サレム数のソースを表示

[[File:Salem numbers.svg|thumb|400px|レーマー多項式の根を図示したもの。''x'' = 1.17628 付近に存在するサレム数が金色で示されている。]]
[[数学]]において、'''サレム数'''（サレムすう、{{lang-en|Salem number}}）とは、[[代数的整数|代数的整]][[実数]] {{math|α}}&nbsp;>&nbsp;1 のうち、全ての{{仮リンク|共役根|en|Conjugate roots}}の[[絶対値]]が1以下で、そのうち少なくともひとつの絶対値がちょうど1に等しいものを言う。サレム数は[[ディオファントス近似]]および[[調和解析]]で扱われる。{{仮リンク|ラファエル・サレム|en|Raphaël Salem}}にちなんで命名された。

== 性質 ==
[[絶対値]]1の根を持つため、サレム数の[[最小多項式 (体論)|最小多項式]]は常に[[相反多項式|相反]]となる。すなわち 1/{{math|α}} も根の1つとなり、他全ての根は絶対値がちょうど1となる。それゆえ {{math|α}} は常に代数学的整数環の[[ノルム (体論)|ノルム]]1の[[可逆元]]となる。

すべてのサレム数は{{仮リンク|ペロン数|en|Perron number}}（代数的整実数のうち、少なくとも1つの共役数がより小さな絶対値を持つ）である。

== ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数との関係 ==
知られている最小のサレム数は次の'''レーマー多項式'''（{{仮リンク|D・H・レーマー|en|D. H. Lehmer}}にちなんで命名された）

:<math>P(x) = x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1</math>

の最大の[[関数の零点|実数根]]であり、およそ ''x'' = 1.17628 である。これは最小のサレム数で、かつ既約非円分多項式で最小の[[マーラー測度]]だろうと予想されている<ref>Borwein (2002) p.16</ref>。

レーマー多項式はより短い十二次多項式

:<math>Q(x) = x^{12} - x^7 - x^6 - x^5 + 1</math>

の因数であり、この多項式の12根はすべて関係式

:<math>x^{630}-1 = \frac{(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^2(x^{90}-1)(x^{3}-1)^3(x^{2}-1)^5(x-1)^3 }{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^2(x^{14}-1)^2(x^{5}-1)^6\,x^{68}}</math>

を満たす<ref>D. Bailey and D. Broadhurst, [http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/ladder.pdf A Seventeenth Order Polylogarithm Ladder]</ref>。

サレム数は{{仮リンク|ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数|en|Pisot–Vijayaraghavan number}}から構築できる。すなわち、後者のうち最小のものは三次多項式

:<math> x^3 - x - 1</math>

の唯一の実数根（[[プラスチック数]]として知られる）であり、その値はおよそ 1.324718 である。これを用いて既知のうち最小のものを含む、いくらかの小さなサレム数の[[族 (数学)|族]]を生成できる。一般的な方法はピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数の最小多項式 ''P(x)'' およびその[[相反多項式]] ''P*(x)'' をとり、方程式

:<math>x^n P(x) = \pm P^{*}(x) \, </math>

を境界より大きな整数 ''n'' について解くというものである。一辺を他方から引き、因数分解し、不要な項を無視すると特定のサレム数に対する最小多項式を得られる。例えば、上式の負の場合を用いると

:<math>x^n(x^3-x-1) = -(x^3+x^2-1) </math>

となり、''n'' = 8 として、次のように因数分解できる。

:<math>(x-1)(x^{10} + x^9 -x^7 -x^6 -x^5 -x^4 -x^3 +x +1) = 0 </math>

ここで、[[十次方程式|十次式]]はレーマー多項式となっている。より高次元の ''n'' を用いることで、[[プラスチック数]]へ至る根を持つ族を得られる。これは次のように理解できる。両辺の ''n'' 乗根を取って

:<math>x(x^3-x-1)^{1/n} = \pm (x^3+x^2-1)^{1/n} </math>

より、''n'' が大きくなるにつれ、 ''x'' が ''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 の解に近づく。もし正の場合を用いる場合、''x'' は反対側からプラスチック数に近づく。2番目に小さいピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数の最小多項式を用いることで

:<math> x^n (x^4-x^3-1) = -(x^4+x-1) </math>

が得られ、これは ''n'' = 7 の場合

:<math>(x-1)(x^{10} -x^6 -x^5 -x^4 +1) = 0 </math>

と因数分解できる。ここで、前述のものとは異なる十次式が得られ、これは根 ''x''&nbsp;=&nbsp;1.216391...（既知で5番目に小さなサレム数）を持つ。''n'' が無限に近づくにつれ、この族は ''x''<sup>4</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 のより大きな実数根に近づく傾向にある。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite book | last=Borwein | first=Peter | authorlink=:en:Peter Borwein | title=Computational Excursions in Analysis and Number Theory | series=CMS Books in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2002 | isbn=0-387-95444-9 | zbl=1020.12001 }} Chap. 3.
* {{springer|first=David|last= Boyd|title=Salem number|id=s/s120010}}
* {{cite web|author=M.J. Mossinghoff|url=http://www.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/lists/SalemList.html|title=Small Salem numbers|accessdate=2016-01-07}}
* {{cite book | last=Salem | first=R. | authorlink=:en:Raphaël Salem | title=Algebraic numbers and Fourier analysis | series=Heath mathematical monographs | location=Boston, MA | publisher=[[D. C. Heath and Company]] | year=1963 | zbl=0126.07802 }}
{{代数的数}}
{{DEFAULTSORT:されむすう}}
[[Category:代数的数]]
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