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'''コワレフスカヤのコマ'''（-のこま、{{lang-en-short|Kovalevskaya Top}}）とは、重力下を運動する[[剛体]]（[[独楽]]）の一種。[[オイラーのコマ]]や[[ラグランジュのコマ]]に並んで、[[オイラーの運動方程式|オイラー方程式]]が[[可積分]]となる例として知られる。19世紀後半、ロシアの数学者[[ソフィア・コワレフスカヤ]]によって、発見された<ref name ="kow1989">S. Kovalevskaya, "Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe," Acta Mathematica '''12''' (1889) pp177-232.
{{doi|10.1007/BF02592182}}</ref>。コワレフスカヤは[[慣性モーメント]]間に特別な関係が成り立つ場合に、運動を決定するのに必要な[[第一積分]]（保存量）の存在を発見するとともに、[[楕円関数]]の拡張である[[種数]]2の超楕円関数による解の表示を導いた。

== 概要 ==

重力下における固定点を持つ[[剛体]]の運動、すなわち独楽の運動は、[[オイラーの運動方程式]]によって記述される。[[角速度]](''&omega;<sub>1</sub>'',''&omega;''<sub>2</sub>,''&omega;''<sub>3</sub>)並びに[[方向余弦]](''&gamma;''<sub>1</sub> ,''&gamma;''<sub>2</sub>,''&gamma;''<sub>3</sub>)を変数とすると、この運動は以下の連立微分方程式で記述される。

:<math>
A \frac{d \omega_1}{dt} = (B-C) \omega_2 \omega_3 - Mg(\zeta_0 \gamma_2 - \eta_0 \gamma_3)
</math>
:<math>
B \frac{d \omega_2}{dt} = (C-A) \omega_3 \omega_1 - Mg(\xi_0 \gamma_3 -\zeta_0 \gamma_1)
</math>
:<math>
C \frac{d \omega_3}{dt} = (A-B) \omega_1 \omega_2 - Mg(\eta_0 \gamma_1 -\xi_0 \gamma_2)
</math>

ここで、定数''A'' 、''B''、''C''は[[慣性モーメント|主慣性モーメント]]であり、定数(''&xi;''<sub>0</sub> ,''&eta;''<sub>0</sub>,''&zeta;''<sub>0</sub>)は剛体の[[重心]]座標である。

19世紀後半、オイラー方程式が可積分となる例は、外力のない自由回転運動である

;(オイラーのコマ)
:<math> \xi_0=\eta_0=\zeta_0=0 </math>

と軸対称の場合である

;（ラグランジュのコマ）
:<math> A=B, \xi_0=\eta_0=0 </math>

が知られていた。コワレフスカヤは、非対称ではあるが可積分系となる例として、2つの主慣性モーメントが等しく、残り1つがそれらの1/2倍に等しい場合、

;(コワレフスカヤのコマ)
:<math> A=B=2C, \eta_0=\zeta_0=0   </math>

を新たに発見した。

== 保存量 ==

固定点周りの剛体の運動は、[[オイラー角]]で指定されることに表されるように、3つの自由度を持つ。従って、系に3個の[[保存量]]が存在すれば、運動が完全に決定され、可積分系となる。
まず系には、全エネルギー

:<math>
\frac{1}{2}(A \omega_1^{\, 2}+B \omega_2^{\, 2}+C \omega_3^{\, 2})
+ mg(\gamma_1 \xi_0 + \gamma_2 \eta_0 + \gamma_3 \zeta_0) = \mathrm{const.} 
</math>

が常に保存量として存在する。ここで、第一項は[[運動エネルギー]]、第二項は重力ポテンシャルでの[[位置エネルギー]]である。
また、鉛直方向の[[角運動量]]

:<math>
L_z  =A \omega_1 \gamma_1 + B \omega_2 \gamma_2 + C \omega_3 \gamma_3 = \mathrm{const.}
</math>

も常に保存量となる。従って、これら以外に独立な保存量が１つ存在すれば、系は可積分である。
オイラーのコマの場合には、

:<math> A^2 \omega_1^{\, 2} + B^2 \omega_2^{\, 2} + C^2 \omega_3^{\, 2} =  \mathrm{const.} </math>

また、ラグランジュのコマの場合には、

:<math> C \omega_3 =  \mathrm{const.} </math>

である。コワレフスカヤは、''A'' =''B'' =2''C'' の場合に存在する保存量として、

:<math>
\begin{align}
\xi \bar{\xi} &= (\omega_1^{\, 2}-\omega_2^{\, 2}- c_0 \gamma_1)^2 + (2 \omega_1 \omega_1 -c_0 \gamma_1)^2 \\
             &=  \mathrm{const.}
\end{align}
</math>

を見い出した。但し、

:<math> \xi =(\omega_1 + i \omega_2)-c_0(\gamma_1+i \gamma_2) \qquad (i=\sqrt{-1}) </math>
:<math> c_0 =\frac{mg \xi_0}{A} </math>

である。この保存量は'''コワレフスカヤの積分'''と呼ばれる。

== 歴史 ==
19世紀後半、ロシア生まれの数学者コワレフスカヤは[[偏微分方程式]]や[[アーベル積分]]に関する研究で活躍した。当時、女性が数学を学ぶことは非常に珍しく困難であったが、ベルリン大学の[[カール・ワイエルシュトラス]]に師事し、偏微分方程式の解の存在定理やアーベル積分に関する研究の業績で名声を得ていた。

1888年、[[アカデミー・フランセーズ|フランス科学アカデミー]]が主催する数学コンクール[[ボルダン賞]]は「1点を固定された剛体の回転運動」についてというテーマで開催された。固定点を一つ持つ剛体の重力下の運動が可積分となる例としては、当時、オイラーのコマとラグランジュのコマのみが知られていた。コワレフスカヤは、1884年頃から、剛体の運動に関心を持ち、研究を行っていた。コワレフスカヤはパラメータである慣性モーメントの間にいくつかの関係式が満たされる場合には、求積可能であることを見出した。この偉業に対し、賞の委員会は賞金額を2倍にした。この成果は、[[Acta Mathematica|アクタ・マセマティカ誌]]に『固定点を中心とする剛体の回転運動について』<ref name ="kow1989" />という論文で1889年に報告された。

その後の研究については、1890年にアクタ・マセマティカ誌に『固定点周りの剛体の回転運動を定める微分方程式系の性質について』<ref name ="kow1990a">S.V. Kowalevskaya, "Sur une propriété du système d'équations différentielles qui définit la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe," Acta Math, '''14''' (1890) pp81-93.
 {{doi|10.1007/BF02413316}}</ref>という論文として発表された。この成果にて、コワレフスカヤは[[スウェーデン科学アカデミー]]から賞を授与された。また、1890年に[[科学アカデミー (フランス)|フランス学士院科学アカデミー]]の諸学者から提出された論文集（Memoirs presentes par divers savants）に『固定点を中心とする剛体の回転運動の問題の、時間についての超楕円関数によって求積される特別な場合について』<ref name ="kow1990b">S. Kovalevskaya, "Memoire sur un cas particulier du probleme de la rotation d’un corps pesant autour d’un point fixe, ou l’integration s’effectue a l’aide de fonctions ultraelliptique du
temps," Memoirs presentes par divers savants etrangers a l’Academie des Sciences de l’Institut National de France. Paris. 1890. vol.31. pp.1-62.</ref>
が巻頭論文として掲載された。

== 脚注 ==
 {{reflist}} 

== 参考文献 ==

* [[戸田盛和]] 『波動と非線形問題30講 (物理学30講シリーズ)』朝倉書店 (1995年)、ISBN 978-4254136333
* [[大貫義郎]]、[[吉田春夫]] 『力学 (現代物理学叢書)』 岩波書店（2001年）、ISBN 978-4000067614
* Michael J. Bradley , ''Foundations of Mathematics: 1800 to 1900 (Pioneers in Mathematics)'' , Chelsea House Pub (L) (2006	); [[マイケル・J．ブラッドリー]] （著）、[[松浦俊輔]]（翻訳）『数学を拡げた先駆者たち―無限、集合、カオス理論の誕生』 青土社 (2009年) ISBN 978-4791791736

== 関連項目 ==

* [[可積分系]]
* [[オイラーのコマ]]
* [[ラグランジュのコマ]]

{{DEFAULTSORT:こわれふすかやのこま}}
[[Category:力学]]
[[Category:古典力学]]
[[Category:可積分系]]
[[Category:物理学のエポニム]]