コーシーの冪根判定法のソースを表示

{{Expand English|Root test|date=2024年5月}}
'''コーシーの冪根判定法'''(―のべきこんはんていほう、root test) とは、[[無限級数]]の[[収束級数|収束性]]を判定する方法の一つである。とりわけ、[[冪級数]]に関連することに有用である。「コーシーの冪根判定法」という名前は、これを最初に発見した[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]に由来する。

:<math>C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>

（"lim sup" は[[上極限]]を意味する）とするとき、''C'' &lt; 1 であれば級数は収束し、''C'' > 1 であれば[[発散級数|発散]]する。''C'' = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の[[項]]が ''c'' を中心とする冪級数

:<math>\sum_{n=0}^\infty a_n (z-c)^n</math>

の[[係数]]であれば、この冪級数の収束半径は 1/''C'' である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

== 証明 ==
証明は、[[比較判定法]]を利用したものである。もし、全ての <math>n\geq N</math> に対し <math>\sqrt[n]{a_n}<k<1</math> ならば、<math>a_n<k^n<1</math> が成立する。比較判定法より、[[幾何級数]] <math>\sum_{i=N}^\infty k^i</math> が収束すれば、<math>\sum_{i=N}^\infty a_n</math> もまた収束する。

もし、<math>\sqrt[n]{a_n}>1</math> ならば、<math>\sum_{i=N}^\infty 1</math> と比較して級数は発散する。a<sub>n</sub> が非正である場合の絶対収束性は、<math>\sqrt[n]{|a_n|}</math> を用いれば同様にして証明できる。

== 関連記事 ==
* [[ダランベールの収束判定法]]
* [[収束半径]]

== 参考文献 ==
* {{cite book
 | author= Knopp, Konrad
 | title= Infinite Sequences and Series
 | chapter = &sect;&nbsp;3.2
 | publisher=Dover publications, Inc.,  New York
 | year=1956
 | id = ISBN 0486601536}} 
* {{cite book
 | author= Whittaker, E. T., and Watson, G. N.
 | title= A Course in Modern Analysis
 | chapter = &sect;&nbsp;2.35
 | edition=fourth edition
 | publisher=Cambridge University Press
 | year=1963
 | id = ISBN 0521588073}}

{{DEFAULTSORT:こおしいのへきこんはんていほう}}
[[Category:微分積分学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]
[[Category:数学のエポニム]]
{{PlanetMath attribution|id=33934|title=Proof of Cauchy's root test}}

[[pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego]]