コーシー＝シュワルツの不等式のソースを表示

{{出典の明記|date=2015-12}}
[[数学]]における'''コーシー＝シュワルツの不等式'''（コーシーシュワルツのふとうしき、{{lang-en-short|Cauchy–Schwarz inequality}}）、'''シュワルツの不等式'''、'''シュヴァルツの不等式'''あるいは'''コーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式''' {{lang|en|(Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality)}} とは、[[計量ベクトル空間|内積空間]]において、2つのベクトルの[[内積]]の絶対値はその2つの[[ノルム]]の積以下であることを主張する[[不等式]]である。

[[線型代数学]]や[[関数解析学]]における有限次元および無限次元のベクトルの内積や、[[確率論]]における[[分散 (確率論)|分散]]や[[共分散]]に適用されるなど、様々な状況で現れる有用な不等式である。

数列に対する不等式は[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]によって1821年に、積分系での不等式はまず[[ヴィクトール・ブニャコフスキー]]によって1859年に発見された後[[ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ]]によって1888年に再発見された。

== 定理の内容と意義 ==
{{math2|''x'', ''y''}} が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[計量ベクトル空間|内積空間]] <math>(X,\langle \cdot,\cdot\rangle)</math> の元であるとき、コーシー＝シュワルツの不等式は次のように表される：
:<math>\langle x,y\rangle^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
これの等号成立は、{{math2|''x'', ''y''}} が[[線型独立|線型従属]]であるとき、つまり {{math2|''x'', ''y''}} の一方が 0 であるか、さもなくば平行であるときである。内積の導く[[ノルム]] <math>\|x\|^2:=\langle x,x\rangle</math> を用いればこれは
:<math>|\langle x,y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</math>
とも表せる。

コーシー＝シュワルツの不等式の重要な帰結として、内積が2つのベクトルについて[[連続写像|連続]]であるということが挙げられる。従って特に、ベクトル {{mvar|x}} に対する連続[[汎函数]] <math>\langle x,\cdot\rangle</math> あるいは <math>\langle \cdot,x\rangle</math> を定めることができる。さらに、ベクトル {{mvar|x}} に汎函数 <math>x^* \colon y \mapsto \langle y,x\rangle</math> を[[作用 (数学)|作用]]させると等長作用素になっていることも従う。

また、この定理の系として[[計量ベクトル空間|内積ノルム]]に関する[[三角不等式]]
:<math>\Vert x+y \Vert \le \Vert x\Vert + \Vert y\Vert</math>
が導かれる。これの等号成立は、{{mvar|x}} と {{mvar|y}} の一方が他方の非負実数倍であるときである。

== 証明 ==
定理には数多くの証明が知られている。

=== 判別式による証明 ===
実内積空間におけるシュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその[[判別式]]を用いるものがある。実際、{{mvar|t}} を実変数（あるいは任意の実定数）として
:<math>0 \le \langle \boldsymbol{x} + t\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} + t\boldsymbol{y} \rangle = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle + 2 \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle t + \langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y} \rangle t^2</math>
が（内積の[[加法的写像|加法性]]により）{{mvar|t}} に依らず成立し、{{mvar|t}} の絶対二次[[不等式]]となる。ゆえに、二次不等式についてよく知られた事実により、この {{mvar|t}} の二次式の判別式 Δ は半負定値（[[符号 (数学)|非正]]）でなければならない：
:<math>\Delta/4 = \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \rangle^2 - \langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \rangle \langle \boldsymbol{y}, \boldsymbol{y} \rangle \le 0.</math>
ここからコーシー＝シュワルツの不等式を得る。

複素内積空間においても同様の証明がある。この場合は、{{bra-ket|'''{{mvar|x}}'''|'''{{mvar|y}}'''}} なる[[ブラ-ケット記法|内積]]を考えるとき、実数 {{mvar|t}} と絶対値 1 の複素数 {{mvar|λ}} について
:<math>\langle \boldsymbol{x} + \lambda t \boldsymbol{y} | \boldsymbol{x} + \lambda t \boldsymbol{y} \rangle</math>
に対して同様の議論を行い、
:<math>\left(\operatorname{Re} \langle \boldsymbol{x} | \lambda \boldsymbol{y} \rangle\right)^2 - \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{x} \rangle \langle \boldsymbol{y} | \boldsymbol{y} \rangle \le 0</math>
が導かれる。特に <math>\lambda = \frac{\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle}{|\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle|}</math> とすると、これは絶対値 1 であり、
:<math>\operatorname{Re} \langle \boldsymbol{x} | \lambda \boldsymbol{y} \rangle = \operatorname{Re} \bar{\lambda} \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle = \operatorname{Re} \frac{\overline{\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle} \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle}{|\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle|} = |\langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{y} \rangle|</math>
であるから、定理の主張が得られる。

=== 直交射影による証明 ===
別の観点の証明として、直交射影を考える以下のものがある：{{math2|1={{norm|''y''}} = 0}} のときは、{{mvar|x}} と {{mvar|y}} の内積が 0 になり、問題の不等式は自明である。{{math2|{{norm|''y''}} > 0}} のときは、
:<math>t=\frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2}</math>
とすると、{{mvar|t y}} は {{mvar|x}} の {{mvar|y}}方向への直交射影である。実際、この {{mvar|t}} について {{math2|1=''z'' := ''x'' &minus; ''t y''}} は {{mvar|y}} に直交している。
:<math>0 \leq \|z\|^2 = \|x\|^2 - \|ty\|^2 = \frac{\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,y \rangle^2}{\|y\|^2}</math>
よりコーシー＝シュワルツの不等式が従う。不等式の等号成立は {{math2|1=''z'' = 0}}、即ち {{math2|''x'', ''y''}} が線型従属のときであることが分かる。

=== 数学的帰納法による証明 ===
標準内積を入れた[[数ベクトル空間]]で考えている場合は、成分表示すると
:<math>\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {y_i}^2 \right)</math>
となるが、特に[[ユークリッド空間]]（[[実数空間]]）'''R'''{{sup|''n''}}（つまり各成分 {{math2|''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}''}} が実数）の場合については、この不等式は {{mvar|n}} に関する[[数学的帰納法]]で証明することができる。各 {{math2|''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}''}} が負でない場合を示せばよい。{{math2|1=''n'' = 1}} のときは明らかに成立。{{math2|1=''n'' = 2}} のときは、
:<math>({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 = (x_1 y_2-x_2 y_1)^2 \ge 0</math>
より成り立つ。{{math2|1=''n'' = ''k'' (≥ 2)}} で成立すると仮定する。{{math2|1=''n'' = ''k'' + 1}} のとき、
:<math>\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^{k+1} x_i y_i\right)^2 = \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^k x_i y_i + x_{k+1} y_{k+1} \right)^2</math>
:<math>\leq \left( \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^k {x_i}^2 \right)^\frac{1}{2} \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^k {y_i}^2 \right)^\frac{1}{2} + x_{k+1} y_{k+1} \right)^2</math>（∵帰納法の仮定より）
:<math>\leq \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^k {x_i}^2 + {x_{k+1}}^2 \right) \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^k {y_i}^2 + {y_{k+1}}^2 \right)</math>（∵ {{math2|1=''n'' = 2}} のときより）
:<math>= \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^{k+1} {x_i}^2 \right) \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^{k+1} {y_i}^2 \right) </math>
となって成立する。

== 具体例 ==
標準内積を入れた[[数ベクトル空間]]で考えている場合は、成分表示すると
:<math>\left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \textstyle\sum\limits_{i=1}^n {y_i}^2 \right)</math>
となる。特に {{math2|1=''n'' = 2, 3}} の場合は
:<math>(x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2)</math>
:<math>(x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \leq ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2)</math>
となる。これらは有限次元の内積空間における例であるが、無限次元の内積空間でも成り立つ。[[自乗可積分函数]]空間では内積として積分の形があり、2つの自乗可積分函数 {{math2|''f'', ''g''}} に対して
:<math>\left( \int f(x)g(x)^*\,dx \right)^2 \leq \int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int \left|g(x)\right|^2\,dx</math>
がシュワルツの不等式に当たる不等式である。これは[[ヘルダーの不等式]]に一般化される。

== 関連項目 ==
*[[ヴィクトール・ブニャコフスキー]]
*[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]
*[[オットー・ヘルダー]]
*[[ヘルマン・アマンドゥス・シュヴァルツ]]
*[[三角不等式]]
*[[ヘルダーの不等式]]
*[[ビネ・コーシーの恒等式]]<!--

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}-->

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書 |author=黒田成俊|authorlink=黒田成俊 |date=1980-11-01 |title=関数解析 |series=共立数学講座 15 |publisher=共立出版株式会社 |isbn=978-4-320-01106-9 |ref={{harvid|黒田|1980}}}}
*{{Cite book|和書 |author=齋藤正彦|authorlink=齋藤正彦 |date=1966-03-31 |title=線型代数入門 |url=https://www.utp.or.jp/book/b302039.html |series=基礎数学1 |edition=初版 |publisher=東京大学出版会 |isbn=978-4-13-062001-7 |ref={{harvid|齋藤|1966}}}}

== 外部リンク ==
*{{Kotobank|シュワルツの不等式|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{高校数学の美しい物語|573|コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明}}
*{{高校数学の美しい物語|603|シュワルツの不等式の応用公式と例題}}
*{{MathWorld|title=Cauchy's Inequality|urlname=CauchysInequality}}
*{{MathWorld|title=Schwarz's Inequality|urlname=SchwarzsInequality}}

{{線形代数}}
{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:こおしいしゆわるつのふとうしき}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]
[[Category:不等式]]
[[Category:人名を冠した数式]]