, 1983, {{ISBN2|9780883853108}}, p. 225</ref>。

== 一般化 ==
コマンディーノの定理は直接的に任意[[次元]]の[[単体 (数学)|単体]]に一般化できる<ref>{{Cite book |last=[[Egbert Harzheim]] |title=Einführung in die kombinatorische Topologie |date=1978 |publisher=Wissenschaftliche Buchgesellschaft |isbn=3-534-07016-X |location=Darmstadt |pages=33 |language=de}}</ref>。

: <math> \Delta </math>を<math>\R^n  </math>上の<math>d</math>次元単体（<math> d,n \in \N , n \geq d </math>、<math>d>1</math>）、<math> \Delta </math>の各[[頂点]]をそれぞれ<math>V_0,V_1,\ldots,V_p</math>とする。<math>V_i</math>とその（<math>d</math>次元[[超平面]]である）対面の重心を結ぶ直線<math> \ell_0, \ell_1,\ldots,\ell_d</math>は[[共点]]で、その点<math>S</math>は<math> \ell_0, \ell_1,\ldots,\ell_d</math>を<math>d:1</math>に内分する。

=== 一般性 ===
前項の一般化は、更に拡張できる<ref>{{Citation|title=Einführung in die Kombinatorische Topologie|last=[[Egbert Harzheim]]|date=1978|at=p.&nbsp;31|location=Darmstadt|isbn=3-534-07016-X|language=de}}</ref>。

: <math>\R</math>[[ベクトル空間]]<math>\mathcal {V}</math>上で、<math>m</math>と<math>k</math>を[[自然数]]とし、<math>m+k</math>個の異なる点<math>X_1, \dots, X_m, Y_1, \dots, Y_k \in \mathcal {V} </math>を与える。
: <math>S_X</math>を<math>X_i \; (i=1, \dots, m)</math>の重心、<math>S_Y</math>を<math>Y_j \; (j=1, \dots, k)</math>の重心として、<math>S</math>は<math>m+k</math>個の点全体の重心である。
:: <math>S = S_X + \frac{k}{m+k} (S_Y-S_X)  = \frac{m}{m+k} S_X + \frac{k}{m+k} S_Y.
</math>
: 特に、<math>S</math>は直線<math>\overline{ {S_X} {S_Y}}</math>を<math>k:m</math>に分割する。

=== ロイシュの定理 ===
前述の定理には、コマンディーノはの定理の一般化という面以外に興味深い結果を持つ。これは、次に示す四面体の重心に関する定理を導出する。ドイツの[[物理学者]]{{仮リンク|フリードリヒ・エドゥアルト・ロイシュ|de|Friedrich Eduard Reusch}}の著書「''Mathematische Unterhaltungen''」で発見された<ref name=":0">Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): ''Mathematische Unterhaltungen. Zweites Heft.'' 1973, S. 100, 128</ref><ref>In den ''Mathematische Unterhaltungen'' (Zweites Heft, S. 128) wird auf die S. 36 von Reuschs Abhandlung [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=hvd.fl33pn;view=1up;seq=7 ''Der Spitzbogen''] verwiesen.</ref>。

: 四面体の重心は、四面体のある辺とその反対側の辺の[[中点]]を取り、対応する中点を結ぶことによって発見することができる。

四面体は、反対に位置する辺の組を3つ持つので、次の系が従う<ref name=":0" />。

: 四面体において、3組の反対に位置する辺と中点を結んだ直線は共点で、その交点は重心である。

=== ヴァリニョンの定理 ===
ロイシュの定理の特殊な場合に、ヴァリニョンの定理がある。4つの頂点を[[共面]]にすると、四面体は[[四角形]]に退化する。この四角形にロイシュの定理を適用すれば[[ピエール・ヴァリニョン]]が発見した[[ヴァリニョンの定理]]を得る<ref>Coxeter, op. cit., S. 242</ref><ref>''DUDEN: Rechnen und Mathematik.'' 1985, S. 652</ref>。

: <math>\R^2 </math>上の四角形について、対辺との中点を結ぶ直線は、四角形の[[幾何中心]]を通り、1:1に内分される。

== 出典 ==
<references />

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Commandino's Theorem|urlname=CommandinosTheorem}}
* [http://pballew.blogspot.de/2012/09/a-couple-of-nice-extensions-of-median.html ''A Couple of Nice Extensions of the Median Properties'']

{{DEFAULTSORT:こまんていののていり}}
[[Category:ユークリッド幾何学の定理]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]