ゴルディングの不等式のソースを表示

[[数学]]において'''ゴルディングの不等式'''（ゴルディングのふとうしき、{{Lang-en-short|Gårding's inequality}}）は、ある実[[楕円型作用素|線型楕円型偏微分作用素]]によって導出される[[双線型形式]]に対する下界を与える一結果である。{{仮リンク|ラース・ゴルディング|en|Lars Gårding}}の名にちなむ。

== 不等式の内容 ==

Ω を ''n''-[[次元]][[ユークリッド空間]]内の[[有界集合|有界]]な[[開集合|開領域]]とし、''H''<sup>''k''</sup>(Ω) を ''k''-階弱微分可能で弱微分が ''L''<sup>2</sup> に属するような函数 ''u''&nbsp;:&nbsp;Ω&nbsp;→&nbsp;'''R''' の[[ソボレフ空間]]とする。Ω は ''k''-拡張性を満たす、すなわち、ある[[有界作用素|有界線型作用素]] ''E''&nbsp;:&nbsp;''H''<sup>''k''</sup>(Ω)&nbsp;→&nbsp;''H''<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) が存在して ''H''<sup>''k''</sup>(Ω) 内のすべての ''u'' に対して (''Eu'')|<sub>Ω</sub>&nbsp;=&nbsp;''u'' が成立するものとする。

''L'' を偶数次 ''2k'' の線型偏微分作用素で、次の発散形式で表されるものとする：

:<math>(L u)(x) = \sum_{0 \leq | \alpha |, | \beta | \leq k} (-1)^{| \alpha |} \mathrm{D}^{\alpha} \left( A_{\alpha \beta} (x) \mathrm{D}^{\beta} u(x) \right).</math>

さらに ''L'' は一様楕円型、すなわちある定数 ''&theta;'' > 0 が存在して次が成り立つとする。

:<math>\sum_{| \alpha |, | \beta | = k} \xi^{\alpha} A_{\alpha \beta} (x) \xi^{\beta} > \theta | \xi |^{2 k} \mbox{ for all } x \in \Omega, \xi \in \mathbb{R}^{n} \setminus \{ 0 \}.</math>

最後に、係数 ''A<sub>&alpha;&beta;</sub>'' は |''&alpha;''| = |''&beta;''| = ''k'' に対して、Ω の[[閉包]]上で有界かつ[[連続 (数学)|連続]]連続とし、次が成り立つとする。

:<math>A_{\alpha \beta} \in L^{\infty} (\Omega) \mbox{ for all } | \alpha |, | \beta | \leq k.</math>

このとき、'''ゴルディングの不等式'''が次のように成り立つ：定数 ''C''&nbsp;>&nbsp;0 と ''G''&nbsp;≥&nbsp;0 が存在して

:<math>B[u, u] + G \| u \|_{L^{2} (\Omega)}^{2} \geq C \| u \|_{H^{k} (\Omega)}^{2} \mbox{ for all } u \in H_{0}^{k} (\Omega) </math>

となる。ここに

:<math>B[v, u] = \sum_{0 \leq | \alpha |, | \beta | \leq k} \int_{\Omega} A_{\alpha \beta} (x) \mathrm{D}^{\alpha} u(x) \mathrm{D}^{\beta} v(x) \, \mathrm{d} x</math>

は作用素 ''L'' に関連する双線型形式である。

== 応用：ラプラス作用素とポアソン問題 ==

簡単な例として、[[ラプラス作用素]] Δ を考える。より具体的に、''f''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2</sup>(Ω) に対して、次の[[ポアソン方程式]]を解くことを考える。

:<math>\begin{cases} - \Delta u(x) = f(x), & x \in \Omega; \\ u(x) = 0, & x \in \partial \Omega; \end{cases}</math>

ここに Ω は '''R'''<sup>''n''</sup> 内の有界な[[リプシッツ領域]]である。この問題に対応する弱形式は、次を満たす ''u'' をソボレフ空間 ''H''<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) 内で見つけることである。

:<math>B[u, v] = \langle f, v \rangle \mbox{ for all } v \in H_{0}^{1} (\Omega). </math>

ここに

:<math>B[u, v] = \int_{\Omega} \nabla u(x) \cdot \nabla v(x) \, \mathrm{d} x,</math>
:<math>\langle f, v \rangle = \int_{\Omega} f(x) v(x) \, \mathrm{d} x</math>

である。[[弱形式|ラックス＝ミルグラムの補題]]によると、双線型形式 ''B'' が ''H''<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) 上のノルムに関して連続かつ楕円型であるなら、各 ''f''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>2</sup>(Ω) に対して唯一つの解 ''u'' が ''H''<sub>0</sub><sup>1</sup>(Ω) 内に必ず存在することが分かる。ゴルディングの不等式の仮定は、ラプラス作用素に対して成立することは容易に分かるので、次を満たす定数 ''C'' と ''G''&nbsp;≥&nbsp;0 が存在する：

:<math>B[u, u] \geq C \| u \|_{H^{1} (\Omega)}^{2} - G \| u \|_{L^{2} (\Omega)}^{2}  \mbox{ for all } u \in H_{0}^{1} (\Omega).</math>

[[ポアンカレ不等式]]を適用することで、この右辺の二つの項は組み合わされ、新たな定数 ''K''&nbsp;&gt;&nbsp;0 によって次のように書き換えることが出来る：

:<math>B[u, u] \geq K \| u \|_{H^{1} (\Omega)}^{2} \mbox{ for all } u \in H_{0}^{1} (\Omega).</math>

これはまさしく ''B'' が楕円型であることを意味する。''B'' の連続性はさらに容易に確かめられる。すなわち、[[コーシー＝シュワルツの不等式]]と、ソボレフノルムは勾配の ''L''<sup>2</sup> ノルムによって統制される事実をシンプルに適用すればよい。

== 参考文献 ==

* {{cite book
|   author = Renardy, Michael and Rogers, Robert C.
|    title = An introduction to partial differential equations
|   series = Texts in Applied Mathematics 13
|  edition = Second edition
|publisher = Springer-Verlag
| location = New York
|     year = 2004
|     isbn = 0-387-00444-0
|    page = 356
}} (Theorem 9.17)

{{DEFAULTSORT:こるていんくのふとうしき}}
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