ザリスキー位相のソースを表示

{{要改訳}}
[[File:Quintic polynomial.svg|thumb|この多項式のグラフは、[[アファイン平面]]においてザリスキ閉である。]]

[[代数幾何学]]と[[可換環論]]において、'''ザリスキ位相'''（{{lang-en|Zariski topology}}）は[[代数多様体]]に定義される[[位相空間|位相]]であり、最初は[[オスカー・ザリスキ]]によって導入された。ザリスキ位相は[[可換環]]の[[素イデアル]]全体の集合に対しても定義され、その[[環のスペクトル]]と呼ばれる。

ザリスキ位相によって、基礎[[可換体|体]]が[[位相体]]でないときでさえ、代数多様体の研究に[[位相空間論]]の道具を使うことができるようになる。このような手法は[[スキーム論]]の基本的な考えの1つであり、[[多様体]] (manifold) が[[局所座標系]]（実[[アファイン空間]]の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体は[[アファイン多様体]]を貼り合わせて構成される。

代数多様体のザリスキ位相は、多様体の[[代数的部分集合]]の全体を[[閉集合]]系とする位相である。[[複素数]]体上の代数多様体の場合には、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗く、任意の代数的集合は通常の位相でも閉集合であるが、逆は一般には正しくない。

可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、[[代数閉体]]上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の[[正則関数 (代数幾何学)|正則関数]]環の[[極大イデアル]]全体との間の1:1対応を確立する[[ヒルベルトの零点定理]]から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。[[グロタンディーク]]のスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも''点''として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。

==多様体のザリスキ位相==

古典的な代数幾何学（つまり[[スキーム (数学)|スキーム]]（1960年頃[[グロタンディーク]]によって導入された）を用いない代数幾何学）において、ザリスキ位相は[[代数多様体]]上に定義される<ref>{{Citation | last1=Mumford | first1=David | title=The red book of varieties and schemes | origyear=1967 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=expanded, Includes Michigan Lectures (1974) on Curves and their Jacobians | series=Lecture Notes in Mathematics | isbn=978-3-540-63293-1 | doi=10.1007/b62130 | mr=1748380  | year=1999 | volume=1358}}</ref>。ザリスキ位相は、多様体の点全体の上に定義されるのであるが、[[閉集合]]の全体が多様体の[[代数的集合]]全体であるような位相である。最も初等的な代数多様体は[[アファイン多様体]]と[[射影多様体]]であるから、この両者の場合に定義をより明示的にしておくと有用である。以下では固定された[[代数閉体]] ''k'' 上で考える。（古典的な幾何学では ''k'' はほとんどいつも[[複素数]]体である。）

===アファイン多様体===

まず[[アファイン空間]] <math>\mathbb{A}^n</math> に位相を定義する。<math>\mathbb{A}^n</math> は集合としては単に ''k'' 上の ''n'' 次元ベクトル空間である。位相は（開集合系でなく）閉集合系によって定める。閉集合系は、<math>\mathbb{A}^n</math> のすべての代数的集合と定める。つまり、閉集合は

:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \; \forall f \in S\}</math>

の形の集合である。ただし ''S'' は ''k'' 上の ''n'' 変数多項式からなる任意の集合である。以下の性質は直ちに確かめられる。

* ''V''(''S'') = ''V''((''S'')), ただし (''S'') は ''S'' の元全体によって生成された[[イデアル]]。
* 多項式の任意の2つのイデアル ''I'', ''J'' に対し、
*# <math>V(I) \cup V(J)\,=\,V(IJ);</math>
*# <math>V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).</math>

これらの性質より、''V''(''S'') の形の集合の有限和や任意交叉もこの形の集合であるから、この形の集合の全体を閉集合系とすることにより位相が定まる。これが <math>\mathbb{A}^n</math> 上のザリスキ位相である。

''X'' がアファイン代数的集合であれば（既約であってもなくても、その上のザリスキ位相は単純に、ある <math>\mathbb{A}^n</math> への包含から誘導される[[相対位相]]と定義される。あるいは同じことだが、以下のことを証明できる。

* アファイン座標環

::<math>A(X)\,=\,k[x_1, \dots, x_n]/I(X)</math>

:の元は（<math>k[x_1, \dots, x_n]</math> の元が <math>\mathbb{A}^n</math> 上の関数として振る舞うのとちょうど同じように）''X'' 上の関数として振る舞う。
* 多項式からなる任意の集合 ''S'' に対し、''T'' をその ''A''(''X'') における像全体からなる集合とすると、''X'' の部分集合

::<math>V'(T) = \{x \in X \mid f(x) = 0, \; \forall f \in T\}</math>

:は ''V''(''S'') の ''X'' との共通部分に等しい。（これらの記法は標準的というわけではない。）

これによって、上の式（明らかに以前の式の一般化である）は任意のアファイン多様体上のザリスキ位相を定義している。

===例===
''k'' を複素数体とし、''n'' = 1 とすると、アファイン空間 <math>\mathbb{A}^1</math> の閉集合は、すべての有限集合および全体集合である。したがって、ザリスキ位相の意味での閉集合は、ユークリッド位相の下でも閉集合であるが、ユークリッド位相での閉集合は、有限集合でなければ、全体集合でない限りザリスキ位相では閉集合とならない。例えば整数全体のなす集合 '''Z''' は閉集合でない。'''Z''' は <math>\mathbb{A}^1</math> において[[稠密集合|稠密]]でもあり、通常の位相とは大きく異なる。一般に可算無限個の点を持つ集合は <math>\mathbb{A}^1</math> の稠密な部分集合となる。さて、<math>\mathbb{A}^1</math> から '''C'''（<math>\mathbb{A}^1</math> と同一視してザリスキ位相を入れる）への正則関数とは多項式関数のことであり、この関数は連続である。さらに、可算無限個の相異なる点の行き先を定めれば、それらの点を通るような多項式関数は高々一つしか存在しない。このように、ザリスキ位相は <math>\mathbb{A}^1</math> 上の正則関数（多項式関数）と相性が良いことが分かる。

===射影多様体===
{{see also|射影多様体}}
n-次元[[射影空間]] <math>\mathbb{P}^n</math> は、2つの点が k のスカラー倍異なるとき、スカラー倍を同一視することにより、<math>\mathbb{A}^{n + 1}</math> 内の 0 以外の点の同値類として定義される。多項式環 <math>k[x_0, \dots, x_n]</math> の元は、任意の元が多項式の中で異なる値をとるという多くの表現を持っているので、<math>\mathbb{P}^n</math> 上の函数ではない。しかし、[[斉次多項式 (代数幾何学)|斉次多項式]]に対し、与えられた射影的点上で 0 をとるか 0 を取らないかという条件は、スカラー因子は多項式に影響しないので、well-defined である。従って、S が斉次多項式の集合であれば、
:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>
と言ってもよい。
<!--===Projective varieties===

Recall that ''n''-dimensional [[projective space]] <math>\mathbb{P}^n</math> is defined to be the set of equivalence classes of non-zero points in <math>\mathbb{A}^{n + 1}</math> by identifying two points that differ by a scalar multiple in ''k''.  The elements of the polynomial ring <math>k[x_0, \dots, x_n]</math> are not functions on <math>\mathbb{P}^n</math> because any point has many representatives that yield different values in a polynomial; however, for [[homogeneous polynomial]]s the condition of having zero or nonzero value on any given projective point is well-defined since the scalar multiple factors out of the polynomial.  Therefore if ''S'' is any set of homogeneous polynomials we may reasonably speak of

:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{P}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}.</math>-->

これと同じ事実がこれらの集合に対して成り立つかもしれない。ただし、「イデアル」という単語は「斉次イデアル」という単語に置き換えねばならない。すると、斉次多項式の集合 S に対して V(S) は、<math>\mathbb{P}^n</math> 上の位相を定義する。このように、これらの集合の補集合を D(S) あるいは、混乱がないならば、D&prime;(S) と書く。

射影的なザリスキー位相は、アフィン多様体のザリスキー位相がアフィン代数的集合に対して部分空間の位相をとることにより定義されたことと同様に、射影的代数的集合に対して定義される。上記と同じ公式により、射影的座標環の元の集合により、ザリスキー位相が定義されることが示される。
<!--The same facts as above may be established for these sets, except that the word "ideal" must be replaced by the phrase "[[homogeneous ideal]]", so that the ''V''(''S''), for sets ''S'' of homogeneous polynomials, define a topology on <math>\mathbb{P}^n.</math>  As above the complements of these sets are denoted ''D''(''S''), or, if confusion is likely to result, ''D&prime;''(''S'').

The projective Zariski topology is defined for projective algebraic sets just as the affine one is defined for affine algebraic sets, by taking the subspace topology.  Similarly, it may be shown that this topology is defined intrinsically by sets of elements of the projective coordinate ring, by the same formula as above.-->

===性質===

これらの位相についての極めて有効な事実は、それらの[[基底 (位相空間論)|基底]](basis)が特別な単純元、つまり、f の個別多項式（もしくは、射影多様体の同時多項式） D(f) からなることを示すことができることである。実際、これらが基底を形成することは、与えられた 2つのザリスキー閉集合の交叉の公式から理解することができる（これを繰り返し、(S) の生成元によち生成される主イデアルへ適用する）。これらを'''識別可能'''(distinguished)もしくは'''基本'''(basic)開集合と呼ぶ。

[[ヒルベルトの基底定理]]と[[ネーター環]]の基本性質により、全てのアフィン座標環と射影座標環はネーター環である。結果として、ザリスキー位相を持つアフィン空間も射影空間も、[[ネーター位相空間]](Noetherian topological space)であり、これら空間の任意の部分空間は[[コンパクト空間|コンパクト]]であることを意味する。
<!--===Properties===

A very useful fact about these topologies is that we may exhibit a [[base (topology)|basis]] for them consisting of particularly simple elements, namely the ''D''(''f'') for individual polynomials (or for projective varieties, homogeneous polynomials) ''f''.  Indeed, that these form a basis follows from the formula for the intersection of two Zariski-closed sets given above (apply it repeatedly to the principal ideals generated by the generators of (''S'')).  These are called ''distinguished'' or ''basic'' open sets.

By [[Hilbert's basis theorem]] and some elementary properties of [[Noetherian ring]]s, every affine or projective coordinate ring is Noetherian.  As a consequence, affine or projective spaces with the Zariski topology are [[Noetherian topological space]]s, which implies that any subset of these spaces is [[compact space|compact]].-->

k が有限体でない場合は、多様体は[[ハウスドルフ空間]]ですらない。古いトポロジーの文献では、「コンパクト」はハウスドルフの性質に含まれていると理解されていて、この考え方は未だに代数幾何学では尊重されている。現代的な意味でのコンパクト性は、代数幾何学では「準コンパクト性」と呼ばれる。しかし、全ての点 (a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>) は多項式 x<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub> - a<sub>n</sub> の零点の集合であるので、点自体も閉点であり、全ての多様体は[[T1空間|T1空間の公理]]を満たす。

全ての多様体の正則写像は、ザリスキー位相に関して[[連続函数|連続]]である。事実、ザリスキー位相は（最も少ない開集合をもつ）最も弱いトポロジーで、そこでは上記は正しく、点は閉じている。このことは、容易に、ザリスキー閉集合が単純に多項式函数による 0 の逆像の交叉と単純に考えることにより理解されるので、<math>\mathbb{A}^1</math> への[[正則函数 (スキーム論)|正則写像]]と考えることができる。
<!--However, unless ''k'' is a finite field no variety is ever a [[Hausdorff space]].  In the old topological literature "compact" was taken to include the Hausdorff property, and this convention is still honored in algebraic geometry; therefore compactness in the modern sense is called "quasicompactness" in algebraic geometry.  However, since every point (''a<sub>1</sub>'', ..., ''a<sub>n</sub>'') is the zero set of the polynomials ''x<sub>1</sub>'' - ''a<sub>1</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'' - ''a<sub>n</sub>'', points are closed and so every variety satisfies the [[T1 space|''T<sub>1</sub>'' axiom]].

Every regular map of varieties is [[continuous function (topology)|continuous]] in the Zariski topology.  In fact, the Zariski topology is the weakest topology (with the fewest open sets) in which this is true and in which points are closed.  This is easily verified by noting that the Zariski-closed sets are simply the intersections of the inverse images of 0 by the polynomial functions, considered as regular maps into <math>\mathbb{A}^1.</math>-->

==現代の定義==

現代の代数幾何学は、出発点として[[環のスペクトル]](素イデアルの集合)を取った。<ref>{{cite book
| last1 = Dummit
| first1 = D. S.
| last2 = Foote
| first2 = R.
| title = Abstract Algebra
| publisher = Wiley
| pages = 71–72
| year = 2004
| edition = 3
| isbn = 9780471433347 
}}</ref> この定式化は、ザリスキー閉集合が集合
:<math>V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}</math>
として取られる。ここに A は固定された可換環であり、I はイデアルである。古典的な描像との関係を理解するには、[[ヒルベルトの零点定理]]により、（代数的閉体上の）多項式の集合 S に対し、（古い意味での） V(S) の点は、ちょうど (x<sub>1</sub> - a<sub>1</sub>, ..., x<sub>n</sub> - a<sub>n</sub>) が S を含むような n 個の組 (a<sub>1</sub>, ..., a<sub>n</sub>) に一致する。さらに、これらは極大イデアルであり、「弱い」零点定理により、任意のアフィン座標環のイデアルが極大であることと、イデアルがこの形であることとは同値である。このようにして、V(S) が S を含む極大イデアルと「同じ」となる。グロタンディエクの Spec を定義した革新的な点は、極大イデアルを全ての素イデアルに置き換えたことであった。極大イデアルが環のスペクトルの中では閉集合を定義とすることができことの単純な一般化であることとして、この定式化では自然である。
<!--==The modern definition==

Modern algebraic geometry takes the [[spectrum of a ring]] (the set of prime ideals) as its starting point.<ref>{{cite book
| last1 = Dummit
| first1 = D. S.
| last2 = Foote
| first2 = R.
| title = Abstract Algebra
| publisher = Wiley
| pages = 71–72
| year = 2004
| edition = 3
| isbn = 9780471433347 
}}</ref>  In this formulation, the Zariski-closed sets are taken to be the sets

:<math>V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}</math>

where ''A'' is a fixed commutative ring and ''I'' is an ideal.  To see the connection with the classical picture, note that for any set ''S'' of polynomials (over an algebraically closed field), it follows from [[Hilbert's Nullstellensatz]] that the points of ''V''(''S'') (in the old sense) are exactly the tuples (''a<sub>1</sub>'', ..., ''a<sub>n</sub>'') such that (''x<sub>1</sub>'' - ''a<sub>1</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'' - ''a<sub>n</sub>'') contains ''S''; moreover, these are maximal ideals and by the "weak" Nullstellensatz, an ideal of any affine coordinate ring is maximal if and only if it is of this form.  Thus, ''V''(''S'') is "the same as" the maximal ideals containing ''S''.  Grothendieck's innovation in defining Spec was to replace maximal ideals with all prime ideals; in this formulation it is natural to simply generalize this observation to the definition of a closed set in the spectrum of a ring.-->

元来の定義よりもより単純と思われる、現代的な定義の解釈は、A の元を A の素イデアル上の函数として考えることが可能であるという解釈である。すなわち、Spec A 上の函数として考えると、単純に任意の素イデアル P が対応する[[剰余体]]を持ち、この剰余体が商 A/P という[[商体|分数体]]であり、A の任意の元が剰余体の中へ反映する。さらに、実際に P の中にある元は、正確に P の中への反映が 0 となる元である。従って、A の任意の元 a の写像
:<math>e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}(A)\bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)</math>
を考えると、この値（a での評価値）は剰余体の中へ反映された各々の点に Spec A 上の函数として対応し（その値は、異なる点では異なる体の上にあることが可能となり）、従って、
:<math>e_a(P)=0 \Leftrightarrow  P\in V(a)</math>
を得る。

さらに一般的には、任意のイデアル I に対する V(I) は、I で 0 となる全ての函数の共通集合であり、公式に古典的な定義と同じである。実際、A がある代数的閉体 k 上の多項式環であるという意味でA の極大イデアルは（前のパラグラフで議論した）k の n 個の組と同一視でき、剰余体は k と一致し、「評価」写像は対応する n 個の組での多項式の実際の値である。上に示したように、「函数の零点」として双方の意味を持つ現代的定義の解釈として、極大イデアルを同時に考える現代的定義と古典的定義は本質的に同じになっている。
<!--Another way, perhaps more similar to the original, to interpret the modern definition is to realize that the elements of ''A'' can actually be thought of as functions on the prime ideals of ''A''; namely, as functions on Spec ''A''.  Simply, any prime ideal ''P'' has a corresponding [[residue field]], which is the [[field of fractions]] of the quotient ''A''/''P'', and any element of ''A'' has a reflection in this residue field.  Furthermore, the elements that are actually in ''P'' are precisely those whose reflection vanishes at ''P''.  So if we think of the map, associated to any element ''a'' of ''A'':

:<math>e_a \colon \bigl(P \in \operatorname{Spec}(A)\bigr) \mapsto \left(\frac{a \; \bmod P}{1} \in \operatorname{Frac}(A/P)\right)</math>

("evaluation of ''a''"), which assigns to each point its reflection in the residue field there, as a function on Spec ''A'' (whose values, admittedly, lie in different fields at different points), then we have

:<math>e_a(P)=0 \Leftrightarrow  P\in V(a)</math>

More generally, ''V''(''I'') for any ideal ''I'' is the common set on which all the "functions" in ''I'' vanish, which is formally similar to the classical definition.  In fact, they agree in the sense that when ''A'' is the ring of polynomials over some algebraically closed field ''k'', the maximal ideals of ''A'' are (as discussed in the previous paragraph) identified with ''n''-tuples of elements of ''k'', their residue fields are just ''k'', and the "evaluation" maps are actually evaluation of polynomials at the corresponding ''n''-tuples.  Since as shown above, the classical definition is essentially the modern definition with only maximal ideals considered, this shows that the interpretation of the modern definition as "zero sets of functions" agrees with the classical definition where they both make sense.-->

まさに Spec をアフィン多様体に置き換え、{{仮リンク|Proj構成|en|Proj construction}}(Proj construction)を射影多様体が現代の代数幾何のである。「不適切な極大イデアル」（[[:en:Irrelevant ideal|別な記事]]に議論されている）の完備化が必要ではあるが、アフィンから射影の定義への古典的な定義は、「イデアル」を「同次イデアル」へ置き換えるだけである。
<!--Just as Spec replaces affine varieties, the [[Proj construction]] replaces projective varieties in modern algebraic geometry.  Just as in the classical case, to move from the affine to the projective definition we need only replace "ideal" by "homogeneous ideal", though there is a complication involving the "irrelevant maximal ideal," which is discussed in the cited article.-->

===性質===

トポロジーの古典的描像と新しい描像の最も劇的な変化は、点がもはや閉じている必要はないということである。定義を拡張することで、グロタンディークは、閉包がそれ自体よりも大きい（同じではなく）{{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point)と言う考え方を導入した。閉点は A の極大イデアルに対応する。しかし、注意すべきは、スペクトルや射影スペクトルは未だ T<sub>0</sub> 空間となることである。なぜなら、 A の素イデアルである2点 P, Q をとり、 P は Q を含まないとすると、D(Q) は P を含み、Q を含まない開集合となるからである。

まさに古典代数幾何学のように、任意のスペクトルや射影スペクトルはコンパクトであり、問題にしている環がネーター的であれば、空間はネーター的な空間である。しかし、これらの事実は直感とは食い違い、[[連結空間]]以外の開集合をコンパクトとすることは期待できなく、アフィン多様体（例えば、ユークリッド空間）に対しては、空間自体がコンパクトであることすら期待できない。これは、ザリスキー位相の通常の幾何学的には一致しないことの一例である。グロタンディエクは、この問題を[[概型|スキーム]]の[[固有射|固有性]](properness)という考え方（実際、スキームの射）を定義することにより解決した。この考え方は直感的なコンパクト性という考え方を再現する。しかし、Proj では固有であるが、Spec では固有ではない。
<!--===Properties===

The most dramatic change in the topology from the classical picture to the new is that points are no longer necessarily closed; by expanding the definition, Grothendieck introduced [[generic point]]s whose closures are strictly larger than themselves.  The closed points correspond to maximal ideals of ''A''.  Note, however, that the spectrum and projective spectrum are still ''T<sub>0</sub>'' spaces: given two points ''P'', ''Q'', which are prime ideals of ''A'', at least one of them, say ''P'', does not contain the other.  Then ''D''(''Q'') contains ''P'' but, of course, not ''Q''.

Just as in classical algebraic geometry, any spectrum or projective spectrum is compact, and if the ring in question is Noetherian then the space is a Noetherian space.  However, these facts are counterintuitive: we do not normally expect open sets, other than [[connected space|connected components]], to be compact, and for affine varieties (for example, Euclidean space) we do not even expect the space itself to be compact.  This is one instance of the geometric unsuitability of the Zariski topology.  Grothendieck solved this problem by defining the notion of [[proper morphism|properness]] of a [[scheme (mathematics)|scheme]] (actually, of a morphism of schemes), which recovers the intuitive idea of compactness: Proj is proper, but Spec is not.-->

===例===
[[Image:Spec Z.png|thumb|ℤ のスペクトル|400px|right]]
* [[可換体|体]] k のスペクトル Spec k は、一つの元からなる位相空間である。
*[[整数]]&#8484;のスペクトル Spec &#8484; は、[[素数]] p に対応する[[極大イデアル]] (p) ⊂ &#8484;を[[閉点]]として持ち、零イデアル (0) を閉でない{{仮リンク|生成点|en|generic point}}(generic point)（すなわち、閉包は全空間となる）として持つ。従って、Spec &#8484; の閉集合全体は、ちょうど有限個の閉点の合併と全体空間からなる。
* [[可換体|体]] k 上の[[多項式環|一変数多項式環]]のスペクトル Spec k[t] は、<math>\mathbb{A}^1</math> で表され、[[アフィン直線]](affine line)である。体上の一変数多項式環は[[主イデアル整域]]であることが知られていて、[[既約多項式]]は k[t] の[[素元]]である。k が例えば[[複素数|複素数体]]のような[[代数的閉体]]であれば、定数でない多項式が既約であることと、線型で k のある元 a により t &minus; a の形であることとは同値である。従って、スペクトルは k の全ての元 a に対応する閉点と零イデアルに対応する生成点から構成される。k が例えば[[実数|実数体]]のような代数的閉体でなければ、非線型な既約多項式の存在により、描像はさらに複雑になる。例えば、&#8477;[''t''] のスペクトルは、&#8477; の中の a に対する閉点 (x &minus; a) と p, q が &#8477; の元であり、負の[[判別式]] p<sup>2</sup> &minus; 4q < 0 であるような (x<sup>2</sup> + px + q) と最後に生成点から構成される。任意の体に対し、Spec k[t] の閉集合全体は閉点の有限個の合併と全体空間である。（これは代数的閉体に対しては上記の議論より明らかである。一般的な場合の証明は、いくつかの[[可換代数]]、つまり k[t] の[[クルル次元]]は 1 であるという事実 - [[クルルの主イデアル定理]]を参照 - 必要とする。
<!--===Examples===
[[Image:Spec Z.png|thumb|The spectrum of ℤ|400px|right]]
* Spec ''k'', the spectrum of a [[field (mathematics)|field]] ''k'' is the topological space with one element.
* Spec &#8484;, the spectrum of the [[integers]] has a [[closed point]] for every [[prime number]] ''p'' corresponding to the [[maximal ideal]] (''p'') ⊂ &#8484;, and one non-closed [[generic point]] (i.e., whose closure is the whole space) corresponding to the zero ideal (0). So the closed subsets of Spec &#8484; are precisely finite unions of closed points and the whole space. 
* Spec ''k''[''t''], the spectrum of the [[polynomial ring]] over a [[field (mathematics)|field]] ''k'', which is also denoted <math>\mathbb{A}^1</math>, the [[affine line]]: the polynomial ring is known to be a [[principal ideal domain]] and the [[irreducible polynomial]]s are the [[prime element]]s of ''k''[''t'']. If ''k'' is [[algebraically closed]], for example the field of [[complex numbers]], a non-constant polynomial is irreducible if and only if it is linear, of the form ''t'' &minus; ''a'', for some element ''a'' of ''k''. So, the spectrum consists of one closed point for every element ''a'' of ''k'' and a generic point, corresponding to the zero ideal. If ''k'' is not algebraically closed, for example the field of [[real number]]s, the picture becomes more complicated because of the existence of non-linear irreducible polynomials. For example, the spectrum of &#8477;[''t'']	consists of  closed points (''x'' &minus; ''a''), for ''a'' in &#8477;, (''x''<sup>2</sup> + ''px'' + ''q'') where ''p'', ''q'' are in &#8477; and with negative [[discriminant]] ''p''<sup>2</sup> &minus; 4''q'' < 0, and finally a generic point (0).  For any field, the closed subsets of Spec ''k''[''t''] are finite unions of closed points, and the whole space. (This is clear from the above discussion for algebraically closed fields. The proof of the general case requires some [[commutative algebra]], namely the fact, that the [[Krull dimension]] of ''k''[''t''] is one &mdash; see [[Krull's principal ideal theorem]]).-->

==参照項目==
* [[環のスペクトル]]（アフィンスキーム）
* {{仮リンク|スペクトル空間|en|Spectral space}}(Spectral space)

==参考文献==
{{reflist}}

==関連書籍==
*{{Citation | last=Hartshorne | first=Robin | authorlink=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | id={{MathSciNet | id = 0463157}} | year=1977}}
*{{MathWorld|title=Zariski Topology|urlname=ZariskiTopology|author=Todd Rowland}}

{{DEFAULTSORT:さりすきいいそう}}
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:スキーム論]]
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]