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'''ゴールマハティヒ予想'''（[[英語]]: Goormaghtigh conjecture）とは、[[数論|整数論]]における[[予想 (数学)|予想]]のひとつ。[[ベルギー]]の[[数学者]]、[[ルネ・ゴールマハティヒ]] (René Goormaghtigh) に由来する。この予想は、次の[[ディオファントス方程式|指数型ディオファントス方程式]]

: <math>\frac{x^m - 1}{x-1}=\frac{y^n - 1}{y - 1}</math>

の[[非自明な]]（''x'' > ''y'' > 1 かつ ''m'', ''n'' > 2 を満たす）[[整数]]解は次の2つに限るということを主張する。

* (''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'')&nbsp;=&nbsp;(5,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;5)
* (''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'')&nbsp;=&nbsp;(90,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;13)

別の表現としては、2個以上の[[位取り記数法|基数]]において3桁以上の[[レピュニット]]として表される[[自然数]]は[[31]]（(11111)<sub>2</sub>=(111)<sub>5</sub>）と[[8191]]（(1111111111111)<sub>2</sub>=(111)<sub>90</sub>）に限るということを意味する。

== 現在までの主な進歩 ==

* （Davenport, Lewis & Schinzel (1961)）''m'', ''n''を固定するごとに、この方程式は[[高々 (数学)|高々]]有限個の解しか持たない。ただしこの証明は[[整数点についてのジーゲルの定理]]（これは「[[数論の有効な結果|effective]]」ではない）に基づいている。
* （Nesterenko & Shorey (1998)）''d'' ≥ 2, ''r'' ≥ 1, ''s'' ≥ 1 なる ''d'', ''r'', ''s'' を用いて ''m'' − 1 = ''dr'', ''n'' − 1 = ''ds'' と表されるとき、max(''x'', ''y'', ''m'', ''n'') の値は ''r'', ''s'' にのみ依存して[[数論の有効な結果|実効的に計算可能]]な定数によって上から押さえられる。
* （Yuan (2005)）''m'' = 3 かつ ''n'' が奇数のときの場合のこの予想を示した。
* （He & Togbé (2008)）''x'', ''y'' を固定するごとに、この方程式は高々1個の解しか持たない。

== 関連項目 ==

* [[レピュニット]]
* [[メルセンヌ素数]]
* {{仮リンク|ファイト＝トンプソン予想|en|Feit–Thompson conjecture}}

== 参考文献 ==

* Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
* {{cite journal|last1=Bugeaud|first1=Y.|last2=Shorey|first2=T.N.|year=2002|title=On the diophantine equation  (x^m - 1)/(x-1) = (y^n - 1)/(y-1)|url=http://msp.org/pjm/2002/207-1/pjm-v207-n1-p04-s.pdf|journal=Pacific Journal of Mathematics|volume=207|issue=1|pages=61–75}}
* {{cite journal|last1=Davenport|first1=H.|last2=Lewis|first2=D. J.|last3=Schinzel|first3=A.|year=1961|title=Equations of the form ''f''(''x'')=''g''(''y'')|journal=Quad. J. Math. Oxford|volume=2|pages=304&ndash;312|doi=10.1093/qmath/12.1.304|mr=0137703}}
* {{cite book|last=Guy|first=Richard K.|authorlink=Richard K. Guy|title=Unsolved Problems in Number Theory|edition=3rd|date=2004|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-20860-7|page=242|zbl=1058.11001}}
* {{cite journal|last1=He|first1=Bo|last2=Togbé|first2=Alan|year=2008|title=On the number of solutions of Goormaghtigh equation for given ''x'' and ''y''|journal=Indag. Math. N. S.|volume=19|pages=65&ndash;72|doi=10.1016/S0019-3577(08)80015-8|mr=2466394}}
* {{cite journal|last1=Nesterenko|first1=Yu. V.|last2=Shorey|first2=T. N.|year=1998|title=On an equation of Goormaghtigh|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa83/aa8345.pdf|journal=Acta Arithmetica|volume=LXXXIII|issue=4|pages=381–389|format=PDF|doi=10.4064/aa-83-4-381-389|mr=1610565|authorlink=Yuri Valentinovich Nesterenko|zbl=0896.11010}}
* {{cite book|last1=Shorey|first1=T.N.|title=Exponential Diophantine equations|series=Cambridge Tracts in Mathematics|year=1986|publisher=[[Cambridge University Press]]|isbn=0-521-26826-5|pages=203–204|volume=87|last2=Tijdeman|first2=R.|author2-link=Robert Tijdeman|zbl=0606.10011}}
* {{cite journal|last=Yuan|first=Pingzhi|year=2005|title=On the diophantine equation <math>\frac{x^m-1}{x-1}=\frac{y^n-1}{y-1}</math>|journal=J. Number Theory|volume=112|pages=20&ndash;25|doi=10.1016/j.jnt.2004.12.002|mr=2131139}}

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