コンパクト一様収束のソースを表示

{{refimprove|date=January 2010}}
[[数学]]において'''コンパクト一様収束'''あるいは'''コンパクト収束'''、あるいは'''広義一様収束''' (compact convergence, uniform convergence on compact sets) とは、[[一様収束]]の概念を一般化した{{仮リンク|関数列の収束|en|limit of a sequence|label=収束}}のタイプである。[[コンパクト開位相]]と関係する。詳細には値域が[[距離空間]]（あるいはより一般に[[一様空間]]）であれば、コンパクト開位相で収束する必要十分条件は、定義域の各コンパクト部分集合上で一様収束する事（これを広義一様収束あるいはコンパクト収束という）である。

==定義==
<math>(X, \mathcal{T})</math> を[[位相空間]]とし、<math>(Y,d_{Y})</math> を[[距離空間]]とする。関数列

:<math>f_{n}\colon X \to Y</math>, <math>n \in \mathbb{N},</math>

が <math>n \to \infty</math> のとき関数 <math>f \colon X \to Y</math> に'''コンパクト収束'''するとは、すべての[[コンパクト集合]] <math>K \subseteq X</math> に対して <math>f_n|_K</math> が <math>n \to \infty</math> のとき <math>K</math> 上 <math>f|_{K}</math> に[[一様収束]]することをいう。これはすべてのコンパクトな <math>K \subseteq X</math> に対して

:<math>\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in K} d_{Y} \left( f_{n} (x), f(x) \right) = 0</math>

が成り立つことを意味する。

==例==
* <math>X = (0, 1) \subset \mathbb{R}</math> および <math>Y = \mathbb{R}</math>（通常の位相）とし、<math>f_{n} (x) := x^{n}</math> とすれば、<math>f_{n}</math> は定数関数 0 にコンパクト収束するが、一様収束ではない。

* <math>X=(0,1],\,Y=\R</math> とし、<math>f_n(x)=x^n</math> とすれば、<math>f_n</math> は <math>(0,1)</math> 上 で0の値を， <math>\{1\}</math>上で 1の値を取る関数に[[各点収束]]するが、コンパクト収束しない。

* コンパクト収束を示す非常に強力な道具は[[アスコリ・アルツェラの定理]]である。この定理にはいくつかのバージョンがあるが、おおまかに言えば、[[同程度連続]]かつ[[一様有界]]な写像の列は連続写像にコンパクト収束する部分列を持つ、というものである。

==性質==
* 一様に <math>f_{n} \to f</math> であれば、コンパクトに <math>f_{n} \to f</math> である。
* <math>(X, \mathcal{T})</math> が[[コンパクト空間]]でコンパクトに <math>f_{n} \to f</math> であれば、一様に <math>f_{n} \to f</math> である。
* <math>(X, \mathcal{T})</math> が[[局所コンパクト]]であれば、コンパクトに <math>f_{n} \to f</math> であることと局所一様に <math>f_{n} \to f</math> であることは同値である。
* <math>(X, \mathcal{T})</math> が{{仮リンク|コンパクト生成空間|en|compactly generated space}}であり、コンパクトに <math>f_n\to f</math> であり、各 <math>f_n</math> が[[連続関数|連続]]であれば、<math>f</math> は連続である。

==関連項目==
*{{仮リンク|Modes of convergence (annotated index)|en|Modes of convergence (annotated index)}}
*[[モンテルの定理]]

==参考文献==
*R. Remmert ''Theory of complex functions'' (1991 Springer) p. 95


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