コーンの不等式のソースを表示

[[解析学]]における'''コーンの不等式'''（コーンのふとうしき、{{Lang-en-short|Korn's inequality}}）は[[ベクトル場]]の[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]に関する不等式で、次の古典的定理を一般化したものである：
ベクトル場の勾配が任意の点で[[交代行列|歪対称]] （skew-symmetric）であれば、その歪対称行列は一定（定数成分行列）でなければいけない。

コーンの定理はこの命題を定量化したもので、直感的に言えば、ベクトル場の勾配が歪対称行列が張る空間から平均的には大きく離れていないとき、その勾配は「特定の」歪対称行列から大きく離れていてはならない。コーンの不等式による一般化は従って、（数学的）{{仮リンク|リジディティ|en|rigidity (mathematics)}}の特別なケースの一つとして現れる。

（線形）[[弾性|弾性理論]]において、弾性体が与えられたベクトル値関数による変形を受けたとき、[[変位|変位勾配テンソル]]の対称部分は[[ひずみ]]の程度を表す。したがってこの不等式は、線形弾性理論における{{仮リンク|アプリオリ評価|en|a priori estimate}}（a priori estimate）の道具として重要である。

==ステートメント==

{{math|Ω}} を[[開集合|開]]で[[連結空間|連結]]な {{math|''n''}}-[[ハメル次元|次元]][[ユークリッド空間]] {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}（{{math|''n''&nbsp;≥&nbsp;2}}）の部分集合とする。[[ソボレフ空間]] {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}} を、{{math|Ω}} 上のベクトル場 {{math|''v''&nbsp;<nowiki>=</nowiki>&nbsp;(''v''<sup>1</sup>,&nbsp;...,&nbsp;''v''<sup>''n''</sup>)}} であって、自身および自身の1階[[弱微分]]がいずれも[[Lp空間|{{math|''L''<sup>2</sup>(Ω)}} 空間]]に属するもの全体と定める。第 ''i'' 成分による[[偏微分]]を {{math|∂<sub>''i''</sub>}} と記すこととし、{{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}} における[[ノルム]]を次式で定める。

:<math>\| v \|_{H^{1} (\Omega)} := \left( \int_{\Omega} \sum_{i = 1}^{n} | v^{i} (x) |^{2} \, \mathrm{d} x+\int_{\Omega} \sum_{i, j = 1}^{n} | \partial_{j} v^{i} (x) |^{2} \, \mathrm{d} x \right)^{1/2}</math>

このとき、{{math|Ω}} の'''コーン定数'''（Korn constant）として知られる定数 {{math|''C''&nbsp;≥&nbsp;0}} が存在して、任意の {{math|''v''&nbsp;∈&nbsp;''H''<sup>1</sup>(Ω)}} に対して

{{NumBlk|:|<math>\| v \|_{H^{1} (\Omega)}^{2} \leq C \int_{\Omega} \sum_{i, j = 1}^{n} \left( | v^{i} (x) |^{2} + | (e_{ij} v) (x) |^{2} \right) \, \mathrm{d} x</math>|{{EquationRef|1}}}}

を満たす。ここで {{math|''e''}} は

:<math>e_{ij} v = \frac1{2} ( \partial_{i} v^{j} + \partial_{j} v^{i} )</math>

で与えられる対称化勾配（symmetrized gradient）を表す。不等式 {{EquationNote|1|(1)}} は'''コーンの不等式'''として知られる。

==関連項目==

*{{仮リンク|線形弾性|en|Linear elasticity}}
*{{仮リンク|ハーディ不等式|en|Hardy inequality}}
*[[ポアンカレ不等式]]

==参考文献==

*{{Citation
 | last = Cioranescu
 | first = Doina
 | author-link = 
 | last2 = Oleinik
 | first2 = Olga Arsenievna
 | author2-link =Olga Oleinik
 | last3 = Tronel
 | first3 = Gérard
 | author3-link =
 | title = On Korn's inequalities for frame type structures and junctions
 | journal = [[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences]]
 | series = Série I: Mathématiques
 | volume = 309
 | issue =9
 | pages =591–596
 | date =1989
 | url =http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6216350r/f603.image
 | mr =1053284
 | zbl =0937.35502
}}.
* {{citation
| last = Horgan
| first = Cornelius O.
| title = Korn's inequalities and their applications in continuum mechanics
| journal = [[SIAM Review]]
| volume = 37
| year = 1995
| pages = 491–511
| issn = 0036-1445
| doi = 10.1137/1037123
| issue = 4
| mr =1368384
| zbl =0840.73010
}}.
*{{Citation
 | last = Oleinik
 | first = Olga Arsenievna
 | author-link =Olga Oleinik
 | last2 = Kondratiev
 | first2 = Vladimir Alexandrovitch
 | author2-link =
 | title = On Korn's inequalities
 | journal = [[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences]]
 | series = Série I: Mathématiques
 | volume = 308
 | issue =16
 | pages =483–487
 | date =1989
 | url =http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6236782n/f497.image
 | mr =0995908
 | zbl =0698.35067
}}.
*{{Citation
| last =Oleinik
| first =Olga A.
| author-link =Olga Oleinik
| editor1-last = Amaldi
| editor1-first = E.
| editor1-link = Edoardo Amaldi
| editor2-last = Amerio
| editor2-first = L. 
| editor2-link = Luigi Amerio 
| editor3-last =Fichera
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| editor4-last =Gregory
| editor4-first =T.
| editor4-link =
| editor5-last =Grioli
| editor5-first =G.
| editor5-link =Giuseppe Grioli
| editor6-last =Martinelli
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| editor6-link =Enzo Martinelli
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| editor9-link =Giorgio Salvini
| editor10-last =Scorza Dragoni
| editor10-first =Giuseppe
| editor10-link =Giuseppe Scorza Dragoni
| contribution =Korn's Type inequalities and applications to elasticity
| contribution-url = 
| title = Convegno internazionale in memoria di Vito Volterra (8–11 ottobre 1990)
| url = http://www.lincei.it/pubblicazioni/catalogo/volume.php?rid=32862
| language = Italian
| series = Atti dei Convegni Lincei
| volume = 92
| year = 1992
| pages = 183–209
| place = Roma
| publisher = [[Accademia Nazionale dei Lincei]]
| doi = 
| issn = 0391-805X
| mr =1783034
| zbl =0972.35013
}}.

==外部リンク==
*{{SpringerEOM
 | title=Korn inequality
 | id=Korn_inequality&oldid=30665
 | last=Voitsekhovskii
 | first=M. I.
 | author-link=
}}

{{Mathanalysis-stub}} 

{{DEFAULTSORT:こおんのふとうしき}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:ソボレフ空間]]
[[Category:不等式]]
[[Category:連続体力学]]
[[Category:弾性]]
[[Category:数学に関する記事]]