ゴールドバッハの予想のソースを表示

{{要改訳|date=2015年6月}}
{{Infobox mathematical statement
| name = ゴールドバッハの予想
| image = File:Letter Goldbach-Euler.jpg
| caption = 1742年6月7日の日付のゴールドバッハからオイラーに宛てた（ラテン語とドイツ語で書かれた）手紙<ref>Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle'' (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, [https://books.google.co.jp/books?id=OGMSAAAAIAAJ&pg=PA125&redir_esc=y&hl=ja S. 125–129]</ref>
| field = [[数論]]
| conjectured by = [[クリスティアン・ゴルトバハ]]
| conjecture date = [[1742年]]
| open problem = Yes
| first proof by = 
| first proof date = 
| implied by = 
| consequences = [[弱いゴールドバッハ予想]]
}}
'''ゴールドバッハの予想'''（ゴールドバッハのよそう、{{lang-en|Goldbach's conjecture}}）とは、次のような[[加法]]的[[数論|整数論]]上の[[数学上の未解決問題|未解決問題]]の1つである。'''ゴールドバッハ予想'''、'''ゴルドバッハの予想'''とも<ref>{{Cite Kotobank |word=ゴールドバッハの予想 |encyclopedia=デジタル大辞泉 |accessdate=2024-12-14}}</ref>。

{{Quotation|すべての 2 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる<ref>{{MathWorld|title=Goldbach Number|urlname=GoldbachNumber}}</ref>。このとき、2つの素数は同じであってもよい。}}

この予想は[[ウェアリングの問題]]などと共に古くから知られ、[[クリスティアン・ゴールドバッハ]]（Christian Goldbach, [[1690年]] - [[1764年]]）が[[レオンハルト・オイラー]]への書簡（[[1742年]]）で定式化して述べたことからこの名前がついている<ref>{{Citation |last=Goldbach |first=Christian |date=7 June 1742 |title=letter to Leonhard Euler (letter XLIII) |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf }}</ref>。

4&nbsp;×&nbsp;10<sup>18</sup> までの4以上のすべての整数について成立することが2015年に確認されていて<ref name="名前なし-1">{{Cite journal |first=Tomás |last=Oliveira e Silva |first2=Siegfried |last2=Herzog |first3=Silvio |last3=Pardi |title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4*10^18 |year=2014 |month=July |publisher=American Mathematical Society |journal=Mathematics of Computation |volume=83 |issue=288 |doi=10.1090/S0025-5718-2013-02787-1 |format=PDF |pages=2033-2060 |language=en}}</ref>、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。

{{See also|弱いゴールドバッハ予想}}

== 概要 ==
[[Image:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 50 rev4b.svg|thumb|320px|4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあらわした。ゴールドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。]]
[[Image:GoldbachConjecture.gif|right|thumb|320px|偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。]]
[[予想 (数学)|予想]]には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：
: 4以上の全ての[[偶数]]は、二つの[[素数]]の和で表すことができる。
: 6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。
::　素数のうち偶数であるのは、2 のみであるから、偶素数同士の和となるのは、4=2+2 であり、4 のみである。

例えば、6以上で22までの偶数を奇素数の和で表す場合は、
<pre>
 6 = 3 + 3
 8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
22 = 11 + 11 = 19 + 3 = 17 + 5
</pre>
のように、二つの奇素数の和で表すことができる。2012年現在、4&times;10<sup>18</sup>までの全ての偶数について成り立つことが、[[コンピュータ]]によって確かめられている<ref>Tomás Oliveira e Silva, [http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html Goldbach conjecture verification]</ref>。

ゴールドバッハはこの予想を更に緻密にして、こう予想した。

: 5より大きな任意の[[自然数]]は、三つの素数の和で表せる。

これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。

多くの[[数学者]]は、[[素数定理|素数分布の確率]]に関する[[統計学]]的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。

類似の予想として、「[[弱いゴールドバッハ予想]]」というものがある。これは5より大きい[[奇数]]は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは
: <math>2n = p_1+p_2 \quad n>2</math>
ならば
: <math>2(n+1)+1 = p_1+p_2+3 \quad n>2 \,</math>
であることから明らかである。ここでp<sub>1</sub>およびp<sub>2</sub>は奇素数である。

また、[[一般化されたリーマン予想]]が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている<ref>{{Citation2 |doi=10.1090/S1079-6762-97-00031-0 |last=Deshouillers |first=J.-M. |last2=Effinger |first2=G. |last3=te Riele |first3=H. |last4=Zinoviev |first4=D. |name-list-style=amp |year=1997 |title=A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis |journal=Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. |volume=3 |issue= |pages=99–104 |url=http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf |issn= }}</ref>。

== 現在までの主な進歩 ==
* [[ノルウェー]]の数学者[[ヴィーゴ・ブルン|ブルン]]は1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、[[エラトステネスの篩]]を発展させた新しい篩法を用いて、十分大きなすべての偶数は、[[高々 (数学)|高々]]9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
* [[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]は1923年に、[[L関数]]に対する一般化された[[リーマン予想]]（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n<sub>0</sub> が3個の素数の和となるような下限 n<sub>0</sub> が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
* [[1930年]]に[[ソビエト連邦|ソ連]]の数学者[[レフ・ゲンリホーヴィッチ・シュニレルマン|シュニレルマン]]は、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正の[[シュニレルマン密度]]を持つことを[[ブルンの篩]]を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
* [[1937年]]に[[ソビエト連邦|ソ連]]の数学者{{仮リンク|イヴァン・ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveyevich Vinogradov|label=ヴィノグラードフ}}は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n<sub>0</sub> （現在、具体的にわかっている。<math>n_0=3^{3^{15}}</math>（Borozdin,1939）さらに良い評価として<math>n_0\approx 2 \times 10^{1346}</math>（Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（[[ヴィノグラードフの定理]]参照）
* [[1938年]]頃、[[イギリス]]のエスターマン、[[ソビエト連邦|ソ連]]の数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
* [[1947年]]、[[ハンガリー]]の数学者[[レーニ・アルフレード|レーニ]]は{{仮リンク|大きな篩い|en|large sieve}}という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 ''k'' 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、''k'' が存在することを証明した。
* [[中華人民共和国|中国]]の数学者[[陳景潤]]は[[1978年]]までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている<ref>{{cite arXiv|last=Yamada |first=Tomohiro |eprint=1511.03409 |title=Explicit Chen's theorem |class=math.NT |date=2015-11-11}}</ref>。
* [[1995年]]、フランスの数学者[[オリヴィエ・ラマレ|ラマレ]]はすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
* [[2002年]]、{{仮リンク|ロジャー・ヒース＝ブラウン|en|Roger Heath-Brown|label=ヒース＝ブラウン}}と[[ヤン・クリストフ・シュラーゲ＝プフタ|シュラーゲ＝プフタ]]は十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
* [[2009年]]、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト([[BOINC]])で[http://goldbach.pl/ Goldbach's Conjecture Project]が開始された。
* 2013年、[[ハラルド・ヘルフゴット]]によって[[弱いゴールドバッハ予想]]が証明された。
* 2015年、4&nbsp;×&nbsp;10<sup>18</sup> までの4以上の全ての偶数について成立することが確認された<ref name="名前なし-1"/>。

== ヒューリスティックな正当化 ==

[[Image:Goldbach-1000.svg|thumbnail|right|320px|偶数 {{mvar|n}} {{math|(4 &le; {{mvar|n}} &le; 1,000)}} を二つの素数の和に分解する方法の数, {{OEIS|A002375}}]]
[[Image:Goldbach-1000000.png|thumbnail|right|320px|偶数 {{mvar|n}} {{math|(4 &le; {{mvar|n}} &le; 1,000,000)}} を二つの素数の和に分解する方法の数]]

[[素数定理|素数の確率分布]]に焦点を当てた統計的考察から、十分大きな整数における本予想（強い予想および弱い予想）の成立が示唆される。一般に大きな数であるほど二つ三つの数の和に分解する方法も多くなるので、そのような和の中に一つは全て素数のものがあったとしても不思議ではない。

強い予想についてのヒューリスティックかつ確率論的な議論は、大まかには次のようなものである。[[素数定理]]によれば、無作為に選択した整数 {{mvar|m}} が素数である確率は {{math|1/ln {{mvar|m}}}} である。故に十分大きな偶数 {{mvar|n}} に対し {{mvar|m}} が {{math|3 &le; {{mvar|m}} &le; {{mvar|n}}/2}} を満たすとき、{{mvar|m}} と {{math|{{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}}} が共に素数である確率は {{math|1/(ln&nbsp;{{mvar|m}} ln({{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}))}} となる。このことから、十分大きな偶数 {{mvar|n}} を二つの素数の和に分解する方法の数は概ね

:<math>\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}</math>

であると計算できる。この値は {{mvar|n}} の増大につれて無限大に発散するので、恐らく任意の巨大な偶数は二つの素数の和に分解できるどころか、そのような方法は幾通りも存在するであろうと予想できる。

この議論は実際にはやや不正確である。理由は {{mvar|m}} と {{math|{{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}}} が素数であるという二つの事象に[[独立_(確率論)|統計的独立性]]を仮定しているためである。例えば {{mvar|m}} が奇数ならば {{math|{{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}}} もまた奇数、{{mvar|m}} が偶数ならば {{math|{{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}}} もまた偶数となるが、2 を除く整数は奇数のときしか素数となりえないため、これは二つの事象の間の非自明な関係となる。同様に {{mvar|n}} が 3 の倍数、{{mvar|m}} が 3 でない素数のとき、{{math|{{mvar|n}} &minus; {{mvar|m}}}} は 3 と互いに素となる可能性があり、その分素数である確率も若干高くなる。1923年、[[ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ|ハーディ]]と[[ジョン・エデンサー・リトルウッド|リトルウッド]]はこのような解析をより注意深く行い、次のように予想した。

{{math theorem
|予想
|note=ハーディ・リトルウッド予想の一部
|任意の固定された {{math|{{mvar|c}} &ge; 2}} に対し、十分大きな整数 {{mvar|n}} を {{mvar|c}} 個の素数の和 {{math|{{mvar|n}} {{=}} {{mvar|p}}{{msub|1}} + &hellip; + {{mvar|p}}{{msub|{{mvar|c}}}}}} {{math|({{mvar|p}}{{msub|1}} &le; &hellip; &le; {{mvar|p}}{{msub|{{mvar|c}}}})}} として表現する方法の数は、次に漸近的に等しい。

:<math> \left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right)
\int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1+\cdots+x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c}</math>

ただし式中の積は素数全体 {{mvar|p}} に渡って行い、{{math|γ{{msub|{{mvar|c}},{{mvar|p}}}}({{mvar|n}})}} は[[合同式]] {{math|{{mvar|n}} {{=}} {{mvar|q}}{{msub|1}} + &hellip; + {{mvar|q}}{{msub|{{mvar|c}}}} mod {{mvar|p}}}} {{math|({{mvar|q}}{{msub|1}}, &hellip;,{{mvar|q}}{{msub|{{mvar|c}}}} &ne; 0 mod {{mvar|p}})}} の解の個数を表す。
}}

この予想は {{math|{{mvar|c}} &ge; 3}} において正しいことが{{仮リンク|イワン・マッツヴェーヴィッチ・ヴィノグラードフ|label=ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveevich Vinogradov}}により厳密に証明されているが、{{math|{{mvar|c}} {{=}} 2}} の場合は未だ証明されていない。{{math|{{mvar|c}} {{=}} 2}} のとき上式は、{{mvar|n}} が奇数のとき 0 、{{mvar|n}} が偶数のとき

: <math>
 2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \int_2^n \frac{dx}{(\ln x)^2}
 \approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \frac{n}{(\ln n)^2}
</math>

と単純化される。ただし {{math|Π{{msub|2}}}} はハーディ・リトルウッドの双子素数定数

: <math>\Pi_2 := \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p - 1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots.</math>

である。

この予想は「拡張ゴールドバッハ予想（{{lang-en-short|Extended Goldbach conjecture}}）」と呼ばれることもある。実際、強いゴールドバッハ予想は[[双子素数予想]]にとても良く似ており、これら二つの予想の難しさは概ね同程度であると考えられている。

記事中のゴールドバッハの分配函数をヒストグラムにすることで、上述の式をより見やすく描写することもできる。[[ゴールドバッハ彗星]]も参照。

==厳密な結果==
強いゴールドバッハ予想は、さらに非常に難しい。{{仮リンク|イワン・マッツヴェービッチ・ヴィノグラドフ|label=ヴィノグラードフ|en|Ivan Matveevich Vinogradov}}の方法を使い、{{仮リンク|ニコライ・チュダコフ|label=チュダコフ|en|Nikolai Chudakov}}<ref>{{Cite journal| last=Chudakov | first=Nikolai G. | year=1937 | title=О проблеме Гольдбаха |trans-title=On the Goldbach problem | journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]] | volume=17 | pages=335–338| postscript=.}}</ref> や、{{仮リンク|ヨハン・ヴァン・デル・コルプト|label=ヴァン・デル・コルプト|en|Johannes van der Corput}}<ref>{{cite journal |last=Van der Corput |first=J. G. |title={{lang|fr|[http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00016746.pdf Sur l'hypothèse de Goldbach]}} |journal=Proc. Akad. Wet. Amsterdam |volume=41 |issue= |year=1938 |pages=76–80 |doi= }}</ref> や {{仮リンク|テオドル・エスターマン|label=エスターマン|en|Theodor Estermann}}<ref>{{cite journal |last=Estermann |first=T. |title=On G 1 oldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes |journal=Proc. London Math. Soc. |series=2 |volume=44 |year=1938 |issue= |pages=307–314 |doi=10.1112/plms/s2-44.4.307 }}</ref> は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した（この意味は、そのように書くことのできる偶数の確率が 1 に近づく傾向にあるという意味である)。1930年、{{仮リンク|レフ・シュニレルマン|en|Lev Schnirelmann}}は<ref>Schnirelmann, L.G. (1930). "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1939/i6/p9 On the additive properties of numbers]", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol '''XIV''' (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.</ref><ref>Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "[http://link.springer.com/article/10.1007/BF01448914 Über additive Eigenschaften von Zahlen]" in "[[Mathematische Annalen]]" (in German), vol '''107''' (1933), 649-690, and reprinted as "[http://mi.mathnet.ru/eng/umn/y1940/i7/p7 On the additive properties of numbers]" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.</ref>で、任意の 1 より大きな[[自然数]]は C 個よりも多くない素数の和として書き表すことができることを証明した。ここに C は有効に計算可能な定数である。[[シュニレルマン密度]]を参照。'''シュニレルマンの定数'''は、この性質を持つ最も小さな数であり、シュニレルマン自身は C < 800000 を得た。この結果は多くの人々により拡張されている。{{仮リンク|オリバー・ラマレ|en|Olivier Ramaré}}は、1995年に全ての偶数 n &nbsp;≥&nbsp;4 は、多くとも6つの素数の和であることを示した。[[ハラルド・ヘルフゴット]]は、2013年に[[弱いゴールドバッハ予想]]を証明したとする論文を発表した<ref>{{cite arXiv |eprint=1305.2897 |title = Major arcs for Goldbach's theorem|last = Helfgott|first = H.A. |class=math.NT |year=2013}}</ref><ref>{{cite arXiv |eprint=1205.5252 |title = Minor arcs for Goldbach's problem |last = Helfgott|first = H.A.|class=math.NT |year=2012}}</ref><ref>http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved</ref><ref>[http://www.newscientist.com/article/dn23535-proof-that-an-infinite-number-of-primes-are-paired.html Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013]. New Scientist. Retrieved on 2014-05-11.</ref>が、これが正しいとすると、その帰結として全ての偶数 n &nbsp;≥&nbsp;4 は多くとも4つの素数の和であることになる<ref>{{Cite journal | title=Checking the Goldbach Conjecture up to 4 10<sup>11</sup>|last=Sinisalo|first=Matti K.| periodical=Mathematics of Computation|volume=61|issue=204|date=Oct., 1993|pages= 931–934 | doi=10.2307/2153264}}</ref>。

[[陳景潤]]は、1973年に[[篩法]]を使い、全ての十分に大きな偶数は 2つの素数の和として書き表されるか、もしくは一つの素数と[[半素数]]（2つの素数の積）の和として書き表すことができることを示した。<ref>{{cite journal |first=J. R. |last=Chen |title=On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes |journal=Sci. Sinica |volume=16 |issue= |year=1973 |pages=157–176 }}</ref>例を挙げると、100&nbsp;=&nbsp;23&nbsp;+&nbsp;7·11　[[陳の定理]]を参照。

1975年、{{仮リンク|ヒュー・モンゴメリ|en|Hugh Montgomery (mathematician)}}と{{仮リンク|ロバート・チャールズ・ヴォーン|en|Robert Charles Vaughan (mathematician)}}は、「ほとんど」全ての偶数は 2つの素数の和として表すことができることを示した。詳しくは、正の数 c と C が存在して、全ての十分に大きな数 N に対して、N よりも小さな数は 2つの素数の和であることを、彼らは示した。この例外は、多くとも <math>C N^{1-c}</math> である。特に、2つの素数の和であらわされない偶数の集合は{{仮リンク|自然密度|en|natural density}}ゼロである。

{{仮リンク|ユーリ・リンニック|en|Yuri Linnik}}は、1951年、全ての十分に大きな偶数が 2つの素数と 2 の 高々 K 乗との和として表せるような K が存在することを証明した。{{仮リンク|ロジャー・ヒースブラウン|en|Roger Heath-Brown}}と{{仮リンク|ジャン・クリストフ・シュラージ・プクタ|en|Jan-Christoph Schlage-Puchta}}は、2002年に、K&nbsp;=&nbsp;13 であることを発見した<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |first2=J. C. |last2=Puchta |arxiv=math.NT/0201299 |title=Integers represented as a sum of primes and powers of two |journal=[[Asian Journal of Mathematics]] |volume=6 |year=2002 |issue=3 |pages=535–565 }}</ref>。これは、2003年に{{仮リンク|ヤノス・ピンツ|en|János Pintz}}と{{仮リンク|イムル・ルッツァ|en|Imre Z. Ruzsa}}により K=8 と改善された<ref>{{cite journal |first=J. |last=Pintz |first2=I. Z. |last2=Ruzsa |title=On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=109 |issue= 2|year=2003 |pages=169–194 |doi=10.4064/aa109-2-6 }}</ref>。

数学の多くの有名な予想と同じように、ゴールドバッハ予想を解いたと主張する多くの「証明」があるが、数学の学会では受け入れられていない。

== 類似した問題 ==
素数を、例えば平方数のような他の特別な数の集合に置き換えると、同じような問題を考えることができる。
* [[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]により、[[四平方定理|すべての正の整数は高々4つの平方数の和であること]]が証明されている。素数の冪の和に関しては、[[ウェアリングの問題]]や、関連する{{仮リンク|ウェアリング・ゴルドバッハの問題|en|Waring–Goldbach problem}}を参照。
* ハーディとリトルウッドは彼らの予想 I として「'''全ての大きな奇数 (''n'' > 5) は1つの素数と1つの素数の2倍の和である'''」ことを載せた(''Mathematics Magazine'', 66.1 (1993): 45-47.)。この予想は、{{仮リンク|ルモワーヌの予想|en|Lemoine's conjecture}}（あるいは、レヴィ予想）として知られている。
* [[プラクティカル数]]<ref group="注">ある正の数 n について、1 以上 n 未満の数のいずれもが n の異なる約数の和で表されるとき、その n をプラクティカル数という。例えば、12 の約数は、1, 2, 3, 4, 6 であり、11 以下の正の整数は、5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, 11=6+3+2 で表されるので、12 はプラクティカル数である。プラクティカル数の列は、
:1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
となる。</ref>に対するゴールドバッハ予想は、1984年に Margenstern により提示され<ref>{{cite journal |first=M. |last=Margenstern  |title=Results and conjectures about practical numbers |journal=Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences Paris |volume=299 |year=1984 |pages=895–898 }}</ref>、1996年に{{仮リンク|ジュゼッペ・メルフィ|en|Giuseppe Melfi}}により証明された。すなわち、全ての偶数は 2つのプラクティカル数の和である。
*「4以上の偶数は2個の[[幸運数]]の和として表せる」という問題は、未解決である。

また整数環 {{math|'''Z'''}} と同じく[[一意分解整域]]である多項式環 {{math|'''Z'''[''x'']}} に対して同じような問題を考えると、これは証明することができる。{{harvtxt|Hayes|1965}} 参照。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2012年9月13日 (木) 00:13 (UTC)~|section=1}}
* {{cite book|和書|author=本橋洋一 |title=解析的整数論 |series=朝倉数学大系 ; 1 |issue=1 (素数分布論) |publisher=朝倉書店 |year=2009 |id={{国立国会図書館書誌ID|000010611029}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000010611029 |quote=第2刷 2012：加筆含む |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=本橋洋一 |year=2005 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.57.138 |title=&lsquo;篩法&rsquo;概観 |journal=数学 |volume=57 |issue=2 |pages=138-163 |doi=10.11429/sugaku1947.57.138 |publisher=日本数学会 |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=本橋洋一 |date=2005-05 |url=https://www.mathsoc.jp/assets/pdf/publications/tushin/backnumber/1001/motohashi.pdf |format=PDF |title=素数の翼に乗って |journal=数学通信 |ISSN=13421387 |publisher=東京 : 日本数学会 |volume=10 |issue=1 |pages=4-19 |CRID=1520572358126328192 |accessdate=2024-03-14 |ref=harv}}
*{{Cite book|和書|author=徐遅|authorlink=徐遅|year=1979|title=ゴルドバッハの予想|publisher=[[外文出版社]]|location=[[北京]]|language=日本語|ref=徐1979}}
* {{Cite book|和書|author=末綱恕一|authorlink=末綱恕一|editor=[[岩波書店]]編|year=1933-1935年|title=岩波講座数学 第9|chapter=ごるどばっはノ問題|volume=第2巻|publisher=岩波書店}}
* {{Cite book|和書|author=アポストロス・ドキアディス|authorlink=アポストロス・ドキアディス|others=[[酒井武志]]訳|date=2001-03-09|title=ペトロス伯父と「ゴールドバッハの予想」|series=ハヤカワ・ノヴェルズ|publisher=[[早川書房]]|isbn=4-15-208336-0|url=http://www.hayakawa-online.co.jp/product/books/116415.html}} - 「ゴールドバッハの予想」の証明に一生を捧げた架空の数学者の物語。
* Ramaré, O. "On Snirel'man's Constant." ''Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci.'' '''22'''(1995), 645--706.
* L. G. Schnirelmann, &#220;ber additive Eigenschaften von Zahlen, ''Math. Ann.'' '''107''' (1932/33), 649–-690.
* {{Citation | last= Hayes | first = D. R. | title = A Goldbach theorem for polynomials with integral coefficients | journal = Amer. Math. Monthly | volume = 72 | year = 1965 | pages = 45–46 | doi = 10.2307/2312999}}
* {{Citation |first=D. R. |last=Heath-Brown |first2=J. C. |last2=Puchta |arxiv=math.NT/0201299 |title=Integers represented as a sum of primes and powers of two |journal=[[Asian Journal of Mathematics]] |volume=6 |year=2002 |issue=3 |pages=535–565 }}

== 関連項目 ==
* [[弱いゴールドバッハ予想]]
* [[エラトステネスの篩]]
* [[ゲーデルの不完全性定理]]
* [[初等整数論]]
* [[数学上の未解決問題]]
* [[双子素数の予想]]
* [[ゴールドバッハ彗星]]

== 外部リンク ==
*[http://www.i-programmer.info/news/112-theory/4211-goldbach-conjecture-closer-to-solved.html Terence Tao proved that all odd numbers are at most the sum of five primes ]
*[http://mathworld.wolfram.com/GoldbachConjecture.html State of the art ]
* {{SpringerEOM|title=Goldbach problem|urlname=Goldbach_problem}}
* [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf Goldbach's original letter to Euler &mdash; PDF format (in German and Latin)]
*[http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=GoldbachConjecture ''Goldbach's conjecture''], part of Chris Caldwell's [[Prime Pages]].
*[http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html ''Goldbach conjecture verification''], Tomás Oliveira e Silva's distributed computer search.
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