コールブルックの式のソースを表示

'''コールブルックの式'''（{{lang-en-short|Colebrook equation}}）は、滑面及び粗面の[[配管]]での[[乱流]]の研究における実験結果を組み合した[[陰関数|陰方程式]]である。本式は、[[シリル・フランク・コールブルック]]によって1939年に発明された<ref>
{{cite journal
     | first=C.F. | last=Colebrook
     | title=Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws
     | journal=Journal of the Institution of Civil Engineers
     | location=London
     |date=February 1939}}</ref>
。本式は反復計算によって解かれることで[[ダルシー・ワイスバッハの式]]に用いられる[[摩擦損失係数]] ''f'' が求められる。'''コールブルック・ホワイトの式'''としても知られており、コールブルックとC.M.ホワイトによる1937年の論文<ref>
{{cite journal |   title = Experiments with Fluid Friction in Roughened Pipes
    | author = Colebrook, C. F. and White, C. M.
    | journal = Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences
    | volume = 161
    | pages = 367–381
    | year = 1937
    | issue = 906 |   doi = 10.1098/rspa.1937.0150 |bibcode = 1937RSPSA.161..367C }}</ref>
が本式の由来として誤って引用されることがしばしばある。これは、ホワイトが滑面と粗面の配管の相関関係をひとつの式に組み合わせることができるであろうという数学的な方法について提案したため、コールブルックが恩義を感じてホワイトの名を論文に掲載したことが多少影響しており、1939年の論文の脚注でコールブルックが認めている。

== 一般式 ==
流れが十分に発達した満水状態の配管内[[定常]]流にて[[レイノルズ数]]が4000より大きい場合、[[摩擦損失係数]] ''f'' は次のように求められる。

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/D_\mathrm{H}}{3.7}  + \frac{2.51}{\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)</math>

もしくは

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log_{10} \left( \frac{\varepsilon/R_\mathrm{H}}{14.8} + \frac{2.51}{\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)</math>

ここで、
* &epsilon;　：　絶対粗度　(m)
* ''D''{{sub|H}}　：　[[水力直径]]　(m) —　満水状態の円管流れでは　''D''{{sub|H}} = ''D'' = 配管の内径
* ''R''{{sub|H}}　：　[[径深]]　(m) —　満水状態の円管流れでは　''R''{{sub|H}} = ''D'' /4 = (配管の内径)/4
* ''Re''　：　レイノルズ数　([[無次元数|無次元]])

== 一般式と等価な表現 ==
コールブルックの式と数学的に等しい式として次のような形がある。

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.7384\ldots -2 \log_{10} \left( \frac { 2 \varepsilon}
{D_\mathrm{H}} + \frac {18.574} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)</math>
この式に出てくる値は以下である：
:1.7384... = 2 log{{sub|10}} (2 &times; 3.7) = 2 log{{sub|10}} (7.4)
:18.574 = 2.51 &times; 3.7 &times; 2

さらに次のような変形式もある：

:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots + 2 \log_{10}\left(\frac{D_\mathrm{H}}{\varepsilon}\right) -2 \log_{10} \left( 1 + \frac { 9.287} {\mathrm{Re} (\varepsilon/D_\mathrm{H}) \sqrt{f}} \right)</math>
または
:<math> \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots  -2 \log_{10} \left( \frac {\varepsilon}
{D_\mathrm{H}} + \frac {9.287} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right) </math>

ここでの値は以下である：
:1.1364... = 1.7384... &minus; 2 log{{sub|10}} 2 = 2 log{{sub|10}} 7.4 &minus; 2 log{{sub|10}} 2 = 2 log{{sub|10}} 3.7
:9.287 = 18.574 / 2 = 2.51 &times; 3.7.

これらの拡張式は一般式を、定数3.7と2.51が正確であるという仮定をした上で変形したものである。これらの定数は[[カーブフィッティング]]の作業の中でコールブルックにより丸められたと見られる。しかしこれらの定数は正確なものとして扱われており、陽的な近似式（[[摩擦損失係数#ハーランドの式 (Haaland equation)|ハーランドの式]]、[[摩擦損失係数#スワミー・ジャインの式 (Swamee–Jain equation)|スワミー・ジャインの式]]等）の結果とコールブルックの式により計算された摩擦損失係数を比較すると誤差は大きくないことが分かる。

これら拡張式とよく似た方程式がさまざまな文献にて参照される可能性がある。それらが本質的には同じ方程式であるということに着目することは有用であろう。

== 解法 ==
この式は両辺に''f'' のある[[陰関数|陰的な方程式]]であり、''f''の陽的な表現（''f'' = ''f'' (''Re'' , &epsilon;/''D''{{sub|H}})という形）を[[初等関数]]だけで表すことは出来ないことが知られている。そのため''f'' の値を求めるには何らかの[[数値計算]]が必要となる。例えば、[[Microsoft Office Excel]]が使えるのであれば、{{仮リンク|ゴールシーク|en|goal seek}}機能により求めることができる。

2006年、[[ランベルトのW関数]]を導入することで陽的な表現が得られるようになった<ref> More A A (2006), "Analytical solutions for the Colebrook and White equation and for pressure drop in ideal gas flow in pipes". Chemical Engineering Science.</ref>。
:<math>a = \frac{2.51}{\mathrm{Re}},\; b = \frac{\varepsilon/D_\mathrm{H}}{3.7}</math> として
:<math>\frac{1}{\sqrt{f}} = \frac{2}{\ln 10}W(\frac{\ln 10}{2a} 10^\frac{b}{2a}) - \frac{b}{a}</math>
ただしW関数の値を得るためにはやはり数値計算が必要である。

== 自由表面流れ ==
コールブルックの式には自由表面をもった流れについての式も存在する。このような条件は[[開水路]]や、配管内が満水ではなく部分的に流体が流れるような配管にて適用できる。自由表面流れにおいては、次のようになる。

:<math>\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log_{10} \left(\frac{\varepsilon/R_\mathrm{H}}{12} + \frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right)</math>

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{cite journal | first=C.F. | last=Colebrook | title=Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws | journal=Journal of the Institution of Civil Engineers | location=London |date=February 1939 | doi=10.1680/ijoti.1939.13150}} <br /> For the section which includes the free-surface form of the equation — {{ Cite journal | year=2002 |title=Computer Applications in Hydraulic Engineering | edition=5th | publisher=Haestad Press | postscript=<!--None--> }}, p.&nbsp;16.

==関連項目==
*[[ダルシー・ワイスバッハの式]]

==外部リンク==
*[http://www.setsubi-forum.jp/cgi-bin/c-board/data/design/log/tree_608.htm Excelの「ゴールシーク」機能を使った摩擦損失係数の求め方]
*[http://www.mech.tohoku-gakuin.ac.jp/aaaa/akira/pipe_friction.html 管摩擦係数]

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