コーシー問題のソースを表示

[[数学]]における'''コーシー問題'''（コーシーもんだい、{{Lang-en-short|Cauchy problem}}）とは、定義域の[[超曲面]]上で与えられる特定の条件を満たすような[[偏微分方程式]]の解を探す、という問題である。コーシー問題は[[初期値問題]]でもあり得るし、[[境界値問題]]（この場合については、[[コーシー境界条件]]を参照）でもあり得る。さらには、それらのいずれでも無いこともあり得る。[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]の名にちなむ。

'''R'''<sup>''n''</sup> 上で定義される偏微分方程式と、''n'' &minus; 1 次元の{{仮リンク|可微分多様体|label=滑らかな多様体|en|differentiable manifold|preserve=1}} ''S'' ⊂ '''R'''<sup>''n''</sup>（''S'' は{{仮リンク|コーシー曲面|en|Cauchy surface}}と呼ばれる）を考える。この場合のコーシー問題は、次を満たす微分方程式の解 ''u'' を見つける、という問題である：
: <math> \begin{align}
u(x) &= f_0(x) \qquad && \text{for all } x\in S; \\
\frac{\partial^k u(x)}{\partial n^k} &= f_k(x) \qquad && \text{for } k=1,\ldots,\kappa-1 \text{ and all } x\in S.
\end{align} </math>
ここで <math>f_k</math> は曲面 <math>S</math> 上で定義される、与えられた関数である（それらはまとめて'''コーシーデータ'''と呼ばれる）。また、''n'' は ''S'' への[[法線ベクトル]]であり、κ は微分方程式の階数を表す。

[[コーシー＝コワレフスカヤの定理]]では、コーシー問題が唯一つの解を持つための条件が述べられている。それらの条件のうち最も重要なものは、偏微分方程式の係数とコーシーデータが[[解析関数|実解析関数]]、という条件である。

<!-- == 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}} -->
== 参考文献 ==
* {{Citation
|last = Hadamard
|first = Jacques
|year = 2003
|title = Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations
|publisher = Dover Publications
|place = New York
|series = Dover Phoenix
|isbn = 0-486-49549-3
|url = https://books.google.co.jp/books?id=B25O-x21uqkC&redir_esc=y&hl=ja
}}

== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Cauchy problem}} -->
* [[コーシー境界条件]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/CauchyProblem.html Cauchy problem] at [[MathWorld]].

{{Mathanalysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:こおしいもんたい}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]