コンパクト群のソースを表示

<!--{{about|mathematics|astronomy of galaxies|galaxy group}}-->
[[Image:Circle as Lie group.svg|right|thumb|[[複素平面]]において中心が {{math|0}} で半径が {{math|1}} の[[円周]]は複素数の乗法についてコンパクトリー群である。]]

[[数学]]において、'''コンパクト'''（'''位相'''）'''群'''とは[[位相空間|位相]]が[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[位相群]]である。コンパクト群は[[離散位相]]をいれた[[有限群]]の自然な一般化であり、重要な性質が持ち越される。コンパクト群は[[群作用]]と[[表現論]]に関してよく理解された理論を持つ。

以下では常に群は[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]と仮定する。

==コンパクトリー群==

[[リー群]]は位相群の非常に良いクラスをなし、コンパクトリー群は特によく発展した理論を持つ。コンパクトリー群の基本的な例には以下がある{{sfn|Hall|2015|loc=Section 1.2}}。：
* [[円周群]] {{math|'''T'''}} と[[トーラス群]] {{math|'''T'''<sup>''n''</sup>}}
* [[直交群]] {{math|O(''n'')}}、 [[特殊直交群]] {{math|SO(''n'')}} とその被覆[[スピン群]] {{math|Spin(''n'')}}
* [[ユニタリ群]] {{math|U(''n'')}} と[[特殊ユニタリ群]] {{math|SU(''n'')}}
* [[シンプレクティック群]] {{math|Sp(''n'')}}
* [[例外型リー群]] {{仮リンク|G2 (数学)|en|G2 (mathematics)|preserve=1|label={{math|G{{sub|2}}}}}}, {{仮リンク|F4 (数学)|en|F4 (mathematics)|label={{math|F{{sub|4}}}}}}, {{仮リンク|E6 (数学)|en|E6 (mathematics)|label={{math|E{{sub|6}}}}}}, {{仮リンク|E7 (数学)|en|E7 (mathematics)|label={{math|E{{sub|7}}}}}}, {{仮リンク|E8 (数学)|en|E8 (mathematics)|label={{math|E{{sub|8}}}}|preserve=1}} のコンパクト形
コンパクトリー群の[[分類定理]]は有限[[群の拡大|拡大]]と有限[[被覆群|被覆]]の違いを除いてこれらが例の全てを尽くしている（すでにいくらか重複がある）と述べている。

===分類===

任意のコンパクトリー群 {{mvar|G}} が与えられたとき、その{{仮リンク|単位元成分|en|identity component}} {{math|''G''<sub>0</sub>}} を取ることができ、それは[[連結空間|連結]]である。[[商群]] {{math|''G''/''G''<sub>0</sub>}} は連結成分の群 {{math|''&pi;''<sub>0</sub>(''G'')}} であり、これは {{mvar|G}} がコンパクトだから有限でなければならない。したがって有限拡大
:<math>1\to G_0 \to G \to \pi_0(G) \to 1\,</math>

がある。さてすべてのコンパクト連結リー群 {{math|''G''<sub>0</sub>}} は有限被覆
:<math>1\to A\to \tilde{G}_0\to G_0\to 1\,</math>

を持つ。ただし <math>A\sub Z(\tilde{G}_0)</math> は有限[[アーベル群]]であり、<math>\tilde{G_0}</math> はトーラスとコンパクト連結単連結リー群 {{mvar|K}} の積である：
:<math>\tilde{G}_0 \cong \mathbb T^m \times K.</math>

最後に、すべてのコンパクト連結単連結リー群 {{mvar|K}} はコンパクト連結単連結[[単純リー群]] {{mvar|K{{sub|i}}}} であってそれぞれが以下のいずれかただ1つと同型であるようなものの積である。：
*{{math|Sp(''n''), ''n'' &ge; 1}}
*{{math|SU(''n''), ''n'' &ge; 3}}
*{{math|Spin(''n''), ''n'' &ge; 7}}
*{{仮リンク|G2 (数学)|en|G2 (mathematics)|preserve=1|label={{math|G{{sub|2}}}}}}, {{仮リンク|F4 (数学)|en|F4 (mathematics)|label={{math|F{{sub|4}}}}}}, {{仮リンク|E6 (数学)|en|E6 (mathematics)|label={{math|E{{sub|6}}}}}}, {{仮リンク|E7 (数学)|en|E7 (mathematics)|label={{math|E{{sub|7}}}}}}, {{仮リンク|E8 (数学)|en|E8 (mathematics)|label={{math|E{{sub|8}}}}|preserve=1}}

==さらなる例==

リー群でない群、したがって[[多様体]]の構造を持たない群の中で、例は [[p進数|{{mvar|p}} 進整数]]のなす加法群 {{math|'''Z'''<sub>''p''</sub>}} やそれから構成されるものである。実は任意の[[射有限群]]はコンパクト群である。これは[[ガロワ群]]がコンパクト群であることを意味し、無限次の[[代数拡大]]の理論にとって基本的な事実である。

[[ポントリャーギン双対性]]により可換コンパクト群の例がたくさん与えられる。これらは可換[[離散群]]と双対である。

==ハール測度==

コンパクト群はすべて[[ハール測度]]を持ち<ref>{{Citation | last = Weil | first = André | author-link = André Weil | title = L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications | series = Actualités Scientifiques et Industrielles | publisher = Hermann | year = 1940 | place = Paris | volume = 869}}</ref>、それは左右両方の移動によって不変である（モジュラス関数は正の実数 {{math|('''R'''{{sup|+}}, &times;)}} への連続[[準同型]]でなければならないので {{math|1}} である）。言い換えると、これらの群は[[ユニモジュラー群|ユニモジュラー]]である。ハール測度は、円周上の {{math|''d&theta;'/2''&pi;}} と同様、容易に[[確率測度]]に正規化される。''

そのようなハール測度は多くの場合計算が容易である；例えば直交群に対しては[[フルヴィッツ]] (Hurwitz) に知られており、リー群の場合には必ず不変[[微分形式]]によって与えることができる。射有限の場合には[[指数 (群論)|指数有限]]の部分群が多くあり、剰余類のハール測度は指数の逆数になる。したがって、積分はしばしばきわめて直接的に計算可能であり、この事実は[[数論]]においてよく使われる。

==表現論==

コンパクト群の表現論は{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}によって基礎づけられた<ref>{{citation|first1=F.|last1=Peter|first2=H.|last2=Weyl|title=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal=Math. Ann.|volume=97|year=1927|pages=737–755|doi=10.1007/BF01447892}}.</ref>。[[ヘルマン・ワイル]] (Hermann Weyl) は続けて[[極大トーラス]]の理論に基づいてコンパクト連結リー群の詳細な[[指標理論]]を与えた{{sfn|Hall|2015|loc=Part III}}。その結果の[[ワイルの指標公式]]は20世紀の数学の影響力の大きい結果の1つであった。

ワイルの仕事と{{仮リンク|閉部分群定理|en|Closed subgroup theorem|label=カルタンの定理}}を合わせるとコンパクト群 {{mvar|G}} の表現論全体のサーベイが得られる。つまり、ピーター・ワイルの定理によって {{mvar|G}} の既約ユニタリ表現 {{mvar|&rho;}} は（有限次元）ユニタリ群に入り、その像はコンパクト性によりユニタリ群の閉部分群となる。カルタンの定理は {{math|Im(''&rho;'')}} がそれ自身ユニタリ群のリー部分群でなければならないと述べている。{{mvar|G}} がそれ自身リー群でないときは、{{mvar|&rho;}} の核が無ければならない。さらに {{mvar|&rho;}} の小さくなる核に対して、有限次元ユニタリ表現の[[逆系]]を構成でき、それにより {{mvar|G}} はコンパクトリー群の[[逆極限]]と同一視される。ここで極限で {{mvar|G}} の[[忠実表現]]が見つかるという事実はピーター・ワイルの定理の別の結果である。

コンパクト群の表現論の未知の部分はしたがって、大まかに言って、{{仮リンク|有限群の複素表現|en|complex representations of finite groups}}に投げ返される。この理論は詳細にかなり豊かだが、質的によく理解されている。

==双対性==

コンパクト群をその表現論から復元する話題は[[淡中・クライン双対性]]の主題であり、今ではしばしば[[淡中圏]]の理論のことばで書き直されている。

==コンパクト群から非コンパクト群へ==

コンパクト群論の非コンパクト群への影響は{{仮リンク|ワイルのユニタリトリック|en|unitarian trick}}によって定式化された。一般の[[半単純リー群]]の中には[[極大コンパクト部分群]]があり、そのような群の表現論は、多くが{{仮リンク|ハリシュ゠チャンドラ|en|Harish-Chandra}}によって発展されたが、表現のそのような部分群への{{仮リンク|表現の制限|label=制限|en|restriction of a representation}}やワイルの指標の理論のモデルを集中的に用いる。

==関連項目==
*[[局所コンパクト群]]
*{{仮リンク|p-コンパクト群|en|p-compact group|label={{mvar|p}}-コンパクト群}}
*[[プロトーラス]]

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{citation|year=2015|first=Brian C.|last=Hall|title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=222|publisher=Springer|isbn= 0-387-40122-9}}
*{{Citation
 | last1 = Hofmann | first1 = Karl H. |authorlink1=Karl Heinrich Hofmann
 | last2 =  Morris | first2 =  Sidney A. |authorlink2=Sidney Morris
 | year = 1998
 | title = The structure of compact groups
 | publisher = de Gruyter
 | location = Berlin
 | isbn = 3-11-015268-1
}}

{{DEFAULTSORT:こんはくとくん}}
[[Category:位相群]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:フーリエ解析]]
[[Category:数学に関する記事]]