コーシー分布のソースを表示

{{確率分布
|名前 = コーシー（ローレンツ）分布
|型 = 密度
|画像/確率関数 = [[画像:Cauchy distribution pdf.png|325px|コーシー分布の確率密度関数]]<br /><span style="font-size:90%">緑線が標準コーシー分布</span>
|画像/分布関数 = [[画像:Cauchy distribution cdf.png|325px|コーシー分布の累積分布関数]]<br /><span style="font-size:90%">色は確率密度関数と同じ</span>
|母数 = <math>x_0 \in \mathbb{R}</math> [[位置母数|位置]]<br /><math>\gamma >0</math> [[尺度母数|尺度]]
|台 = <math>x \in (-\infty ,+\infty)</math>
|確率関数 = <math>\frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(x-x_0 )^2 +
 \gamma^2}</math>
|分布関数 = <math>\frac{1}{\pi} \arctan \left( \frac{x-x_0}{\gamma} \right) +\frac{1}{2}</math>
|期待値 = なし
|中央値 = <math>x_0</math>
|最頻値 = <math>x_0</math>
|分散 = なし
|歪度 = なし
|尖度 = なし
|エントロピー = <math>\ln (4\pi \gamma)</math>
|モーメント母関数 = なし
|特性関数 = <math>\exp (x_0 it-\gamma |t|)</math>
}}
'''コーシー分布'''（コーシーぶんぷ、{{lang-en|Cauchy distribution}}）は、[[連続確率分布]]の一種である。分布の名称は、フランスの数学者[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]に因む。[[確率密度関数]]は以下の式で与えられる。
:<math>f(x;x_0 ,\gamma )=\frac{1}{\pi \gamma \left[ 1+\left( \dfrac{x-x_0}{\gamma} \right)^2 \right]} =\frac{1}{\pi} \frac{\gamma}{(x-x_0 )^2 +\gamma^2}</math>
ここで {{math|''x''{{sub|0}}}} は分布の[[最頻値]]を与える{{ill|位置母数|en|Location parameter}}、{{mvar|γ}} は[[半値半幅]]を与える{{ill|尺度母数|en|Scale parameter}}である。

この分布は、[[ヘンドリック・ローレンツ]]の名を取って'''ローレンツ分布'''と呼ばれることもあり、またこれら2人の名前を合わせて'''コーシー-ローレンツ分布'''とも呼ばれる。また[[物理学]]の分野では、'''ブライト・ウィグナー分布'''という名前で知られている。この分布は強制[[共鳴]]を記述する微分方程式の解となることから、物理学では重要な存在となっている。また[[分光法|分光学]]では共鳴広がりを含む多くのメカニズムによって広げられたスペクトル線の形状を記述するために用いられる。以下では、統計学における名称であるコーシー分布を用いて説明する。

{{math2|''x''{{sub|0}} {{=}} 0}}, {{math2|''γ'' {{=}} 1}} である場合、この分布は標準コーシー分布と呼ばれ、以下の確率密度関数で与えられる。
:<math>f(x;0,1)=\frac{1}{\pi (1+x^2 )}</math>

== 性質 ==
[[累積分布関数]]は以下のようになる。
:<math>F(x;x_0 ,\gamma )=\frac{1}{\pi} \arctan \left( \frac{x-x_0}{\gamma} \right) +\frac{1}{2}</math>
また、逆累積分布関数は次の通りである。
:<math>F^{-1} (p;x_0 ,\gamma )=x_0 +\gamma \tan (\pi (p-1/2)).</math>

コーシー分布は、[[期待値]]や[[分散 (確率論)|分散]]（およびより高次の[[モーメント (確率論)|モーメント]]）が定義されない分布の例として知られる。最頻値と[[中央値]]は常に定義され、それらはいずれも {{math|''x''{{sub|0}}}} で与えられる。

{{mvar|X}} をコーシー分布に従う[[確率変数]]とする。コーシー分布の[[特性関数]]は以下のように与えられる。
:<math>\phi_x (t;x_0 ,\gamma )=\mathrm{E} (e^{iXt} )=\exp(ix_0 t-\gamma |t|).</math>
{{mvar|U}} と {{mvar|V}} を標準正規分布（期待値0、分散1の[[正規分布]]）に従う互いに独立な確率変数であるとすると、それらの比 {{math|''U'' / ''V''}} は標準コーシー分布に従う。

{{math2|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}, …, ''X{{sub|n}}''}} をあるコーシー分布に従う独立な確率変数列とすると、それらの[[平均#相加平均|算術平均]]<math>\overline{X} =\frac{X_1 +\dotsb +X_n}{n}</math> は再び同じ位置母数、尺度母数を持つコーシー分布に従う（[[再生性]]）。この性質は、算術平均の特性関数が
:<math>\begin{align}
\phi_{\overline{X}} (t) &=\operatorname{E} \left( e^{i\overline{X} ,t} \right)
=\operatorname{E} \left( e^{iX_1 t/n} \dotsb e^{iX_n t/n} \right) \\
  &= \operatorname{E} \left( e^{iX_1 t/n}\right) \dotsb \operatorname{E} \left( e^{iX_nt/n} \right) =\operatorname{E} \left( e^{iXt/n} \right)^n \\
  &=\exp(ix_0 t/n-\gamma |t/n|)^n =\phi_X (t)
\end{align}</math>

となることから導かれる。このように、コーシー分布に従う確率変数を増やしても、その算術平均の分布は正規分布に近づかないため、[[中心極限定理]]における有限分散の仮定は必須であることが分かる。また、これは[[安定分布]]族（コーシー分布は安定分布族に含まれる）における一般化中心極限定理の例でもある。

コーシー分布は無限分解可能な分布である。

自由度1の[[T分布]]は、標準コーシー分布と一致する。

コーシー分布が属している位置尺度母数分布族は、実係数[[メビウス変換]]に関して閉じている。

=== 特性関数の求め方 ===
コーシー分布の特性関数の求め方は、標準コーシー分布の確率密度関数
:<math>\frac{1}{\pi (1+x^2 )}</math>
が[[複素平面]]上で {{math2|''x'' {{=}} ±''i''}} のみに1位の極を持つことを利用し、[[留数定理]]を用いて算出する。

== 期待値が定義されない理由 ==
コーシー分布の期待値は、<math>z= (x-x_0) / \gamma</math>と置換すると
:<math>\begin{align}
\operatorname{E} [x]
&=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\, dx=\int_{-\infty}^{\infty} x_0 f(x)\, dx+\int_{-\infty}^{\infty} (x-x_0 )f(x)\, dx\\
&=x_0+\frac{\gamma}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x-x_0}{(x-x_0)^2+\gamma^2} \, dx\\
&=x_0 + \frac{\gamma}{\pi} \lim_{R_1, R_2 \to \infty} \int_{-R_1}^{R_2} \frac{z}{1+z^2} \, dz =x_0 + \frac{\gamma}{2\pi} \lim_{R_1 ,R_2 \to \infty} \left[ \log (1+z^2 ) \right]^{R_2}_{-R_1}\\
&=x_0 + \frac{\gamma}{2\pi} \lim_{R_1, R_2 \to \infty} \log \left( \frac{1+{R_2}^2}{1+{R_1}^2}\right)
\end{align}</math>
となるが、この[[広義積分]]の値は存在せず（十分大きな {{math2|''R''{{sub|1}}, ''R''{{sub|2}}}} について、<math>\log \left( (1+{R_2}^2)/(1+{R_1}^2) \right)</math>は <math>(-\infty ,\infty )</math> のどのような値でも取りうるので、二重極限としての収束値は存在しない）、このため期待値は存在しない。なお、[[コーシーの主値]] <math>\lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R xf(x)\, dx</math> は {{math|''x''{{sub|0}}}} である。

[[大数の法則|大数の強法則]]など、期待値に関する確率論のさまざまな結果は、このようなケースでは成立しない。

また、コーシー分布に従う母集団から無作為抽出された標本に関する算術平均は、ただ一つの抽出による結果からは一切改善されない。これは、標本に極端に大きな（あるいは小さな）値が含まれる可能性がかなり高いからである。しかし、標本中央値（これは極端な値には影響を受けない）は中心（最頻値）を知るための一つの尺度となりうる。

== 2次モーメントが無限大になる理由 ==
期待値が定義されない限り、分散や標準偏差を考えることは不可能である。しかし、原点を中心とした2次モーメントを考えることは可能である。しかし、これもまた無限大となる。
:<math>\operatorname{E} (X^2 ) \propto \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{1+x^2} \,dx =\int_{-\infty}^{\infty} dx - \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx=\infty -\pi =\infty.</math>

== 相対論的ブライト・ウィグナー分布 ==
[[原子核物理学]]および[[素粒子物理学]]において、共鳴のエネルギー特性は相対論的ブライト・ウィグナー分布によって記述される。

== 関連項目 == 
* [[確率分布]]
* [[安定分布]]
* [[t分布]]
* [[フォークト関数]]
* [[ドニアック＝シューニッチ関数]]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:こしふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:原子核物理学]]
[[Category:オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ユージン・ウィグナー]]