コーシーの積分公式のソースを表示

{{出典の明記|date=2018年4月}}
'''コーシーの積分公式'''（コーシーのせきぶんこうしき）は、'''コーシーの第2定理'''、'''コーシーの積分表示''' ({{lang-en-short|Cauchy's integral expression}}) ともいわれ、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]によって示された、[[ガウス平面]]上のある[[複素領域|領域]]において[[正則関数|正則な関数]]の[[周回積分]]についての定理である。

== 公式 ==
''D'' を[[単連結空間|単連結]][[領域 (解析学)|領域]]、''C'' を ''D'' 内にある[[長さ]]を持つ[[閉曲線|単純閉曲線]]、''f''(''z'') を ''D'' 上の[[正則関数]]とする。''C'' によって囲まれる領域の任意の 1 点 ''a'' において、以下の式が成立する。

: <math> f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-a}dz. </math>

また、この式を用いて ''f''(''z'') の ''n'' 階複素[[導関数]]を与えることができる。''a'' を ''z'' に置き換えて、積分変数を ''ζ'' で置き換えると

: <math> f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta. </math>

この式の両辺について、差分商<math> \frac{f(z+h)-f(z)}{h}</math>の極限をとることを繰り返すことで以下の式が示され、また正則な関数が複素変数の意味で無限回微分可能であることも示される。

: <math> f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} d\zeta\ </math>
<!-- == 証明など == -->

== 具体例 ==
[[File:ComplexResiduesExample.png|thumb|300px|関数<math>g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}</math>の実数部と特異点。また説明にある積分経路が描かれている。]]

具体的な例として関数は

:<math>g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}</math>

と経路''C''は|''z''| = 2(つまり半径2の円)とする。
関数''g''(''z'')について経路Cの積分を求めるため、''g''(''z'')の特異点を知る必要がある。
次のように''g''(''z'')を書き換えることができることに注意して

:<math>g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}</math>
ここで  <math>z_1=-1+i,</math> <math>z_2=-1-i.</math>である。

よって, ''g''(''z'')は<math>z_1</math>と<math>z_2</math>に極を持つ。
この極の[[絶対値]]は2よりも小さいため、経路Cより内側にある。
この積分は[[コーシーの積分定理]]により2つの積分に分割できる。

経路Cの積分は''z''<sub>1</sub> と ''z''<sub>2</sub>の各極周囲の小さな円の経路積分の和で表される。
それぞれ''z''<sub>1</sub>周囲の経路''C''<sub>1</sub>と''z''<sub>2</sub>周囲の経路''C''<sub>2</sub>と呼ぶ。これらのそれぞれ積分は、コーシー積分公式により解くことができるが、それらを公式が適用できるよう書き直す必要がある。

''C''<sub>1</sub>周囲の積分は、''f''<sub>1</sub>(''z'')&nbsp;=&nbsp;(''z''&nbsp;−&nbsp;''z''<sub>1</sub>)''g''(''z'')により与えられる。
これは[[正則関数]]である（経路内に他の特異点が含まれていないため）。
単純化するため ''f''<sub>1</sub> を
:<math>f_1(z)=\frac{z^2}{z-z_2}</math>

とすると、

:<math>g(z)=\frac{f_1(z)}{z-z_1}.</math>

コーシーの積分定理より

:<math>\oint_C \frac{f_1(z)}{z-a}\, dz=2\pi i\cdot f_1(a),</math>

積分を次のように評価できる。

:<math>
  \oint_{C_1} g(z)\,dz
 =\oint_{C_1} \frac{f_1(z)}{z-z_1}\,dz
 =2\pi i\frac{z_1^2}{z_1-z_2}.
</math>

もう一方の経路に対しても同様に行う。

:<math>f_2(z)=\frac{z^2}{z-z_1},</math>

:<math>
  \oint_{C_2} g(z)\,dz
 =\oint_{C_2} \frac{f_2(z)}{z-z_2}\,dz
 =2\pi i\frac{z_2^2}{z_2-z_1}.
</math>

元の経路''C''の積分は、これらの2つの積分の合計である。

:<math>\begin{align}
     \oint_C g(z)\,dz
&{}= \oint_{C_1} g(z)\,dz
   + \oint_{C_2} g(z)\,dz \\[.5em]
&{}= 2\pi i\left(\frac{z_1^2}{z_1-z_2}+\frac{z_2^2}{z_2-z_1}\right) \\[.5em]
&{}= 2\pi i(-2) \\[.3em]
&{}=-4\pi i.
\end{align}</math>

他の解法では[[部分分数分解]]を使った初歩的な技法により積分が求められる。

:<math>
  \oint_C g(z)\,dz
 =\oint_C \left(1-\frac{1}{z-z_1}-\frac{1}{z-z_2}\right) \, dz
 =0-2\pi i-2\pi i
 =-4\pi i
</math>

==参考文献==
* {{citation|first=Lars|last=Ahlfors|authorlink=Lars Ahlfors|title=Complex analysis|publisher=McGraw Hill|edition=3rd|year=1979|isbn=978-0-07-000657-7}}.
* [http://www.zentralblatt-math.org/zmath/en/advanced/?q=an:36.0454.04] [http://archive.numdam.org/ARCHIVE/AFST/AFST_1905_2_7_3/AFST_1905_2_7_3_265_0/AFST_1905_2_7_3_265_0.pdf] D. Pompeiu, ''Sur la continuité des fonctions de variables complexes'', Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), pp.&nbsp;265&ndash;315
*{{citation|first=E.C.|last=Titchmarsh|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Theory of functions|publisher=[[Oxford University Press]]|year=1939|edition=2nd}}
* {{citation|first=Lars|last=Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=An introduction to complex analysis in several variables|publisher=Van Nostrand|year=1966}}
* {{citation|first=Lars|last=Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=The Analysis of Linear Partial Differential Operators I|year=1983|publisher=Springer|isbn=3-540-12104-8}}
* {{citation |last1=Doran|first1=Chris |last2=Lasenby |first2=Anthony |title=Geometric Algebra for Physicists | publisher=Cambridge University Press|year=2003 |isbn=978-0-521-71595-9 }}


== 関連項目 ==
* [[微分]]
* [[積分]]
* [[偏微分]]
* [[複素平面]]
* [[コーシーの積分定理]]
* [[留数]]


{{mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:こおしいのせきふんこうしき}}
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]