コーエン・マコーレー環のソースを表示

{{distinguish|コーエン環|コーエン代数}}
[[数学]]において、'''コーエン・マコーレー環''' ({{lang-en-short|Cohen–Macaulay ring, CM ring}}) は局所{{仮リンク|等次元性|en|equidimensionality}}のような[[特異点 (数学)|非特異]]多様体の[[代数幾何]]的な性質のいくつかをもった[[可換環]]のタイプである。

名称は[[純性定理]]を[[多項式環]]に対して証明した{{harvtxt|Macaulay|1916}}と、純性定理を[[形式的冪級数環]]に対して証明した{{harvtxt|Cohen|1946}}による。すべての Cohen–Macaulay 環は純性定理が成り立つ。

可換ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。
:{{仮リンク|強鎖状環|en|universally catenary ring}} &sup; '''コーエン・マコーレー環''' &sup; [[ゴレンシュタイン環]] &sup; [[完全交叉環]] &sup; [[正則局所環]]

== 定義 ==
{{mvar|R}} を可換[[ネーター環]]とする。以下では{{harvtxt|Bruns|Herzog|1998}}に従って定義を述べる。
;局所環の場合
{{mvar|R}} がさらに[[局所環]]であるとする。[[有限生成加群|有限生成]] {{mvar|R}}-加群 {{math|''M'' &ne; 0}} が {{math|[[クルル次元#加群のクルル次元|dim]]''M'' {{=}} [[深度 (環論)|depth]]''M''}} を満たすとき<ref>一般には {{math|dim''M'' &ge; depth''M''}} が成り立つ{{harv|Bruns|Herzog|1998|loc={{google books quote|id=LF6CbQk9uScC|page=12|Proposition 1.2.12}}}}。</ref>、{{mvar|M}} は'''コーエン・マコーレー加群'''であるという。さらに {{math|dim''M'' {{=}} dim''R''}} が成り立つとき、{{mvar|M}} は'''極大コーエン・マコーレー加群'''であるという。また[[正則加群]] {{mvar|R}} がコーエン・マコーレー加群のとき、{{mvar|R}} は'''コーエン・マコーレー環'''であるという。
;一般の場合
{{mvar|R}}-加群 {{mvar|M}} はすべての[[極大イデアル]] {{math|'''m''' &isin; [[加群の台|Supp]]''M''}} に対して[[加群の局所化|局所化]] {{math|''M''<sub>'''m'''</sub>}} がコーエン・マコーレー加群のとき、{{mvar|M}} は'''コーエン・マコーレー加群'''であるという。さらに極大イデアル {{math|'''m''' &isin; Supp''M''}} に対して {{math|''M''<sub>'''m'''</sub>}} が極大コーエン・マコーレー加群のとき、{{mvar|M}} は'''極大コーエン・マコーレー加群'''であるという。また正則加群 {{mvar|R}} がコーエン・マコーレー加群のとき、{{mvar|R}} は'''コーエン・マコーレー環'''であるという。

== 例 ==
以下の環は Cohen–Macaulay である。
* [[正則局所環]]{{sfn|Bruns|Herzog|1998|loc={{google books quote|id=LF6CbQk9uScC|page=66|Corollary 2.2.6}}}}（例えば体や ''K''<nowiki>[[</nowiki>''x''<nowiki>]]</nowiki>）
* [[アルティン環]]
* 1次元ネーター[[被約環]]
* 2次元[[正規環]]
* [[ゴレンシュタイン環|Gorenstein 環]]。とくに、{{仮リンク|完交環|en|complete intersection ring}}
* <math>R</math> が標数 0 の体上の Cohen–Macaulay 多元環で ''G'' が有限群（より一般に reductive algebraic group）のとき、不変式環 <math>R^G</math>。これは{{仮リンク|Hochster–Roberts の定理|en|Hochster–Roberts theorem}}である。

* 環 ''K''[''x'']/(''x''²) は局所アルティン環なので Cohen–Macaulay だが、正則でない。
* ''K''[[''t''<sup>2</sup>, ''t''<sup>3</sup>]]、ただし ''t'' は不定元、は正則でないが Gorenstein でありしたがって Cohen–Macaulay な1次元局所環の例である。
* ''K''[[''t''<sup>3</sup>, ''t''<sup>4</sup>, ''t''<sup>5</sup>]]、ただし ''t'' は不定元、は Gorenstein でないが Cohen–Macaulay である1次元局所環の例である。

{{仮リンク|有理特異性|en|Rational singularity}}は Cohen–Macaulay だが Gorenstein とは限らない。

== 性質 ==
* 局所環が Cohen–Macaulay であることとその[[完備化 (環論)|完備化]]が Cohen–Macaulay であることは同値である。
* 環 ''R'' が Cohen–Macaulay であることと[[多項式環]] ''R''[''x''] が Cohen–Macaulay であることは同値である。
* Cohen–Macaulay 環の商環は{{仮リンク|強鎖状環|en|universally catenary ring}}である{{sfn|Matsumura|1989|loc={{google books quote|id=yJwNrABugDEC|page=137|Theorem 17.9}}}}。

== 反例 ==
* ''K'' が体であれば、形式的冪級数環の商 <math>K[[x,y]]/(x^2,xy)</math> （局所環の、埋め込まれた二重点をもつ直線の二重点における完備化）は Cohen–Macaulay ''でない''、なぜならば[[深さ (環論)#深さ0の環|深さ0]]だが次元1だからだ。
* ''K'' が体であれば、環 <math>K[[x,y,z]]/(xy,xz)</math> （局所環の、平面と直線の共通部分における完備化）は Cohen–Macaulay ''でない''（{{仮リンク|等次元|en|equidimensionality}}ですらない）。<math>x-z</math> で割ると直前の例を得る。
* ''K'' が体であれば、環 <math>K[[w,x,y,z]]/(wy,wz,xy,xz)</math> （局所環の、一点で交わる二平面の共通部分における完備化）は Cohen–Macaulay ''でない''。<math>w-x</math> で割ると直前の例を得る。

== 条件の帰結 ==
Cohen–Macaulay の条件の1つの意味は [[:en:coherent duality|coherent duality]] theory において見られる。ここで条件は''アプリオリ'' に[[導来圏]]にある ''dualizing object'' がただ1つの加群（[[連接層]]）によって表現されるケースに対応する。するとより良い ''Gorenstein'' の条件は射影的なこの加群（[[可逆層]]）によって表現される。非特異性（正則性）はなお強い条件である。これは幾何学的な対象のある点における滑らかさの概念に対応する。したがって、幾何学的な意味で、Gorenstein と Cohen–Macaulay の概念は滑らかな点よりも広い範囲の点、滑らかとは限らないが多くの意味で滑らかな点のように振る舞う点、を捕らえる。

== 純性定理{{anchors|unmixed}}==
[[ネーター環]] ''A'' のイデアル ''I'' は、''A''/''I'' の任意の[[随伴素因子|素因子]] ''P'' に対して ht(''I'') = ht(''P'') であるときに'''純''' (unmixed) と呼ばれる。環 ''A'' に対して'''純性定理''' (unmixedness theorem) が成り立つとは、イデアル ''I'' であって ht(''I'') 個の元で生成されるものがすべて純であることをいう。ネーター環が Cohen–Macaulay であることと純性定理が成り立つことは同値である。

== 脚注 ==
{{reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Citation | last1=Bruns | first1=Winfried | last2=Herzog | first2=Jürgen | title=Cohen-Macaulay rings | edition=Rev. | url=https://books.google.co.jp/books?id=LF6CbQk9uScC&redir_esc=y&hl=ja | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-41068-7 | zbl=0909.13005  | mr=1251956<!--This is 1993 version --> | year=1998 | volume=39 | ref=harv}}
*{{Citation | last1=Cohen | first1=I. S. | title=On the structure and ideal theory of complete local rings | url= http://www.jstor.org/stable/1990313 |mr=0016094 | year=1946 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=59 | pages=54–106 | doi=10.2307/1990313}} Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring". 
*{{SpringerEOM|title=Cohen–Macaulay ring|author=V. I. Danilov|urlname=Cohen–Macaulay_ring}}
* David Eisenbud, ''Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry'' (Springer), ISBN 0-387-94268-8 (hardcover), ISBN 0-387-94269-6 (soft cover)
*{{citation|first=F. S. |last= Macaulay|title=The algebraic theory of modular systems|publisher=Cambridge Univ. Press  |year=1916|url=http://projecteuclid.org/euclid.chmm/1263317740|isbn=1-4297-0441-1}}
* {{citation | last=Matsumura | first=Hideyuki | title=Commutative Ring Theory | url={{google books|yJwNrABugDEC|Commutative Ring Theory|plainurl=yes|page=156}} | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=8 | date=1989 | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-36764-6 | zbl=00043569 | ref=harv}}

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