ゴールドバッハ・オイラーの定理のソースを表示

'''ゴールドバッハ・オイラーの定理'''（ゴールドバッハ・オイラーのていり、Goldbach–Euler theorem）は、ある[[自然数]]の[[逆数]]を項とする[[級数]]に関する[[定理]]であり、以下の式で表される。
:<math>\sum_{p}\frac{1}{p-1}= {\frac{1}{3} +  \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1.</math>
ただし、pは[[累乗数]](1は含まない)を動くものとする。上の式は、[[累乗数]]より1小さい自然数の逆数の無限和が1に[[収束級数|収束]]することを意味する。この定理は[[1737年]]に[[レオンハルト・オイラー]]がその論文中で初めて述べたものであるが、[[クリスティアン・ゴールドバッハ]]が彼に宛てた手紙の中でオイラーに明らかにしたとされる（手紙は散逸している）。

== 収束することの証明 ==
:<math>\begin{align}
& \quad \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \frac{1}{4^2-1} + \frac{1}{5^2-1} + ... \\
& = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ... \\
& < \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... \\
& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^k} \\
& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{m^k} \\
& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} \frac{m}{m-1} = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\\
\end{align}
</math>
したがって <math>\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ... < \frac{4}{3}</math> である。
この級数は[[単調増加]]なので <math>\frac{4}{3}</math> 未満の[[実数]]に収束する。

== 収束値の証明 ==
ゴールドバッハによる証明は以下のように[[調和級数]]を用いたものである。まず <math>H_{\infty}</math> を次のように定義する。
:<math>H_{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... \quad (1)</math>
続いて[[等比級数]]を用いて以下の式を与える。
:<math>1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + ...</math>
(1)式からこの式を辺々引くと
:<math> H_{\infty} - 1 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + ... \quad (2)</math>
となる。さらに等比級数を用いて
:<math>\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ...</math>
を導き、この両辺を(2)式から引けば
:<math>H_{\infty} - 1 - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + ... </math>
このような操作を繰り返すと右辺の1以外の項は全て消えて以下のようになる。
:<math>H_{\infty} - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9} - ... = 1 </math>
(2)式と左辺が等しくなるように移項すると
:<math>H_{\infty} - 1 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + ... \quad (3)</math>
右辺の項の分母には累乗数より1だけ小さな数は現れないことに注意。最後に(1)式から(3)式を引くと求める級数が得られる。
:<math>1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ...</math>
ただし調和級数 <math>H_{\infty}</math> は[[発散級数|発散]]するので、この証明は現代的な観点では厳密なものとはいえない。

厳密な証明を得るには、次のように有限部分和をとる。
:<math>H_N = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{N} \quad</math>
と定義し、
:<math>S_N = \sum_{P\leq N+1} \frac{1}{P-1}=\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + ..., \quad</math>
:<math>T_N = \sum_{m\leq N+1} \frac{1}{m-1}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + ... \quad</math>
とおく。ここで P は1以外の累乗数、 m は累乗数ではない数および1を動く。したがって
:<math>H_N = S_N + T_N \quad \cdots (4) </math>
が成り立つ。
<math>r(n)</math> を <math>n=r^k</math> となる最小の r と定めると <math>n>1</math> のとき <math>r(n)</math> は累乗数ではありえず、かつ一意的に定まるから
:<math>\frac{1}{m-1}= \frac{1}{m} + \frac{1}{m^2}+ ... \quad </math>
より
:<math>T_{N-1} = \sum_{1<r(n)\leq N} \frac{1}{n} = \sum_{1<n\leq N} \frac{1}{n} + \sum_{n>N, r(n)\leq N} \frac{1}{n}</math>
が成り立つが、後の和に含まれる n は累乗数でなければならない。よって
:<math>H_N - 1 \leq T_{N-1} \leq H_N - 1 + \sum_{P>N} \frac{1}{P},</math>
(4) から
:<math>S_N\leq 1 + T_{N-1} - T_N \leq S_N + \sum_{P>N} \frac{1}{P},</math>
これを移項して
:<math>1 - \frac{1}{N} - \sum_{P>N} \frac{1}{P}\leq S_N\leq 1 \quad \cdots (5)</math>
となる。ここで上の収束の証明と同様、<math>\sum_{P} \frac{1}{P}</math> は収束することがわかるから、(5) の左辺は 1 に収束する。よって
:<math>S_N\rightarrow 1 (N\rightarrow\infty)</math>
が証明された。

== 外部リンク ==
* Viader, Pelegrí; Bibiloni, Lluís; Paradís, Jaume (2006), [http://www.recercat.net/bitstream/2072/920/1/776.pdf "On a series of Goldbach and Euler"], American Mathematical Monthly '''113''': 206–220

== 関連項目 ==
* [[クリスティアン・ゴールドバッハ]]
* [[レオンハルト・オイラー]]
* [[ゴールドバッハの予想]]

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